Esercizio 3 Turbine idrauliche Impianti Idroelettrici

Capitolo 3

Lunedì 16 novembre 2020 16:45

Esercizio 3.1

Di un impianto idroelettrico basato sull’applicazione di una turbina Pelton sono note le seguenti caratteristiche:

• Caduta disponibile Hm: 600 m
• Portata disponibile: 4 m³/s
• Velocità di sincronismo dell’alternatore: 750 Rpm
• Angolo della palettatura allo scarico: β₂ = 160º

Si chiede di determinare:

1. I triangoli di velocità in ingresso e uscita alla macchina, il diametro, la potenza prodotta ed il rendimento idraulico in ipotesi di macchina ideale (assenza di attriti) ottimizzata
2. Nel caso si voglia ridurre il salto motore a 500 m senza modificare la geometria ed i giri della macchina, si disegnino i nuovi triangoli di velocità e si calcolino la nuova portata ed il nuovo rendimento
3. Con riferimento al punto 2, si richiede inoltre una verifica della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio, il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche: Caduta disponibile H_lab: 30 m Diametro del modello: 250 mm Si chiede di definire la portata necessaria ad alimentare l’impianto di prova, la velocità di rotazione del modello e la potenza del freno da installare nell’impianto di prova.

Schema + dati

Svolgimento

Q1

1) Bilancio energetico tra sez. 1 - 1

l + lw = (zm - z1)g + (V_m² - V₁²)/2 + P_m/ρ

l + lw + wc + w => Δz g - V₁²/2 => V₁ = √((Delta z g - lwc)2)

Capitolo 3

Lunedì 16 novembre 2020 16:45

Esercizio 3.1

Di un impianto idroelettrico basato sull'applicazione di una turbina Pelton sono note le seguenti caratteristiche:

• Caduta disponibile Hm: 600 m
• Portata disponibile: 4 m³/s
• Velocità di sincronismo dell'alternatore: 750 Rpm
• Angolo della palettatura allo scarico: β₂ = 160°

Si chiede di determinare:

1. I triangoli di velocità in ingresso e uscita alla macchina, il diametro, la potenza prodotta ed il rendimento idraulico in ipotesi di macchina ideale (assenza di attriti) ottimizzata
2. Nel caso si voglia ridurre il salto motore a 500 m senza modificare la geometria ed i giri della macchina, si disegnino i nuovi triangoli di velocità e si calcolino la nuova portata ed il nuovo rendimento
3. Con riferimento al punto 2, si richiede inoltre una verifica della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio, il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche: Caduta disponibile H_lab: 30 m Diametro del modello: 250 mm

Si chiede di definire la portata necessaria ad alimentare l'impianto di prova, la velocità di rotazione del modello e la potenza del freno da installare nell'impianto di prova.

Schema + dati

Svolgimento

Q1

1) Bilancio energetico tra sez. 1-1

l + l_m = (z_m - z₁)γ + (V_m² - V₁²)/2 + P_m/ρ

l + l_wt + l_wc = Δzγ - V₁²/2 => V₁ = ((Δzγ - l_wc)2)

l_t + l_v + l_wc = Delta zg - v₁²/2 => v₁ = sqrt(2 Delta zg - 2 l_c)

