Analisi II – Appunti

Appunti corso Analisi II – Prof. S. Giuga Pagina 1 di 17

Capitolo 1

FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI

Ci proponiamo di studiare le funzioni reali di più variabili reali e cioè le funzioni ƒ :

→

Rⁿ R con n > 1. Per motivi di semplicità ci riferiremo esclusivamente alle funzioni

di due variabili estendendo poi i risultati ottenuti, quando è necessario nelle funzioni

di tre o più variabili. A tale scopo è opportuno premettere le principali proprietà

topologiche dell’insieme R² {(x,y) : x € R e y € R² }e cioè dall’insieme R² visto come

oggetto geometrico. È noto che R² si rappresenta geometricamente sul piano

mediante un sistema di assi cartesiani ortogonali.

PROPRIETÀ TOPOLOGICHE DI R²

Definizione 1 2

Distanza: Siano P = (x , y ) e P = (x , y ) due elementi di R o anche due punti di

0 0 0 1 1 1

2 δ

R . Si chiama distanza di P = (x , y ) da P = (x , y ) il numero reale non negativo:

1 1 1 0 0 0

2 2

√

= ( (x -x ) + (y -y ) )

1 0 1 0

La distanza fra due punti è uguale alla lunghezza del segmento di estremi P e P .

0 1

Definizione 2 2 δ

Intorno: Sia P = (x ,y ) un punto di R e un numero reale positivo. Si chiama

0 0 0 δ

intorno (circolare) di centro P = (x , y ) e raggio >0 l’insieme

0 0 0 2 2 2

Є √ δ

I (P ) = I (x , y ) = { (x,y) R : ( (x-x ) + (y-y ) ) < }

δ δ

0 0 0 0 0

2

Є

e cioè l’insieme dei punti P = (x,y) R che appartengono al centro di centro P =

0

δ

(x ,y ) e raggio privato della circonferenza (cerchio aperto).

0 0

Definizione 3 2

Є

Punto interno e interno di un insieme: Sia A R . Si dice che il punto P = (x , y )

0 0 0

Є δ

A è interno ad A se esiste un intorno I (P ) di centro P e raggio tutto contenuto in

δ 0 0

Ǻ

A. Si chiama interno di A e si denota con il simbolo l’insieme dei punti interni ad

A.

Definizione 4 2

≤

Punto esterno: Sia A R . Si dice che il punto P = (x , y ) non appartenente ad A è

0 0 0

esterno ad A se esiste un intorno I (P ) che non contiene punti di A e cioè tale che

δ 0

∩

I (P ) A = 0. Evidentemente P è esterno ad A se è intorno al complementare di A

δ 0 0

2 2

rispetto a R e cioè se è interno all’unione R – A.

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Definizione 5 2 2

≤ Є

Punto frontiera e di frontiera: Sia A R . Si dice che il punto P = (x ,y ) R è un

0 0 0

punto frontiera di A se non è ne interno ne esterno ad A. Conseguentemente in ogni

intorno di P cadono sia punti di A sia punti che non appartengono ad A. L’insieme

0 δA.

dei punti frontiera si chiama frontiera di A e si denota con il simbolo

Osservazione 1

Si noti che un punto frontiera non è tenuto ad appartenere all’insieme A. Ad esempio

il cerchio di centro il punto P = (x , y ) e raggio r e lo stesso cerchio privato della

0 0 0

circonferenza (cerchio aperto) hanno entrambi per frontiera la circonferenza di centro

P e raggio r. Nel primo caso la frontiera appartiene al cerchio, nel secondo caso non

0

appartiene.

Definizione 6 2 2

≤ Є

Punto di accumulazione e insieme derivato: Sia A R e P = (x , y ) R . Si dice

0 0 0

che P è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno I(P ) = I(x , y ) di centro

0 0 0 0

P cadono infiniti punti di A diversi da P . L’insieme dei punti di accumulazione di A

0 0

si chiama il derivato di A.

Definizione 7 2

≤

Insieme limitato e non limitato: Un insieme A R si dice limitato se è contenuto in

un intorno I (0) di centro l’origine O = (0,0). Si dice non limitato se ciò non accade.

δ

Definizione 8 2

≤ Ǻ

Insieme aperto e chiuso: Un insieme A R si dice aperto se A = e cioè se ogni

punto di A è un punto interno ad A; si dice chiuso se il suo complementare rispetto a

2 2

R e cioè l’unione R – A è aperto.

