Pillaus di Pillaus
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<h1style="text-align:center;font-size:16pt">1° Teorema di Euclide</h1> <p><b>Ogni lato dell'angolo retto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa</b></p> <p style="text-align:center"><img src="sezioni/maths/euclide1.gif" style="border:none"></p> <p style="text-align:center"><img src="sezioni/maths/euclide2.gif" style="border:none"></p> <p>Sia ABC un triangolo rettangolo in cui BÂC = 90°. Disegnamo un quadrato su AB e sia H il piede dell'altezza tirata dal vertice A. Disegnamo quindi un rettangolo avente come lati HD=BC e BH.
Se prolunghiamo i due segmenti BE e HD e il segmento FG otteniamo un parallelogramma BALI (perché ha i lati opposti paralleli) e un triangolo BFI uguale al triangolo ABC.</p> <p style="text-align:center"><img src="sezioni/maths/euclide3.gif" style="border:none"></p> <p>Infatti abbiamo:</p> <ul><li><span style="font-size:12pt;font-family:times"><i>FB</i> = <i>AB</i></span> poiché lati di uno stesso quadrato</li> <li><img src="sezioni/maths/euclide4.gif" style="border:none;position:relative;top:3pt">, l'angolo <img src="sezioni/maths/euclide5.gif" style="border:none;position:relative;top:3pt"> perché è l'angolo di un quadrato e <span style="font-size:12pt;font-family:times"><i>BÂC</i></span> per ipotesi,</li> <li><img src="sezioni/maths/euclide6.gif" style="border:none;position:relative;top:3pt"> perché sono due angoli complementari dello stesso angolo <img src="sezioni/maths/euclide6a.gif" style="border:none;position:relative;top:3pt"> .</li></ul> <p>Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli FBI e ABC sono uguali. Di conseguenza BI=BC, e poiché BC=HD, per transitività BI=HD. Ora, se consideriamo il parallelogramma P e il rettangolo R, osserviamo che hanno la stessa base BI=HD e la stessa altezza BH, dunque hanno la stessa area (P&#8801;R).</p> <p style="text-align:center"><img src="sezioni/maths/euclide7.gif" style="border:none"></p> <p>La stessa cosa vale per il quadrato Q e il parallelogramma P, dato che hanno la stessa base AB e la stessa altezza BF, cioè Q&#8801;P; per transitività, se Q&#8801;P e P&#8801;R, segue che Q&#8801;R.</p><p style="text-align:center"><img src="sezioni/maths/euclide7a.gif" style="border:none"></p><p>Passiamo ora alle relazioni metriche.</p> <p>Area del quadrato = <span style="text-decoration:overline;font-size:12pt;font-family:times;font-style:italic">AB</span><sup style="font-family:times">2</sup>, area del rettangolo = <span style="text-decoration:overline;font-size:12pt;font-family:times;font-style:italic">BH</span> <span style="text-decoration:overline;font-size:12pt;font-family:times;font-style:italic">BC</span> , <span style="text-decoration:overline;font-size:12pt;font-family:times;font-style:italic">AB</span><sup style="font-family:times">2</sup> = <span style="text-decoration:overline;font-size:12pt;font-family:times;font-style:italic">BH</span> <span style="text-decoration:overline;font-size:12pt;font-family:times;font-style:italic">BC</span> e infine la tesi:</p> <p style="text-align:center"><img src="sezioni/maths/euclide8.gif" style="border:none"></p>
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