Decorso dei cedimenti di consolidazione per terreni a grana fine

W

0,25

0,3

0,35 22

T

V

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0

0,1

0,2 G

RADO DI

0,3 CONSOLIDAZIONE

IN FUNZIONE DEL

0,4 FATTORE DEL

0,5

M TEMPO

U

0,6

0,7

0,8

0,9

1 [ ]

T ANNI

0 20 40 60 80 100

0

0,05 D

ECORSO DEI

0,1 CEDIMENTI IN

SCALA

0,15 NATURALE

)

T

(

0,2

W

0,25

0,3

0,35 23

Caso 2

Come già introdotto, nel seguente caso supporremo che, a differenza del caso 1, nello

strato d’argilla, rispettivamente a 2 e a 5 metri dall’inizio del suddetto strato, vi sia

presenza di modesti strati di sabbia dello spessore di 5 cm. Si vuole analizzare,

analogamente a quanto fatto per il caso 1, l’entità del cedimento e il decorso nel tempo.

Sarà riportato di seguito una rappresentazione grafica del terreno, oggetto di studio dei

nostri calcoli al fine di rendere più chiaro quanto analizzato. SABBIA

,

ARGILLA LIMOSA ARGILLA LIMOSA

2 ; 0,05

SABBIA ;

ARGILLA LIMOSA

2,95 G HIAIA

S ; 0,05

ABBIA

A ;

RGILLA LIMOSA

4,95

Strato di sabbia

Le condizioni dello strato superficiale del terreno, risultano essere analoghe a quelle

di cui al caso precedente. Di seguito sarà nuovamente riportata per chiarezza la

relazione utilizzata per la stima della variazione di altezza dello strato in

considerazione e i rispettivi calcoli, già analizzati, effettuati sul foglio di calcolo

elettronico.

∆

∆H = 24

Hₒ [m] ∆σᵥ [kPa] E.ed [kPa] ∆H [m]

2 50 10000 0,01

Strato di argilla

Nel seguente strato, a differenza del caso 1, prenderemo in considerazione la presenza

di modesti strati di sabbia dello spessore di 5 cm di cui trascureremo l’entità del

cedimento ed il decorso nel tempo, potendo assumere direttamente la condizione

drenata. Valuteremo, quindi, in questo caso come si sviluppano i cedimenti nel tempo

nel banco d’argilla tenendo in considerazione di questi modesti strati di sabbia.

Possiamo considerare quindi, il banco d’argilla suddiviso in tre strati e per ognuno dei

rispettivi valutare l’entità del cedimento ed il decorso nel tempo. Essendo i terreni

separati dai modesti strati di sabbia, di cui trascureremo l’entità del cedimento,

abbiamo riportato su grafici diversi l’andamento del decorso dei cedimenti in scala

logaritmica di ognuno di essi. Si rammenti che per ognuno di essi si prenda in

considerazione che le superfici superiori ed inferiori, entro le quali sono siti, risultino

ambedue superfici drenanti. Infine è stato possibile andare a sommare i cedimenti

ottenuti per ognuno dei seguenti strati di argilla valutati, mediante opportune

valutazioni, e riportarne l’andamento sul grafico.

STRATO ARGILLA SUPERIORE

Hₒ [m] ∆σᵥ [kPa] E.ed [kPa] ∆H [m]

2 50 1500 0,0666667

STRATO ARGILLA

SUPERIORE t

cᵥ [m²/s] Um Tv t[s] H [giorni] t [anni] log(t) w(t) [m]

1E-08 0 0 0 1 0 0 #NUM! 0

1E-08 0,05 0,002 196250 2,27141 0,0062 5,2928 0,00333

1E-08 0,1 0,0079 785000 9,08565 0,0249 5,8949 0,00667

1E-08 0,15 0,0177 2E+06 20,4427 0,056 6,2471 0,01

1E-08 0,2 0,0314 3E+06 36,3426 0,0996 6,4969 0,01333

1E-08 0,25 0,0491 5E+06 56,7853 0,1556 6,6907 0,01667

1E-08 0,3 0,0707 7E+06 81,7708 0,224 6,8491 0,02

1E-08 0,35 0,0962 1E+07 111,299 0,3049 6,983 0,02333

1E-08 0,4 0,1256 1E+07 145,37 0,3983 7,099 0,02667

25

1E-08 0,45 0,159 2E+07 183,984 0,5041 7,2013 0,03

1E-08 0,5 0,1963 2E+07 227,141 0,6223 7,2928 0,03333

1E-08 0,55 0,2375 2E+07 274,841 0,753 7,3756 0,03667

1E-08 0,6 0,2826 3E+07 327,083 0,8961 7,4512 0,04

1E-08 0,65 0,3404 3E+07 393,964 1,0794 7,532 0,04333

1E-08 0,7 0,4028 4E+07 466,257 1,2774 7,6051 0,04667

1E-08 0,75 0,4767 5E+07 551,762 1,5117 7,6783 0,05

1E-08 0,8 0,5671 6E+07 656,411 1,7984 7,7537 0,05333

1E-08 0,85 0,6837 7E+07 791,327 2,168 7,8349 0,05667

1E-08 0,9 0,848 8E+07 981,481 2,689 7,9284 0,06

1E-08 0,95 1,1289 1E+08 1306,55 3,5796 8,0526 0,06333

( )