=> v₁ = 108,50 m/s

2) Studio i triangoli di velocità

I) ipotesi macchina ideale: phi = 1 ; psi = 1

II) ipotesi di macchina ottimizzata: h_p = U₁ / V_1,iel = 1/2

Ingresso

U: U_1R = 0

U_1A = 0

U_1T = h_p V_1,iel = phi V_1,iel/2 = V_1,iel/2 = 54,25 m/s

V₁: V_1R = 0

V_1A = 0

V_1T = V_1,iel

|V₁| = V_1T

alpha₁ = 0°

W₁: W_1R = 0

W_1A = 0

W_1T = V₁ - U₁ = V_1,iel/2

|W₁| = W_1T

beta₁ = 0°

V₁ - U₁ = W₁

U₁ = U₂ = U

Uscita

U: U_2R = 0

U_2A = 0

U_2T = U_1T

W₂: W_2R = 0

W_2A = |W₂| sin(beta₂) = 18,55 m/s

W_2T = |W₂| cos(beta₂) = -50,98 m/s

|W₂| = |W'2| => |W₂| = |W₁|

beta₂ = 160°

V₂: V_2R = 0

V_2A = W_2A = V_2T = W_2T

V_2T = W_2T + U_2T = 3,27 m/s

|V₂| = sqrt(V_2T² + V_2A²) = 18,84 m/s

alpha₂ = arctan(V_2A/V_2T) = 80,90°

3) U = omega D/2

omega = 2 pi/60 n = 78,54 rad/s

=> D = 2U/omega = 600/(2 pi/60 n) = 1,38 m

4) P = rho Q l

l = U V_1T - U V_2T = U(V_1T - V_2T) = 5703,33 J/kg

l = U_1T - U_2T = U(V_1T - V_2T) = 5708,35 J/kg

P = 22,33 MW

5) η_lotz = l/(l + l_th) = l/gH_m = 0,37

Q2

1) V_1,adII = √(2gH_m) = 33,05 m/s

2) Ingresso

V_1R = 0

V_1A = 0

V_1T = φV_1adI = V_1,adII

|V₁| = V_1T

α₁ = 0°

U_1R = 0

U_1A = 0

U_1T = (2π/60) n D = 54,25 m/s

|U₁| = U_1T

W_1R = 0

W_1A = 0

W_1T = V_1,adI - U_1T = 44,8 m/s

|W₁| = W_1T

β₁ = 0°

3) V₁ W₁ U₁

Uscita

U_2R = 0

U_2A = 0

U_2T = U_1T

W_2R = 0

W_2AII = |W_2II| sin(β₂) = 15,35 m/s

W_2T = |W_2II| cos(β₂) = -4,17 m/s

|W_2zII| = |W₁|

β₂ = 160°

V_2R = 0

V_2A = V_2II = W_2II

V_2T = W_2T + U_2T = 12,08 m/s

|V_2II| = √(V_2T² + V_2AII²) = 15,53 m/s

α_2II = arctan(V_2A/V_2T) = 51,80°

4) Q₁ = AV₁ = cost

Q₁/V₁ = A = Q₂/V_1II => Q₂ = V_1II Q₁/V₁ = 3,65 m³/s

5) η_II = l/(l + l_w) = l/gH_m

l = U(V_1II - V_2II) = 4718,12 J/kg

η_II = 0,36

Esercizio 3.2

Di un impianto idroelettrico basato sull'applicazione di una turbina Francis sono note le seguenti caratteristiche:

• Caduta disponibile H_m: 120 m
• Velocità di rotazione: n: 600 giri/min
• Portata disponibile: 2.5 m³/s
• Grado di reazione: x=0.53
• Rendimento idraulico: η_y=0.94
• Coef. di velocità periferica: κ_p=0.75

1. Si determini il numero di giri caratteristico ω_s (definito in unità del S.I.), la velocità v₁ allo scarico dello statore e il diametro della macchina.
2. Il committente richiede inoltre una verifica preliminare sulle prestazioni della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche: Caduta disponibile H_m: 10 m Diametro del modello: 0.25 m Si chiede di calcolare la portata necessaria ad alimentare l'impianto di prova e la potenza richiesta al freno motore del modello.

(1){psi₁ = psi₂ => { Q₁/(m₁D₁³) = Q₂/(m₂D₂³) => Q₂ = Q₁(m₂/m₁)(D₂/D₁)³ = 0,072 m³/s

(psi₁ = psi₂

(gH₁)/(n₁²D₁²) = (gH₂)/(n₂²D₂²) => n₂ = n₁ D₁/D₂ sqrt(H₂/H₁) = 547 rpm}

(2) P = m l = rho Q g H₂ eta₂/eta₁ = 6633,4 kW ~= 6,6 MW

Esercizio 3.3

Un impianto idroelettrico produce energia sfruttando il dislivello geodetico pari a 240 m esistente fra due bacini.

