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Le grandezze del moto: la velocità

Velocità vettoriale

In generale, lo spostamento di un corpo, da una posizione iniziale

[math]x_0[/math]
a una posizione finale
[math]x[/math]
, può avvenire più o meno rapidamente, secondo la grandezza fisica chiamata velocità.
Tale grandezza corrisponde al rapporto tra lo spostamento compiuto dal corpo e la sua durata, in termini di tempo (a partire da un istante iniziale
[math]t_0[/math]
).

Precisamente, si definiscono:

  • velocità vettoriale media
    [math]\overline{\textbf{v}}[/math]
    , il rapporto che, considerando la durata (significativa) di un intero spostamento, esprime il valore medio della sua rapidità;
  • [math]\text{nel caso unidimensionale (moto rettilineo): } \overline{v} = \frac{∆x}{∆t} = \frac{x – x_0}{t – t_0}[/math]

    [math]\text{nel caso bidimensionale o tridimensionale: } \overline{\textbf{v}} = \frac{\textbf{∆r}}{∆t} = \frac{\textbf{r} - \textbf{r}_0}{t – t_0}[/math]

  • velocità vettoriale istantanea
    [math]\textbf{v}[/math]
    (o semplicemente velocità), il rapporto che, considerando uno spostamento infinitesimo, esprime la velocità del moto in un preciso istante (algebricamente, corrisponde al limite per
    [math]∆t \rightarrow 0[/math]
    della velocità vettoriale media, cioè alla derivata della posizione rispetto al tempo).

[math]1) \text{nel caso unidimensionale (moto rettilineo): }\\ v = \lim_{∆t \to 0} \overline{v} = \lim_{∆t \to 0} \frac{∆x}{∆t} = \frac{dx}{dt}[/math]

[math]2) \text{nel caso bidimensionale o tridimensionale: }\\ \textbf{v} = \lim_{∆t \to 0} \overline{\textbf{v}} = \lim_{∆t \to 0} \frac{\textbf{∆r}}{∆t} = \frac{d \textbf{r}}{dt}[/math]

NOTA 1 - La velocità corrisponde al rapporto tra una lunghezza e un intervallo di tempo, pertanto si misura in metri al secondo (m/s).
NOTA 2 - Poiché la velocità (istantanea) corrisponde alla derivata della posizione

[math]x[/math]
(o
[math]\textbf{r}[/math]
) rispetto al tempo
[math]t[/math]
, vale la relazione inversa, cioè la posizione risulta dall'integrale della velocità.


[math]\textbf{v} = \frac{d \textbf{r}}{dt} \rightarrow d \textbf{r} = \textbf{v} dt \rightarrow \textbf{r} = \int \textbf{v} dt[/math]

La velocità (media o istantanea) è ben visualizzata dalla funzione

[math]x(t)[/math]
che descrive il moto attraverso la relazione tra posizione e tempo.

Nella rappresentazione grafica di tale funzione (detta diagramma orario):

  • la velocità vettoriale media corrisponde alla pendenza della retta secante i punti corrispondenti alle posizioni iniziale e finale considerate;

  • la velocità vettoriale istantanea corrisponde alla pendenza della retta tangente la funzione
    [math]x(t)[/math]
    nel punto considerato.

Velocità scalare

La velocità può essere espresse attraverso grandezze scalari che riconducono alla sua concezione più tipica.

Si definiscono:

  • velocità scalare media
    [math]\overline{u}[/math]
    , il rapporto tra lo spazio effettivamente percorso da un corpo e il tempo impiegato;
  • [math]\overline{u} = \frac{\text{lunghezza percorsa}}{∆t}[/math]

  • velocità scalare istantanea
    [math]u[/math]
    (o semplicemente velocità scalare), il valore assoluto della velocità vettoriale istantanea (il dato espresso dal tachimetro delle automobili).

[math]u = \lvert \textbf{v} \lvert[/math]

NOTA - La velocità scalare media rende conto del percorso effettivamente compiuto da un corpo, perciò può assumere un valore diverso dalla corrispondente velocità vettoriale media.

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