Osservazione 2

Si noti che un insieme aperto non contiene punti frontiera,

mentre un insieme chiuso contiene tutti i punti frontiera. Si

≤

noti ancora che un insieme A R² che non sia aperto non è A

tenuto ad essere chiuso. Ad esempio l’insieme:

A = {(x,y) : x € [1,2[ e y [2,3[}

Non è né aperto né chiuso.

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Definizione 9 2

≤

Chiusura di un insieme: Sia A R . Si chiama chiusura di A e si denota con il

Ā, Ā δA.

simbolo l’insieme unione di A e delle frontiera di A. In simboli: = A U La

Ā

chiusura di di A è un insieme chiuso perché contiene tutti i punti frontiera.

Definizione 10 2

Dominio: Si chiama dominio ogni sott’insieme di R che risulti essere la chiusura di

un insieme aperto, e cioè anche l’unione di un insieme aperto e della sua frontiera. Ad

esempio un cerchio chiuso, un angolo chiuso sono domini. L’insieme ottenuto come

unione di un cerchio chiuso e di un segmento non è un dominio.

A A

LA DEFINIZIONE DI LIMITE

La definizione di limite, già nota per le funzioni di una variabile, si estende

facilmente alla funzione di due variabili. Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita

2

≤

nell’insieme A R e P = (x , y ) un punto di accumulazione per A. Si dice che ƒ ha

0 0 0

Є →

limite l R in P e si scrive lim (x,y) (x ,y ) [f(x,y) = l] oppure anche lim P→P

0 0 0 0

[f(P) = l] quando vale la seguente proprietà detta definizione di limite. Per ogni J (l)

ε

Є ∩ Є

⇒

∃ I (P ) : P A I (P ) – {P } f(P) J (l) la quale essendo J (l) un intervallo

δ δ ε ε

0 0 0

ε ε; ε

aperto di centro l e raggio e cioè J (l) = ] l – l + [ e I (P ) un cerchio aperto di

ε δ 0

( ) ( )

2

δ Є δ

− + −

2 2

centro P e raggio e cioè I (P ) = { (x,y) R : < },

x x y y

δ

0 0 o o

si esprime in maniera equivalente: ( ) ( )

ε δ Є δ ε.

∀ − + − ⇒

2 2

∃

> 0 > 0 : (x,y) A e 0 < < |f(x,y) – l | <

x x y y

o o

∞ ∞

I due casi l = + e l = - si trattano in maniera analoga.

Ad esempio Lim P→ P [f(P)] = +∞

0 Є ∩ Є

∀ ⇒

∃

Significa dire che: J(+∞) I (P ): x A I(P ) – {P } f(P) J(+∞)

δ 0 0 0

e cioè: J(+∞) = ]M, +∞[ con M > 0. ( ) ( )

δ Є δ

∀ − + − ⇒

2 2

∃

M > 0 > 0 : (x,y) A e 0 < < f(x) > M.

x x y y

o o

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Definizione di funzione continua

2 → Є

⊆ R R e P = (x , y ) A. Si dice che f è continua in P = (x , y )

Sia f : A 0 0 0 0 0 0

→

quando risulta lim (x,y) (x ,y ) [f(x,y) = f(x , y )] oppure anche lim P→ P [f(P) =

0 0 0 0 0

f(P )]. Si dice che ƒ è continua nell’insieme A quando è continua in ogni punto di A.

0

Teorema di Weirstrass

Se f(x,y) è una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato (cioè compatto)

) e

allora f assume in A il minimo e il massimo e cioè esistono in A due punti ( x

, y

( , ) tali che

y

x ≤ ≤ Є

∀

) f(x, y) f( ) (x, y) A.

f( ,

x

, y y

x

DERIVATE PARZIALI

Sia f(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P = (x , y ) un punto intorno

0 0 0

ad A. In tali ipotesi esiste un intorno I (P ) di centro P e raggio r tutto contenuto in A

r 0 0

ed ha senso considerare la funzione della sola variabile x:

( ) ( )

−

f x , y f x , y Є

o

0 0

(1) con x ] x - r , x + r [ - {x }

− 0 0 0

x x o

Si chiama derivata parziale di f rispetto a x nel punto P e si denota con uno dei

0

δf/dx(P

simboli f (P ), ) il limite in x della funzione (1) solo se tale limite esiste ed è

x 0 0 0

finito. Riassumendo: ( ) ( )

−

f x

, y f x , y

lim 0 0 o

f (P ) = f (x , y ) = (def.)

