Esercizi svolti di Idrologia statistica, con software R

Relazione finale di idrologia di Carta Flavio

Indice

• Esercitazione 1 esercizio 1 2
• Esercitazione 1 esercizio 2 5
• Esercitazione 2 esercizio 1 9
• Esercitazione 3 esercizio 1 14
• Esercitazione 3 esercizio 2 17
• Esercitazione 3 esercizio 3 21
• Esercitazione 4 esercizio 1 28
• Esercitazione 5 esercizio 1 32
• Esercitazione 6 esercizio 1 36
• Esercitazione 7 esercizio 1 38
• Esercitazione 8 esercizio 1 40
• Esercitazione 9 esercizio 1 42

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 1 di 44

Esercitazione 1 esercizio 1

• File: «Esercizio _1b.txt» (solo prima colonna Q_in)
• Volume iniziale serbatoio 1: 10000 m³
• Volume massimo serbatoio 1: 60000 m³
• Costante efflusso serbatoio 1 (lineare): k1 = 0.2 h-1
• Passo temporale: 1 ora
• Volume iniziale serbatoio 2: 5000 m³
• Volume massimo serbatoio 2: 15000 m³
• Costante efflusso serbatoio 2 (lineare): k2 = 0.2 h-1
• Plottare gli andamenti temporali delle portate entranti, uscenti e di sfioro [m³/s];
• Plottare l’andamento temporale del volume idrico di entrambi i serbatoi [m³];
• Commentare i risultati Grafici

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 2 di 44

Commenti

Dall’analisi dei grafici, si nota come il primo serbatoio è stato dimensionato con parametri ampiamente sufficienti, a contenere la portata in arrivo. Al contrario il secondo, di dimensioni notevolmente inferiori rispetto al primo, raggiunge varie volte la condizione di sfioro. Ipotizzando l’insorgenza di una problematica nel caso di sfioro del serbatoio, nonostante l’esercizio non fornisca dati in merito, una soluzione applicabile consiste nell’incremento delle dimensioni del serbatoio 2 di 16000 m³, eventualmente ottenuti per riduzione delle dimensioni del serbatoio 1.

Questa soluzione non introduce variazione alcuna nelle portate entranti e uscenti dal primo serbatoio (in quanto il volume massimo occupato attualmente risulta minore di 44000 m³, coincidente col volume finale del serbatoio, qualora l’intera variazione di volume del secondo serbatoio dovesse comportare una diminuzione del volume del primo) ma, come si può vedere dai grafici seguenti, non causa più fuoriuscita di liquido per sfioro dal serbatoio 2 (il cui volume arriverebbe a 31000 m³).

Abbandonando l’aspetto ingegneristico per passare a quello matematico è visibile come, in un serbatoio lineare come quelli presenti in questo esercizio, la portata in uscita sia legata alla portata in ingresso, seguendone le variazioni, seppur smorzandone i valori assoluti.

Questo legame viene spezzato nel momento in cui il volume di liquido nel serbatoio raggiunga il valore massimo. In tale circostanza si ha una portata di uscita costante, la quale permane fino che viene abbandonato solo dopo una decisa riduzione degli ingressi.

Unicamente durante la condizione precedentemente descritta, si sviluppa una portata di sfioro, la quale segue sempre l’ingresso, ridotta di una quantità pari alla portata di uscita.

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 3 di 44

Codice R

dati<-read.table jpeg ("portate 1.jpeg", unit="px")("Esercizio_01b.txt", header=TRUE) plot (q1in, main="Qrafico delle portate←q1in dati[,1] serbatoio 1", xlab="Tempo [h]",ylab="portata [m3]/[s]", type="o",n<-length (q1in) col="red", lwd=2)v1<-rep(0, times=n+1) lines (q1ut, col="blue", lwd=2)v2<-v1 points (tempo, q1ut)q2ut<-rep(0, times=n) lines (q1eff, col="green", lwd=2)q1ut<-q2ut points (q1eff)q1eff<-q2ut legend ("top", legend=c("ingresso",q2eff<-q2ut "uscita", "sfioro"), col=c("red", "blue",v1max=60000 "green"), lwd=2)v2max=15000 dev.off()k1=0.2k2=0.2 jpeg ("portate 2.jpeg", unit="px")t=3600 plot (tempo, q2in, main="Qrafico delle v1[1]=10000 portate serbatoio 2", xlab="Tempo [h]",v2[1]=5000 ylab="portata [m3]/[s]", type="o",col="red", lwd=2)for (i in 1:n) lines (tempo, q2ut, col="blue", lwd=2){ points (q2ut)#Calcolo le portate e i volumi lines (q2eff, col="green", lwd=2)relativi al primo serbatoio points (q2eff)#Formula standard di uscita in legend ("top", legend=c("ingresso",serbatoio lineare "uscita", "sfioro"), col=c("red", "blue",q1ut[i]=k1*v1[i]/t "green"), lwd=2)#Calcolo volume al passo dev.off()successivov1[i+1]=v1[i]+q1in[i]*t-q1ut[i]*t #Vettore costante per mostrare il massimo#Calcolo e gestione overflow del serbatoio 2if (v1[i+1]>v1max) k<-rep(v2max, times=n+1){ jpeg ("volumi.jpeg", unit="px")q1eff[i]=(v1[i+1]-v1max)/t plot (v1, main="Grafico dei volumi dei v1[i+1]=q1max serbatoi",xlab="tempo [h]", ylab="volume} [m3]", type="o", col="red", lwd=2)#Vedi sopra nel caso serbatoio 2 lines (v2, col="blue", lwd=2)q2ut[i]=k2*v2[i]/t points(tempo2, v2)v2[i+1]=v2[i]+q1ut[i]*t-q2ut[i]*t lines (k, col="black")if (v2[i+1]>v2max) legend ("top", legend=c("serb. 1", "serb.{ 2", "max seb. 2"), col=c("red", "blue",{ q2eff[i]=(v2[i+1]-v2max)/t "black"), lwd=2)v2[i+1]=v2max dev.off()}}

