Esercizio svolto di idraulica ambientale su integrazione numerica di un profilo di corrente in moto permanente in alveo a sezione trapezoidale

INTEGRAZIONE NUMERICA DI UN PROFILO DI CORRENTE

Si tracci il profilo di moto permanente nell’alveo cilindrico a sezione trapezoidale indicato in figura che sbocca in un serbatoio a livello invariabile. La corrente parte da una luce di fondo che impone un tirante nella sezione A pari ad hm.

b= 0.70 m K_st= 45 m^1/3s^-1 i₁= 0.05 i₂= 0.0005 L₁= 400 m L₂= 1300 m

Q= 2.2 m³/s hm= 0.20 m hv= 2.15m

SOMMARIO

1. Cenni teorici sullo svolgimento dell’esercizio     Pag. 1
2. Svolgimento dell’esercizio ed elaborazione di grafici     3

1. CENNI TEORICI sullo SVOLGIMENTO dell’ESERCIZIO

L’equazione specifica del profilo di corrente (1) consente, se trattata per differenze finite, di tracciare il profilo della corrente una volta che si conoscano le condizioni ai limiti.

_^dh/_ds=^i–J/_1–Fr² (1)

Il significato dei simboli è il seguente:

• h tirante [m];
• s ascissa longitudinale [m];
• i pendenza dell’alveo;
• J cadente piezometrica;
• Fr numero di Froude.

Il presente problema del tracciamento del profilo di corrente viene affrontato conoscendo:

• la portata Q costante che defluisce nell’alveo;
• le caratteristiche geometriche dell’alveo (pendenza i, lunghezza L, forma e dimensione delle sezioni trasversali) e quelle relative alla scabrezza (coefficiente di Strikler K_st);
• condizioni ai limiti.

Da un punto di vista strettamente matematico assegnare le condizioni ai limiti che rendono univocamente determinato il profilo di una corrente significa assegnare il valore del tirante h in corrispondenza di un valore dell’ascissa s del canale. In linea teorica, pertanto, la conoscenza del tirante idrico in una qualsiasi sezione della corrente, sia essa lenta o veloce, rende possibile il tracciamento del profilo sia verso monte che verso valle, in quanto la corrente è univocamente determinata. Nella realtà fisica, accade che il profilo idrico di una corrente di assegnata portata è determinato dalle condizioni di valle se la corrente è lenta (ipocritica) e dalle condizioni di monte se la corrente è veloce (ipercritica).

Non sempre la corrente in un canale si presenta tutta lenta o tutta veloce; può accadere infatti, come nel presente esercizio, che un cambiamento della pendenza dell’alveo comporti il passaggio dall’una all’altra. A tal proposito è possibile osservare che il passaggio da condizioni di corrente lenta a rapida avviene, per aumento dell’inclinazione del fondo, con continuità attraverso l’altezza critica; al

La (3) fornisce come soluzione il valore h_c = 0,82m che:

• Per il primo tratto a forte pendenza, essendo maggiore del tirante di moto uniforme h_u1 = 0,536m, implica che la corrente sia veloce;
• Per il secondo tratto a debole pendenza, essendo minore dell’altezza di moto uniforme h_u2 = 1,85m, implica che la corrente sia di tipo lento.

Andamento qualitativo del profilo di corrente

La corrente veloce del primo tratto è, per quanto detto in precedenza, comandata da monte dove una luce di fondo impone un tirante h_m = 0,2 m minore del tirante di moto uniforme h_u1. Con riferimento alla figura 1, relativa all’andamento qualitativo dei possibili profili di corrente che si possono avere in alveo a forte pendenza, si può notare come l’unico profilo compatibile con tale condizione è quello relativo ad una corrente veloce ritardata (FVR in figura 2).

Figura 2. Andamento qualitativo dei possibili profili di corrente in alveo a FORTE PENDENZA (h_o rappresenta il tirante di moto uniforme e k il tirante di stato critico).

Figura 3. Andamento qualitativo dei possibili profili di corrente in alveo a DEBOLE PENDENZA(h_o rappresenta il tirante di moto uniforme e k il tirante di stato critico).

Nel tratto a debole pendenza, invece, la condizione di valle impone un tirante h_v=2,15m maggiore di quello relativo al moto uniforme, così che il profilo che si instaura in tale tratto è quello di una corrente lenta ritardata (DLR in figura 3).

Il moto a pelo libero nel nostro canale prismatico passa, dunque, da condizioni di corrente veloce a lenta, e questo avviene tramite un risalto idraulico. Dall’esame dei

^S_(FVR) ^S_(FLR) e ^S_(DLR) ^S_(DVR)

Laddove tale rapporto risulta pari all'unità, lì sarà localizzato il risalto idraulico. Nel caso in esame ciò avviene nel tratto a forte pendenza in corrispondenza dell'ascissa s=388m. Di conseguenza il profilo di corrente che si instaura è quello già riportato in figura 4 al centro.

Figura 7a. Andamento della spinta totale nel tratto a forte pendenza in funzione della posizione s della sezione considerata lungo il canale. Dove le spinte si eguagliano si verifica il fenomeno del risalto.

Figura 8b. Andamento della spinta totale nel tratto a debole pendenza in funzione della posizione s della sezione considerata lungo il canale. In questo tratto non avviene risalto.