LOG T

0 2 4 6 8 10

0

0,01 D

0,02 ECORSO DEI

CEDIMENTI PER

STRATO DI

0,03 ARGILLA

)

T SUPERIORE

(

0,04

W

0,05

0,06

0,07

STRATO ARGILLA INTERMEDIO

Hₒ [m] ∆σᵥ [kPa] E.ed [kPa] ∆H [m]

2,95 50 1500 0,0983333

26

STRATO ARGILLA

INTERMEDIO

cᵥ [m²/s] Um Tv t[s] H t [giorni] t [anni] log(t) w(t) [m]

1E-08 0 0 0 1,475 0 0 #NUM! 0

1E-08 0,05 0,002 426966 4,94174 0,0135 5,6304 0,00492

1E-08 0,1 0,0079 2E+06 19,767 0,0542 6,2325 0,00983

1E-08 0,15 0,0177 4E+06 44,4757 0,1219 6,5846 0,01475

1E-08 0,2 0,0314 7E+06 79,0679 0,2166 6,8345 0,01967

1E-08 0,25 0,0491 1E+07 123,544 0,3385 7,0283 0,02458

1E-08 0,3 0,0707 2E+07 177,903 0,4874 7,1867 0,0295

1E-08 0,35 0,0962 2E+07 242,145 0,6634 7,3206 0,03442

1E-08 0,4 0,1256 3E+07 316,271 0,8665 7,4366 0,03933

1E-08 0,45 0,159 3E+07 400,281 1,0967 7,5389 0,04425

1E-08 0,5 0,1963 4E+07 494,174 1,3539 7,6304 0,04917

1E-08 0,55 0,2375 5E+07 597,951 1,6382 7,7132 0,05408

1E-08 0,6 0,2826 6E+07 711,611 1,9496 7,7888 0,059

1E-08 0,65 0,3404 7E+07 857,117 2,3483 7,8696 0,06392

1E-08 0,7 0,4028 9E+07 1014,4 2,7792 7,9427 0,06883

1E-08 0,75 0,4767 1E+08 1200,43 3,2888 8,0158 0,07375

1E-08 0,8 0,5671 1E+08 1428,1 3,9126 8,0913 0,07867

1E-08 0,85 0,6837 1E+08 1721,63 4,7168 8,1725 0,08358

1E-08 0,9 0,848 2E+08 2135,34 5,8502 8,266 0,0885

1E-08 0,95 1,1289 2E+08 2842,57 7,7879 8,3902 0,09342

( )

LOG T

0 2 4 6 8 10

0

0,01

0,02 D ECORSO

0,03 DEI

CEDIMENTI

0,04 PER STRATO

0,05 DI ARGILLA

)

T

( INTERMEDIO

W

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1 27

STRATO ARGILLA INFERIORE

Hₒ [m] ∆σᵥ [kPa] E.ed [kPa] ∆H [m]

4,95 50 1500 0,165

STRATO ARGILLA

INFERIORE

cᵥ [m²/s] Um Tv t[s] H t [giorni] t [anni] log(t) w(t) [m]