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 4 di 44

Esercitazione 1 esercizio 2

• File, volumi iniziali e finali serbatoi: Vedi esercizio precedente
• Passo temporale: 1 ora
• Area base serbatoio 1: 2000 m²
• Coefficiente di afflusso: 0.6
• Area luce: 0.1 m²
• Tasso di variazione area luce: -0.005 m²/h per t < 25 h +0.005 m²/h per t ≥ 25 h
• Costante efflusso serbatoio 2 (lineare): k = 0.2 h-1
• Graficare gli andamenti temporali delle portate entranti, uscenti e di sfioro [m³/s];
• Graficare l’andamento temporale del volume idrico di entrambi i serbatoi [m³];
• Graficare l’andamento temporale dell’altezza idrica del primo serbatoio [m];
• Commentare i risultati;
• Commentare il confronto tra il bilancio dell’esercizio a e b

Grafici

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 5 di 44

Commenti

Il secondo serbatoio presente in questo esercizio risulta essere identico al secondo presente nell’esercizio precedente, esattamente come i dati di ingresso. Tuttavia il comportamento risulta totalmente differente dal caso precedente in quanto è cambiato radicalmente il sistema di efflusso dal primo serbatoio, che costituisce l’afflusso del secondo.

Il modello di serbatoio con luce sul fondo, col quale viene schematizzato il primo serbatoio, prevede che la portata in uscita, in ogni intervallo di tempo discretizzato, sia pari a α*a* √(2*g*h). Riguardo ai parametri usati fare riferimento alla tabella sottostante.

Nome parametro Simbolo Valore Unità di misura Motivo

Coefficiente di α 0,6 Adimensionale Standard, da specifica afflusso da luce di es.2

Area della luce a Variabile (vedi grafico) m² Da specifiche di es.2

Accelerazione di g 9,81 m/s² m/s Standard gravità

Livello nel h h=volume contenuto nel m Da specifiche di es. serbatoio serbatoio/area base serbatoio Caso con geometria semplice

La variazione nel tempo dell’area della luce nel serbatoio 1, si riflette quasi esattamente sulle portate in uscita dallo stesso, che si interrompono nei periodi in cui la luce si chiude del tutto, causando di conseguenza un innalzamento del livello del serbatoio, assente nel primo esercizio.

Questo causa successivamente una tracimazione in conseguenza del secondo picco di portata in ingresso. Al contrario questa riduzione delle portate di uscita del primo serbatoio permette al secondo di non subire la prima tracimazione presente nel primo esercizio. Tuttavia il successivo allargamento della luce, che permette il passaggio di portate superiori, capaci di riportare il livello del primo serbatoio a valori contenuti, causa la tracimazione del secondo serbatoio, ancora insufficiente a contenere l’intero flusso.

I due sistemi possibili per contenere i possibili disagi dati da tracimazione dei serbatoi sono:

• Incrementarne il volume (in special modo del secondo)
• Modificare il funzionamento del sistema di controllo della luce, magari permettendo di far variare l’apertura della luce proporzionalmente al volume di acqua nel serbatoio.