x 0 x 0 0 −

x→ x x x

0 o

Analogamente si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a y nel punto P e si denota

0

δf/δy(P

con uno dei simboli f (P ), ) il limite in y della funzione

y 0 0 0

( ) ( )

−

f x , y f x , y Є

0 0 o con y ] y – r , y + r [ - {y }

0 0 0

−

y y o

quando tale limite esiste ed è finito. In simboli: ( ) ( )

−

f x , y f x , y

lim

δf/δy 0 0 o

f (P ) = f (x , y ) = (x , y ) = (def.)

y 0 y 0 0 0 0 −

y→ y y y

0 o

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Si dice che f(x,y) è derivabile nel punto P =(x , y ) quando esistono finite in P

0 0 0 0

entrambe le derivate parziali. Se A = Å e cioè se A è un aperto e se f(x,y) è derivabile

in ogni punto di A si dice che f è derivabile nell’insieme A.

Osservazione notevole sulla continuità

Ricordando ch per le funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuità

risulta che: ( ) ( )

( ) ( )

− ⇒ =

f x

, y f x , y lim f x

, y f x , y

lim € R

0 0 o 0 0 0

→

− x x

x→ x x x 0

0 o

e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a x nel punto P = (x ,

0 0

y ) allora tale funzione è continua rispetto a x nel punto P

0 0.

Analogamente: ( ) ( )

( ) ( )

− ⇒ =

f x , y f x , y lim f x , y f x , y

lim € R

0 0 o 0 0 0

→

− y y

y→ y y y 0

0 o

e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a y nel punto P = (x ,

0 0

y ) allora tale funzione è continua rispetto a y nel punto P

0 0.

Tuttavia la continuità della funzione ƒ rispetto a x e rispetto a y nel punto P non

0

implica la continuità di ƒ in P e cioè:

0 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⇒ =

/

=

= lim f x , y f x , y

lim f x , y f x , y

lim f x , y f x , y e 0 0

→

0 0 0 0 0 0

→ → x x

x x y y 0

0 0 →

y y o

Si prenda ad esempio la funzione:

 xy ≠

 se ( x , y ) ( 0

, 0 )

+

2 2

 x y

ƒ(x,y) =  =



0 se

( x , y ) ( 0

, 0

)

tale funzione non risulta essere continua in (0,0) perché lungo la retta y = x si ha:

2

( ) ( ) ( )

x 1

= = = ≠

lim f x , y lim x

, x lim f 0

, 0

2

→ → → 2 2

x

x 0 x 0 x 0

→

y 0

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Tuttavia è continua in (0,0) sia rispetto a x sia rispetto a y.

∀ ∀

Infatti essendo ƒ(x,0) = 0 x € R - {0} e ƒ(0,y) = 0 y € R - {0} risulta:

( ) ( )

= = = =

lim f x

, 0 0 f ( 0

,

0 ) e lim f ( 0

, y ) 0 f 0

, 0

→ →

x 0 y 0

In conclusione: ⇒

/ ƒ continua un P

ƒ de rivabile in P 0

0

DERIVATE PARZIALI DI ORDINE SUPERIORE

Sia f(P) = f(x,y) una funzione di due variabili definita in un aperto A. Supponiamo

che f sia derivabile in A e cioè che f sia derivabile parzialmente rispetto a x e y in

Є

ogni punto P = (x,y) A.

Ha senso allora considerare le seguenti due funzioni:

Є → Є →

(x,y) A f (x,y); (x,y) A f (x,y).

x y

Tali funzioni si chiamano rispettivamente la (funzione) derivata parziale prima di f

rispetto a x in A e la (funzione) derivata parziale prima di f rispetto a y in A e si

denotano con uno dei seguenti simboli: ∂

∂ ( )

f

( )

f x , y

f (x,y); ; f (x,y);

x , y

x y ∂

∂ y

x

oppure anche: ∂

∂ ( )

( ) f

f P

P

f (P); ; f (P); ∂

∂

x y y

x

Definizione

Se le funzioni derivate prime f e f sono a loro volta derivabili in ogni punto

x y

dell'aperto A, le quattro funzioni:

∂ ∂

∂ ∂

( ) ( )

( )

fx fy

fx ( )

fy

P

P P P

; ;

∂

∂ ∂ ∂

y

x x y

si chiamano le derivate (parziali) seconde di f in A e si denotano con i simboli:

f (P); f (P); f (P) ; f (P)

xx xy yx yy

oppure anche con i simboli: ∂

∂ ∂ ∂ 2

2 2 2 ( )

f

( ) ( ) ( )

f f

f P

P P

P ; ; ; ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ 2

2 y

x y y x

x

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Teorema di Shwarz (di inversione dell’ordine di derivazione)

Sia f(x,y) una funzione reale due volte derivabile in un aperto A. Vale la seguente

implicazione: ⇒

Є (f (x , y ) = f (x , y ))

( f , f continue in (x , y ) A) xy 0 0 yx 0 0

xy yx 0 0

e cioè le derivate seconde miste di una funzione di due variabili sono uguali nei punti

in cui risultano continue.

