Esami e sunto prima parte di meccanica applicata alle macchine prof Catania

1. Elemento di macchina in mezzo viscoso

Un elemento di macchina di massa m vibra in un mezzo di natura viscosa, e viene proposto il modello dinamico, i cui parametri sono M, k, c, riportato in figura. È nota l'ampiezza Xs dello spostamento statico dovuto al peso proprio Q. In condizioni di eccitazione con una forzante armonica di ampiezza F₁=γ*Q, il sistema vibra con ampiezza X₁=α*X_s= 12*X_s e con periodo di oscillazione T₁=β*T_r=1.09*T_r, dove T_r è il periodo di oscillazione in condizioni di risonanza. Effettuare la stima della massa M, della rigidezza equivalente k, del rapporto di smorzamento ζ, del coefficiente di viscosità equivalente c e della frequenza naturale di oscillazione ω_n del sistema.

Dati: Q X_s γ 29 N 3 mm 2.7

Risultati: M= ...................................................... (kg) k= ...................................................... (N/m) c= ...................................................... (kg/s) ω_n = ........................................................ (Hz) ζ= ............................................................ (%) pag. 1

1. Un elemento di macchina di massa m vibra in un mezzo di natura viscosa, e viene proposto il modello dinamico, i cui parametri sono M, k, c, riportato in figura. È nota l’ampiezza Xs dello spostamento statico dovuto al peso proprio Q. In condizioni di eccitazione con una forzante armonica di ampiezza F1=γ*Q, il sistema vibra con ampiezza X1=α*Xs=12*Xs e con periodo di oscillazione T1=β*T1=1.09*T1, dove T1 è il periodo di oscillazione in condizioni di risonanza. Effettuare la stima della massa M, della rigidezza equivalente k, del rapporto di smorzamento ζ, del coefficiente di viscosità equivalente c e della frequenza naturale di oscillazione ωh del sistema.

Dati: Q = 29 N X_s = 3 mm γ = 2.7

Risultati: M= .................................................... (kg) k= ..................................................... (N/m) c= ..................................................... (kg/s) ω_h = ..................................................... (Hz) ζ= ..................................................... (%) pag. 1

Dati e svolgimento

1) MmKCDati: Q = 29 N X_s = 3 mm; 0,003 m ξ = 2,7 T₁ = 2π/ω_m = 0,1958 → T₁ = 0,1197 s

Determinare: M, k, c, c_ξ, ω_m

M = Q/g = 29/9,8 → 2,55 kg

Q = H_g → k = Q/X_s = 9,7 × 10³ N/m

ω_m = √K/M → 57,2 rad/s

ω = 2π/T₁ = 52,5 rad/s = 5,1 Hz

Eq. del moto: MǨx + c&x˙ + kx = F₁ x(t) = X_e^jωt X₁(-ω+(jωc + k)) = F₁ ⇔ c = √^{(F₁/X₁)-(√-mω + k)}/w² = cΓkω² +/- 25,1 → c = +/- 28,1 kg/ξ = ^C/_2Mωm = 0,09 = 9%

Prova scritta di Fondamenti di Meccanica delle macchine

Inizio: Fine: Ritirato: durata: 60' NOME: NUMERO DI MATRICOLA:

1. Progettare la sospensione di figura (rigidezza elastica k e viscosità c, frequenza naturale ω, e rapporto di smorzamento ζ) affinché siano soddisfatte le seguenti due condizioni:
   1. In corrispondenza di una eccitazione F(t) = F_o • cos(ω₁ • t + α), il modulo |T| della reazione trasmessa al telaio T(t) di figura valga |τ| = _Fo/^s;
   2. In corrispondenza di una eccitazione F(t) = F_o • cos(ω_o • t + α), il modulo |T| della reazione trasmessa al telaio T(t) di figura valga |T| = σ • F_o.

Dati: m F_o ω₁ α σ s 10 kg 120 N 1200 rpm 30° 6 10

Risultati: k = ........................................... (N/m) c = .......................................... (N*s/m) ω_n = ....................................... (Hz) ζ = ............................................. (%) pag. 2

Esame 27-6-2014

s = _c/2√km = 0,09

ESAME 27-6-2014

Determinare: k, c, ω_m, s tali che in corrispondenza di un'eccitazione F(t) = F₀ cos (ω_m t + α), il modulo della reazione trasmessa il telo |T| = F₀/s se F(t) = F₀ cos (ω_m t + α) ⇒ |T| = σ·F₀.

Eq. del moto mx ̈ + cx ̇ + kx = F₀ → (-ω_m² m + jω_c + k) X e^jwt = F₀ e^jwt X = _F0/(k - ω_m² m) + j c ω |T| = _F0 √(v k - ω_m² m)² + c_ωt [ω = ω₁] σ c √_k/_m = √_k²/mc² elim tutti alla c(σ² - 1) = k² → c = √_{m k}/_{(σ² - 1)}

Sostituisco nell'altra eq ¹/_{√(k - ω1²m)² - m k / (σ² - 1) w1} = √_{u1² - mk / (σ² - 1) - k²} = ¹/_s√ w_d² m_k / (σ²-1) + k² = 1 / s √(k - w₁² m )² + mk / (σ²-1) w₁²

w₁ = m_k / (σ²-1) + k = 1 / s [ ( k - w₁² m )² + mk / (σ²-1) ] w₁² k² + w₁ m / (σ²-1)k = 1 / s [ k² + w₁⁴ m² - 2 k w₁² m + mw₁² / (σ²-1) k ] = 1 / s [ k² s² + w₁⁴ m² - 2 w₁ m² + mw₁² / (σ²-1) s² ]