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 6 di 44

Codice R

for (i in 2:n)#Ottenimento dati---- {dati<-read.table if (tempo[i]<dt)("Esercizio_01b.txt", header=TRUE) {na<-is.na(dati) area[i]=area [i-1]-dfq1in<-dati[,1] if (area[i]<0){n<-length (q1in) area[i]=0v1<-rep(0, times=n+1) }v2<-v1 }q1ut<-rep (0, times=n) elseq1ef<-q1ut {q2ut<-q1ut area[i]=area[i-1]+dfq2ef<-q1ut }}v01<-10000vm1<-60000v02<-5000 #Calcolo h, uscite, volume ed efflussi,vm2<-15000 da serbatoio 1 ------#v0 sono i volumi iniziali, vm i v1[1]=v01volumi massimi for (i in 1:n)base<-2000#area base primo serb {alfa<-0.6#parametro efflusso in tubo h[i]=v1[i]/basek<-0.2#parametro efflusso lineareserb 2 q1ut[i]=(alfa*area[i]*sqrt(2*9.81*h[i]))f0<-0.1#area iniziale luce serb 1 v1[i+1]=v1[i]+q1in[i]*t-q1ut[i]*tdf<-0.005#variazione area buco per if (v1[i+1]>vm1)unità di tempo {t<-3600#secondi in ora q1ef[i]=(v1[i+1]-vm1)/tdt<-25#tempo al quale la variazione v1[i+1]=vm1di area del buco si inverte }tempo<-seq(1, n, 1)#vettore dei elsetempi per le portate {area<-q1ut#vettore delle aree di q1ef[i]=0luce }h<-q1ut#vettore delle altezze }idriche serbatoio 1#calcolo area nel tempo----area[1]=f0

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 7 di 44

#Creazione grafico relativo alle#Stampa portate relative al primo portate del secondo serbatoio----serbatoio---- jpeg ("portate due.jpeg",jpeg ("portate uno.jpeg", unit="px")unit="px") plot (q1ut, type="o",plot (q1in, type="o", col="red",lwd=3)col="red",lwd=3) title (main="Grafico delle portatetitle (main="Grafico delle portate di serb. 2", xlab="tempo[h]",di serb. 1", xlab="tempo[h]", ylab="portata [m3]/[s]")ylab="portata [m3]/[s]") lines (q2ut, col="blue", lwd=3)lines (q1ut, col="blue", lwd=3) points (q2ut)points (q1ut) lines (q2ef, col="green", lwd=3)lines (q1ef, col="green", lwd=3) points(q2ef)points(tempo, q1ef) legend ("top",legend ("top", legend=c("afflusso legend=c("afflusso", "efflusso",(dato)", "efflusso", "sfioro"), "sfioro"), col=c("red", "blue",col=c("red", "blue", "green"), "green"), lwd=2)lwd=2) dev.off()dev.off() #Stampa grafico relativo ai volumi#Stampa grafico altezza idrica---- dei serbatoijpeg ("altezza.jpeg", unit="px") m1<-rep(vm1, times=n+1)#Vettoreplot(h, lwd=2, type="o", costante pari al massimo del primocol="red", main="Altezza idrica serbatoio per stampa linea massimaserb. 1", xlab="tempo [h]",ylab="h [m]") m2<-rep(vm2, times=n+1)dev.off() #Vettore identico al precedente,#Calcolo ingressi, volume, uscite, per secondo serbatoiosfiori, serbatoio 2----- rap<-seq(0,vm1, vm1/n)v2[1]=v02 #Vettore che mi consente di rappresentare su grafico duefor (i in 1:n) grandeze che hanno scale molto{ #differenti, come v1 e v2, in cuiq2ut[i]=(k*v2[i])/t v2 va tra 0 e 15k, mentre v1 vav2[i+1]=v2[i]+q1ut[i]*t- tra poco meno di 10k e 60kq2ut[i]*t jpeg ("volumi.jpeg", unit="px")if (v2[i+1]>vm2) plot (rap, lwd=0, type="n"){ title (main="Grafico volumi",q2ef[i]=(v2[i+1]-vm2)/t xlab="tempo [h]", ylab="volumev2[i+1]=vm2 [m3])} lines (v1, type="o", lwd=3,else col="blue"){ points(v1)q2ef[i]=0 lines (v2, lwd=3, col="red")} points(v2)if (v2[i+1]<0) lines(m1, col="blue"){ lines(m2, col="red")v2[i+1]=0 legend ("center",errori=errori+1 legend=c("Sviluppo e max s.1",} "Sviluppo e max s.2"),} col=c("blue", "red"), lwd=2)dev.off()

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 8 di 44

Esercitazione 2 esercizio 1

• Superficie del volume di controllo A = 30000 m²;
• Spessore del volume di controllo S = 1.10 m;
• Porosità del terreno n = 0.40;
• Umidità iniziale del terreno θ0 = 0.05;
• Costante d’invaso k = 0.02 d-
• Plottare in un unico plot gli andamenti temporali delle portate entranti e uscenti [m³/d];
• Plottare l’andamento temporale del volume idrico [m³];
• Plottare in un unico plot gli andamenti temporali di umidità e grado di saturazione [%];
• Ripetere l’esercizio con porosità 0.20, 0.50, 0.80;
• Discutere i risultati ottenuti e descrivere la relazione che sussiste tra il grado di saturazione e la portata uscente.