L'acqua viene trasportata dal bacino di monte alla sala macchine attraverso una sola condotta forzata e viene poi distribuita a 3 turbine idrauliche identiche fra loro. Nelle ore di massima richiesta elettrica (punto di funzionamento nominale) sono in marcia tutte le 3 turbine presenti che lavorano nelle seguenti condizioni:

• Salto motore pari a 200 m
• Portata complessiva elaborata dall'impianto pari a 60 m³/s

Utilizzando il diagramma di Balje allegato (Fig. 2):

1. Si richiede di determinare la velocità di rotazione ottimale ed il diametro delle macchine, tenendo presente che per motivi economici è necessario realizzare un accoppiamento diretto con l'alternatore riducendo al massimo le dimensioni della macchina. Stimato dal diagramma di Balje un opportuno valore di rendimento, determinare la potenza elettrica erogata da ogni macchina, assumendo di avere: (0<100% premere di nascosto). rendimento meccanico eta_m=0.98 rendimento elettrico eta_e=0.97
2. Nelle ore di bassa richiesta elettrica, è previsto che funzioni una sola delle 3 turbine (senza che venga variata la geometria della macchina). Valutare la potenza erogata dalla macchina supponendo che la curva del rapporto di rendimento idraulico in funzione del rapporto di portate rispetto alle condizioni nominali sia quella di Fig. 3-b: rendimento idraulico eta_i/eta_i,nom = -1.5 (Vdot/Vdot_nom)² + 2.8 (Vdot/Vdot_nom) - 0.3

Schema + dati

Svolgimento:

Svolgimento:

Q1, 2 possibili metodi

I) Metodo: metodo furbo:

1) Non venendo specificato il tipo di macchina utilizzato, confrontando i dati con le caratteristiche generali delle turbine idrauliche:

Hm = 200 m

Q1r = Qtot/3 = 20 m³/s

Turbina Francis.

2) Dal diagramma di Balje posso notare che il rendimento massimo è per ws ≈ 1

ws = w sqr(Q/(gHm)^1/4) => w = ws ((g*Hm)^1/4/sqrt(Q)) = 65,32 rad/s => n = 60 w/2pi = 625,45 rpm

3) Dovendo essere attaccata a un alternatore:

n = 60h/Npp => Npp = 60h/n = 4,76 -> 4

=> n = 750 rpm -> w = 78,54 rad/s -> ws = 1,15

Su curva di Cordier Ds = 3,3

Ds = D(gH)^1/4/sqrt(Q) => D = Ds sqrt(Q)/(gH)^1/4 = 2,22 m

sempre dal diagramma eta = 92,33%

=> U = w D/2 = 87,18 m/s

Metodo meccanico e iterativo

II) Metodo: meccanico & iterativo

1. Scelgo il valore di Npp
2. Calcolo nw

fatto il valore scelgo il Npp da un punto da avere eta massimo.

2) calcolo n

3) w

4) Ws

5) Scelta Ds (al rendimento migliore).

6) calcolo D

7) U

mi porta ad avere N massimo.

=> calcolo della potenza generata dalla singola turbina

Pel = rho Q_IT g Hm eta_IDR eta_m eta_el = 34,32 MW (34664329,84 W)

P_TOT = 3 * Pel - Energia generata dall'impianto.

Q_IT = Q_TOT = 60 m³/s (lavora una sola turbina)

1) Ricavo la curva di impianto: bilancio energetico sez. 0-4

Hm = z0 - z4 + (V1² - V2²)/(2g) + (P1 - P2)/(rho g) - Y_CP

Hm = z0 - z4 - Y_CP = 240 - A Q²

=> applicando il punto di funzionamento nominale (Hm = 200 ; Q = 60 m³/s)

A = (Delta z - Hm)/(Q²) = 0,011 s²/m⁵

2) Ricavo la curva caratteristica della turbina:

H_T = B * Q²

applicando il punto di funzionamento nominale: (Q_IT = 20 m³/s, Hm = 200 m)