Osservazione

Il teorema di Shwarz consente di calcolare le derivate seconde miste senza

preoccuparsi dell’ordine delle derivazioni successive nei punti in cui le derivate

seconde sono continue.

LA NOZIONE DI DIFFERENZIABILITÀ

Abbiamo visto che contrariamente a quanto accade per le funzioni di una variabile, le

funzioni di due variabili che sono derivabili non sono necessariamente continue.

Vedremo subito che la nozione equivalente alla derivabilità delle funzioni di una

variabile è per le funzioni di più variabili la differenziabilità.

Definizione Є ∆x ∆y

Sia f(x,y) una funzione definita in un aperto A e P = (x,y) A. Indicati con e

∆P ∆y)

due numeri reali qualsiasi poniamo = (∆x, e P+∆P = (x+∆x, y+∆y) (cioè

∆P ∆x, ∆y

chiamiamo il punto di coordinate e P+∆P il punto di coordinate x+∆x,

Є

y+∆y). Se il punto P+∆P A è lecito considerare la differenza (detta incremento di f

relativo ai punti P e P+∆P) tra i valori di f nei punti P e P+∆P:

∆ƒ = ƒ(P+∆P) – ƒ(P) = ƒ(x+∆x, y+∆y) – ƒ(x,y)

e l'espressione

dƒ = ƒ (P)∆x + ƒ (P)∆y = ƒ (x,y)∆x + ƒ (x,y)∆y

x y x y

che si suole chiamare (in analogia al caso della funzione di una variabile)

differenziale della funzione f.

Si dice che la funzione f è differenziabile nel punto P =(x,y) quando risulta

∆ −

f df =

lim 0

( ) ( ) ∆ + ∆

∆ ∆ → 2 2

x , y 0 , 0 x y

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∆P ∆y)

ho anche, in maniera equivalente pensando = (∆x, come il vettore di

∆ + ∆

∆x, ∆y ∆P,

2 2

componenti e |∆P| = come il modulo di quando risulti:

x y

∆ −

f df =

lim 0

∆

∆ → P

P 0

Osservazione notevole

Si noti che ⇒

∆ −

f df ∆ =

=

∗ lim f 0

lim 0

∆ ∆ →

∆ → P 0

P

0

P ∆ −

f df ∆P →

infatti affinché il rapporto sia infinitesimo per 0 è necessario che

∆

P =

lim df 0

∆ƒ ∆P →

- dƒ sia infinitesimo per 0 e poiché ciò sarà vero quando

∆ →

P 0

∆ =

lim f 0

∆ →

P 0

D’altra parte ⇔ ( ) ( )

∗ ∗ ∆ = + ∆ =

lim f 0 lim f P P f P

∆ → ∆ →

P 0 P 0

∗ ∗ ∗

Da e si deduce allora l’implicazione

⇔

ƒ differenziabile in P ƒ continua in P

Vogliamo ora dimostrare un teorema che garantisce la differenziabilità di una

funzione.

Teorema del valore medio

Sia f(x,y) una funzione derivabile in un aperto A. Per ogni coppia P = (x,y), P+∆P =

(x+∆x, y+∆y) di punti di A e esiste un punto = ( , ) tale che

x

P y

∆f = f ( , y+∆y)∆x + f (x, )∆y

x y

x y

dove e sono tali che

y

x x < < x+∆x; y < < y+∆y

x y

il che significa che è “intorno” al segmento

P

di estremi P e P+∆P.

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Teorema condizione sufficiente di differenziabilità Є

Sia f(x,y) una funzione derivabile in un aperto A e P = (x,y) A.

⇒ (f differenziabile in P)

(f , f continua in P)

x y

e cioè f è differenziabile in ogni punto di A nel quale le derivate sono continue.

Dim:

In base alla definizione dobbiamo dimostrare che:

∆ −

f df =

lim 0

( ) ( ) ∆ + ∆