Grafici

Porosità=0,2

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 9 di 44

Grafici

Porosità=0,4

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 10 di 44

Grafici

Porosità=0,5

Grafici

Porosità=0,8

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 11 di 44

Commenti

Il modello utilizzato per descrivere la ripartizione dell’acqua piovana tra ruscellamento e infiltrazione, è sostanzialmente identico a quello sfruttato per descrivere il movimento di acqua in un serbatoio lineare, al quale sono state apportate modifiche unicamente alla nomenclatura e ai parametri forniti.

A livello di portate le precipitazioni, una volta moltiplicate per la superficie del terreno in esame, forniscono le portate in ingresso, mentre le percolazioni (erroneamente chiamate “infiltrazioni” nei grafici) forniscono la portata uscente, e i ruscellamenti svolgono il ruolo di portate di sfioro.

Riguardo al volume del serbatoio, esso coincide con il volume del terreno moltiplicato per la porosità dello stesso, mentre il contenuto d’acqua iniziale del “serbatoio” è pari al prodotto tra volume e umidità iniziale.

A queste grandezze già precedentemente descritte si affiancano due “trasformazioni” delle stesse, ossia la saturazione (rapporto tra volume di acqua presente e volume massimo del “serbatoio”), e l’umidità (pari al volume di acqua presente diviso per il volume reale del terreno).

Tali relazioni sono ben osservabili dalla sequenza di grafici in cui si nota come, all’aumentare della porosità del terreno, si incrementi il volume di acqua massimo che esso può contenere.

Conseguenza di tale effetto è l’aumento della quantità massima di percolazione possibile, e la riduzione della quantità di ruscellamento. Per notare l’effetto è possibile osservare la seconda parte del primo grafico delle portate (relativo a porosità pari a 0,2), e dell’ultimo (relativo a porosità pari a 0,8). Si nota come, mentre nel primo caso la percolazione sia molto ridotta e il ruscellamento elevato, nell’ultimo la percolazione sia notevolmente incrementata, e il ruscellamento sia di fatto nullo.

Dato quanto sopra, sia in termini di definizioni che di comportamento del modello, è visibile come la portata uscente si abbia soltanto nel caso in cui vi siano precipitazioni (ossia ingressi) e il terreno sia già saturo (ossia il volume sia arrivato al suo massimo, e di conseguenza la saturazione sia pari al 100%). In tale caso la portata uscente sarà esattamente pari alla portata di ingresso meno la portata di percolazione.

Codice R

È presente unicamente il codice che fornisce i grafici con porosità=0,4, per ottenere altri grafici sarà necessario modificare il valore della variabile evidenziata. Ricordarsi di rimuovere dalla cartella i grafici generati da un’iterazione del programma, o rinominarli, prima di avviare il codice una seconda volta, in quanto altrimenti verranno sovrascritti.

#Ottenimento dati e costanti ----- vmax<-0dati<-read.table("esercizio_02.txt", header=TRUE) #Prime modifiche dei valori----na<-is.na (dati) #I dati sono espressi in mm/d, li voglio esprimere in m3/dqin<-dati[,1] for (i in 1:n)area=30000#m2 {spes=1.1#m qin[i]=qin[i]/1000*areak=0.02#1/d costante lineare di }filtrazione #Voglio definire vmaxpor=0.4#v vuoti/v totale vmax=por*area*spesv0=0.05#v acqua/v tot #Voglio modificare e usare v0n=length (qin) v0=v0*area*spestempo<-seq(1,n,1) vol[1]=v0tempo2<-seq(1,n+1,1) #Calcolo di portate e volumi----qut<-rep(0, times=n)qef<-rep(0, times=n)vol<-rep(0, times=n+1)

Quaderno delle esercitazioni di Carta Flavio, pagina 12 di 44

for (i in 1:n) #Grafico volume, con segnalazione{ di minimo (0) e massimo (vmax),qut[i]=k*vol[i] attraverso opportuni vettorivol[i+1]=vol[i]+qin[i]-qut[i] #(non conoscendo attualmenteif (vol[i+1]>vmax) altri modi per tracciare linee su{ grafici)qef[i]=vol[i+1]-vmax zero<-rep(0, times=n+1)vol[i+1]=vmax massimo<-rep(vmax, times=n+1)}else jpeg ("volume.jpeg", unit="px",{ width=1000)qef[i]=0 plot (tempo2, vol, type="l",} col="blue", lwd=5, main="Volume} acqua contenuto", xlab="tempo#Realizzazione grafici---- [d]&quo