B = H_T/(Q²) = 0,5 s²/m⁵

3) Ricavo il punto di funzionamento con una sola turbina

H_T = 0,5 Q²

H_T = 240 - 0,011 Q²

=> 0,511 Q² - 240 = 0 => Q_IT = sqrt(240/0,511) = 21,67 m³/s

=> H_T = Hm = 234,8 m

4) Il rendimento lo ricavo sostituendo Q_IT/Q = V/V_nom = 1,083 nell'equazione data:

eta_IDR/I = eta_IDR,E/eta_IDR,nom = 0,37 → eta_IDR,I = 0,3233

eta_IDR,E = 0,37 eta_IDR,L = 0,3914

5) P_IT = rho Q_IT g Hm eta_IDR,E eta_m eta_el = 42770209,25 W ~= 42,77 MW

Esercizio 3.4

Una turbina idraulica elabora una portata di 10 m³/s; la sezione di uscita della macchina è 1 m². Supponendo la depressione massima nella macchina nota e pari a 0.2 bar rispetto alla sua sezione di scarico, valutare la quota di installazione della macchina se si aggrappa allo scarico un diffusore ideale (perdite per attrito ed energia cinetica allo scarico trascurabili) perché la pressione minima nella macchina non scenda sotto al valore p_min=0.15 bar. Ipotizzando nulla la tensione di vapore, una volta installata la macchina a tale quota, per quale portata la macchina inizierà a cavitare?

Dati + schema

Q = 10 m³/s

S₂ = 1 m²

ΔP_max = 0.2 bar = P₂ - P_x

P_x ≥ P_xmin = 0.15 bar

Svolgimento

1) Bilancio energetico tra sez. 2-4

z₂ + V₂²/2g + P₂/rho g - Y_2-3 = z₄ + V₄²/2g + P₄/rho g

z₂ = z₄ + (P₄ - P₂)/rho g - V₂²/2g

z₄ = 0 x' quota di riferimento

P₄ = 101325 Pa

P₂ = P_x + ΔP_max = P_xmin + ΔP_max = 0.35 bar = 35000 Pa

V₂ = Q₂ / S₂ = 10 m/s

= 1,66 m

2) Dai dati Pv = 0 bar/e significa che la turbina inizierebbe a cavitare se la Px = 0 bar/e: stato di incipiente cavitazione

=> P_min = 0 -> P₂ = 0.2 bar

z₂ = (P₄ - P₂)/rho g - V₂²/2g => V_2cav = √(2(P₄ - P₂)/rho - 2gz₂) = 11,41 m/s

Q_cav = V_2cav S₂ = 11,41 m³/s

Esercizio 3.5

Una turbina Kaplan che per Q=5 m³/s presenta un NPSH_r richiesto di 7 m e un NPSH_d disponibile di 10 m è installata alla quota di 1.5 m sul livello del pelo libero del bacino di scarico. Allo scarico della girante la pressione dei gas disciolti è 0.03 bar e la tensione di vapore è 0.023 bar.

• Calcolare la perdita nel diffusore
• Determinare la portata massima elaborabile senza cavitare ipotizzando condizioni di moto assolutamente turbolento

Dati + schema

Svolgimento

Q1

1) Bilancio energetico 2-4

P₂ / 8g + V₂² / 2g + z₂ - Y_0q = P₄ / 8g + V₄² / 2g + z₄

P₂ / 8g + V₂² / 2g = P₄ / 8g - (z₂ - z₄) + Y_D

P₂ / 8g + V₂² / 2g - P_v + P_sol / 8g = P₄ / 8g - [(z₂ - z₄) + P_v + P_sol / 8g] + Y_D

= NPSH_D

=> Y_D = NPSH_D + (z₂ - z₄) + P_v + P_sol / 8g - P_L / 8g = 1.712 m

Q2

2) Condizione di iniziante cavitazione NPSH_R = NPSH_D

NPSH_R = A·Q² => applicando le condizioni nominali (Q = 5 m³/s, NPSH_R = 7 m)

=> A = NPSH_R / Q² = 0.28 s²/m⁵