1E-08 0 0 0 2,475 0 0 #NUM! 0

1E-08 0,05 0,002 1E+06 13,9138 0,0381 6,08 0,00825

1E-08 0,1 0,0079 5E+06 55,6553 0,1525 6,682 0,0165

1E-08 0,15 0,0177 1E+07 125,224 0,3431 7,0342 0,02475

1E-08 0,2 0,0314 2E+07 222,621 0,6099 7,2841 0,033

1E-08 0,25 0,0491 3E+07 347,845 0,953 7,4779 0,04125

1E-08 0,3 0,0707 4E+07 500,897 1,3723 7,6363 0,0495

1E-08 0,35 0,0962 6E+07 681,777 1,8679 7,7702 0,05775

1E-08 0,4 0,1256 8E+07 890,484 2,4397 7,8861 0,066

1E-08 0,45 0,159 1E+08 1127,02 3,0877 7,9884 0,07425

1E-08 0,5 0,1963 1E+08 1391,38 3,812 8,08 0,0825

1E-08 0,55 0,2375 1E+08 1683,57 4,6125 8,1627 0,09075

1E-08 0,6 0,2826 2E+08 2003,59 5,4893 8,2383 0,099

1E-08 0,65 0,3404 2E+08 2413,27 6,6117 8,3191 0,10725

1E-08 0,7 0,4028 2E+08 2856,11 7,825 8,3923 0,1155

1E-08 0,75 0,4767 3E+08 3379,88 9,26 8,4654 0,12375

1E-08 0,8 0,5671 3E+08 4020,93 11,016 8,5408 0,132

1E-08 0,85 0,6837 4E+08 4847,37 13,28 8,622 0,14025

1E-08 0,9 0,848 5E+08 6012,19 16,472 8,7155 0,1485

1E-08 0,95 1,1289 7E+08 8003,45 21,927 8,8398 0,15675

28

( )

LOG T

0 2 4 6 8 10

0

0,02

0,04 D

ECORSO DEI

CEDIMENTI

0,06 PER STRATO DI

0,08 ARGILLA

)

T INFERIORE

0,1

(

W

0,12

0,14

0,16

0,18

Al fine di andare a sommare i cedimenti dei tre differenti strati di argilla, è stato

necessario andare a valutare quanto valessero i cedimenti per istanti di tempo stabiliti,

in quanto, precedentemente, questi erano stati valutati al variare del grado di

consolidazione, impostato con una legge di variazione via via crescente del 5%.

Essendo i tempi di consolidazione diversi per i tre differenti strati, a causa delle

differenti altezze degli stessi, risulta facilmente intuibile che ad uno stesso grado di

consolidazione corrispondono istanti diversi del decorso dei cedimenti nel tempo. Per

mettere in relazione gli andamenti, Terzaghi ci ha fornito un’espressione per valutare

al contrario di come fatto precedentemente, per gli stessi istanti di tempo, il differente

grado di consolidazione che messo in relazione al cedimento edometrico, ci avrebbe

fornito il cedimento in un preciso istante. In questo modo, per medesimi istanti, è stato

possibile valutare i differenti cedimenti dei tre strati di argilla e sommarli, per valutarne

il decorso del tempo. L’espressione proposta da Terzaghi viene riportata in seguito:

∑ [3.2.1]

=1− ( ( ) )

( )

Impostando come unità del tempo il singolo anno, espresso in secondi, è stato possibile

valutare il fattore del tempo con la formula adimensionale proposta da Terzaghi già

analizzata, che riporteremo nuovamente in seguito per chiarezza:

29

=

Valutato il fattore di tempo per differenti istanti, è stato possibile utilizzare la relazione

[3.2.1] ottenendo per vari istanti di tempo il grado di consolidazione dei tre differenti

strati di argilla che moltiplicato per il cedimento edometrico ottenuto ci ha fornito il

decorso nel tempo.

Osservazioni:

Si faccia caso al fatto che nella relazione [3.2.1] il grado di consolidazione abbia come

parametro variabile anche il fattore n, oltre che il fattore di tempo T , che è stato fatto

v

variare da 1 a 10. Si noti inoltre che la sommatoria della relazione proposta [3.2.1]

diminuisce oltre che all’aumentare di n, anche all’aumentare del fattore di tempo T v,

essendo la variabile della funzione esponenziale affetta da segno negativo.

Riducendosi il secondo termine della suddetta relazione aumenta quindi di

conseguenza il grado di consolidazione. E’ intuibile quindi che con l’incrementare

degli istanti di tempo, aumenta il fattore di tempo e quindi il grado di consolidazione.

D’altronde si può osservare che il fattore di tempo è inversamente proporzionale

all’altezza dello strato in considerazione. Questo fattore riproduce il risultato per cui

per altezze maggiori dello strato di argilla, T decresce, il termine della sommatoria

v

decresce più lentamente al diminuire di T e quindi il grado di consolidazione tende a

v

1 più lentamente, risultato riscontrabile negli andamenti già valutati al Caso 2. In breve

quest’ultima osservazione analitica riproduce il fenomeno per cui per strati maggiori,

la consolidazione avviene per tempi più lunghi, come da logico.

Vengono riportati di seguito i computi effettuati sul foglio di calcolo elettronico e il

rispettivo andamento ottenuto graficamente. In primis sono riportati gli andamenti del

fattore di tempo variabile con l’istante di tempo e immediatamente in seguito

l’andamento del grado di consolidazione per i rispettivi strati, al variare di T e al

v

variare del parametro n, i cui valori sono stati riportati nella tabella finale dalla quale

sono stati valutati i cedimenti e rappresentati graficamente.

30

inter