Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Bellotti Riccardo

Appunti completi, chiari e ben strutturati di Calcolo numerico (adatti anche per Metodi Numerici). Studiando esclusivamente su questo materiale sono riuscito a preparare l'esame e a superarlo al primo appello con il massimo dei voti (30). Sono perfetti per chi cerca un documento unico e ordinato da cui studiare, senza impazzire tra decine di slide, appunti presi male a lezione e libri enormi. Gli appunti coprono il seguente programma: - Definizione e criteri di valutazione del costo di un algoritmo in termini di tempo e memoria. - Sensibilità agli errori: origine degli errori di arrotondamento, discretizzazione e troncamento. - Definizione di algoritmi iterativi, punti di innesto e importanza dei criteri di arresto. - Rappresentazione dei numeri in macchina tramite notazione Floating-Point (virgola mobile, mantissa, caratteristica, bit nascosto). - Limitazioni hardware: underflow, overflow e definizione dell'insieme dei numeri di macchina. - Errori assoluti e relativi derivanti dalle operazioni in macchina. - Definizione di precisione di macchina e limitazione superiore agli errori per troncamento o arrotondamento. - Proprietà e definizioni delle norme vettoriali (norma 1, norma euclidea o 2, norma infinito) e della disuguaglianza triangolare. - Definizioni delle norme matriciali indotte e relative proprietà. - Definizione di raggio spettrale legato agli autovalori di una matrice. - Sensibilità degli algoritmi: problemi ben condizionati e mal condizionati. - Studio del numero di condizionamento di una matrice e del fattore di amplificazione dell'errore sui dati. - Algoritmo di risoluzione dei sistemi lineari con matrici triangolari (in avanti e all'indietro). - Applicazione del Metodo di Gauss e calcolo dei moltiplicatori. - Costruzione della Fattorizzazione LU di una matrice e calcolo del determinante. - Stabilità degli algoritmi e necessità di applicare il Metodo di Gauss con pivoting parziale (scambio delle righe). - Vettore residuo e stima a posteriori dell'errore nei sistemi lineari. - Distinzione tra approssimazione (dati affetti da errore) e interpolazione (campionamento esatto). - Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati per minimizzare l'errore globale. - Formulazione del sistema lineare per trovare la retta o la parabola di migliore approssimazione. - Condizioni di unicità per l'interpolazione polinomiale tramite la Matrice di Vandermonde. - Costruzione del polinomio interpolante utilizzando la base di Lagrange. - Costruzione del polinomio interpolante utilizzando la base di Newton tramite la tavola delle differenze divise. - Definizione e costruzione di funzioni polinomiali a tratti e Spline. - Utilizzo della base delle potenze troncate per la costruzione delle Spline. - Scopo dell'integrazione numerica e definizione dei pesi e dei nodi di valutazione. - Definizione e costruzione delle Formule Interpolatorie basate sul polinomio di Lagrange. - Applicazione della Formula dei Trapezi per approssimare l'integrale a un'area trapezoidale. - Applicazione della Formula di Simpson per l'approssimazione parabolica dell'integrale. - Applicazione della Formula del Punto Medio. - Stime degli errori teorici e definizione del grado di precisione di una formula di quadratura. - Miglioramento dell'approssimazione tramite formule composite (Trapezi composita e Simpson composita). - Definizione della convergenza per i metodi iterativi (convergenza asintotica, globale e locale). - Classificazione della velocità di convergenza: lineare e quadratica. - Applicazione e teoremi del Metodo di Bisezione. - Criteri di arresto per i cicli iterativi: salvaguardia, ampiezza dell'intervallo e tolleranze (errore assoluto, relativo o misto). - Applicazione e convergenza locale del Metodo di Newton (o delle tangenti). - Condizioni di convergenza globale di Fourier per il Metodo di Newton. - Definizione del Metodo delle Secanti.