( )k² = k² / s² + w₁² m / (σ²-1) + 2 w₁ m / s² k + mw₁² / (σ²-1) s² k²(1 - ) s² + k [ w₁ m / (σ²-1) + 2 w₁ m ] mw₁² / (σ²-1) s² = 0

k² 0,98 + k [ 536 ] + 3175,2 - 45,36 * 25204736 K 0,99 + k 73665,84 25204736 K = - 73665,84 + √( 73665,84² + (0,98 -25204736))2 * 0,98 K = - 73665,84 + √( 73665,84² + (0,98 -252047362 * 0,98= 40592,8 1,05 * 10^-4 c = √( 4,05 * 10⁵ = 54,77 N / m W_m = √( K / m ) = 32,4 = 51,76 hz ζ = c / 2 m w_m = 0,08

Oscillazione armonica

x(t) = X_max cos (w_nt - δ)

Dati: m = 2 kg, F = 20 N, X_max = 70 mm T = 0,15 s T = 2π / √ k/ m

Schematizzazione sistema. -mẋ - kx - cẋ = - F_o cos (w_nt) ⇒ x = k/m x + c/m x = F_o/m x(t) = X e^jωt X_max e^jωt ẋ(t) = jwX e^jωt = jω X _max e^jωt ẍ(t) = -w_n²X e^jωt = -w_n² X_max e^jωt

F_o cos (w_nt) = F_o e^jw_nt ⇒ (-w_n² + jω c/m + k/m ) X_max e^jωt = F_o e^jωt ⇒ j2ξ ω_n X_max ⇒ 1/2 ξ(ω_n²) ⇒ ζ = F_o.c = 2·2·0,04√3509,13/2.0,046,7

Esame 15/11/2014

ESAME 15/11/2014

F₀ coswt = F(t) x(t) O < w <= w_max X - spostamento massimo - a· X_s max (x(t)) w - w_critica - max (x(t)) = X

Determinare: c w_critica

Svolgimento: X_s = X₀

Dati M = 65 Kg; F₀ = 320 N; X_s = 3,5 mm 0,035 m; w_max = 34,1 π rad/s; a = 33.0,035 = 0,0105 mm·g·X_s·kX_sm·g =65·9.81= 0,0053= 18,2·10N/m

w_critica = √(k/m) w_critica =52,52 rad/s perché·è·in·condizioni·di·risonanza

Schematizzazione sistema. -MxF(t)x(t)-kx·cx-Mx + kx + cx F(t) x = X_s e^jwt x = -jw X e^jwt x = -w² X e^jwt F₀ e^jwt fare ... mediante cambi invertivà (per logaritmi j)- (w²M + jwc + k)√[k - w²m]2 + w²c²|FX COMPOSIZIONE CRITICHE DI FUNZIONAMENTO|F₀|Xw_wcow = w_w c = k - w²M = 0 F₀| -X - 577,9 N.m= 577,9 kg

Esame 23/7/1994

ESAME - 23/7/1994

Determinare: X₁ w γ

N.B.: le frequenze dei due carrelli sono uguali w = β = 233,2 rad/s

Svolgimento X₁(t) - X₁ cos(wt - φ) X₁ - X₁ e^βt x₁(t) = X₁ e^jwt x₁(t) = w²x₁ e^jwt (-w²m₁ + c₁jw)X₁ = -w²m₂ X₁ e^jwt

X₁₁ = ^{|-w2m₂ X||₁|} _{(k1 e^jwt - w²m2)} υ base = arc tan_{2 1} - √₂² + ² ⇒_m sistema√√√ _{sistema sistema}√ 320 + 400 4 . 2 = 16,93 rad/s ϛ_m=25 _m ⇒ ϛ = c 2 _m c = 0,59 = 59% arc tgγ = arc tg= 3,91

Riepilogo prima parte

In molle ammortizzatore, effettivi passivi ⇒ si oppongono alla direzione del moto:

F_m = k ẋ F_i = m ẍ x(t) k x(t) c ẋ(t) m ẍ(t)

1 rpm (round per minute) = ^{1 · 2π}/₆₀ rad/s = ω̅

T = periodo = ^2π/_ω ⇒ ω(s(t)) = ^l/_v ω_m, ω scritto ⇒ ^2π/_ωm ^l/_vcritico ⇒ l = ^l/_T

^k/_m = ω_m^{2 c_m}/_2ξωm ⇔ ξ = ^c/_2mωm

TRAVE AD INCASTRO ⇒ mi comporta come una molla con k

F̅ = k x̄ ↔ x̄ = ^{Ḟ l3}/_3EI

Q̅ [N] = m [kg]. ґ [^m/_s²] ⇔ m = ^Q̅/_ґ

ACCOUPPIAMENTO AL BASAMENTO ΔΠ = ρA h

Ampiezza vibrazione forzata

AMPIEZA VIBRAZIONE FORZATA: |X| = ^F_o/k/_{√(1 - ^ω̅2/ωm²)² + (2ξ^ω̅/ωm)²}

Ψ = arg ^{(2ξω̅/_ωm)}/_{1 - ^ω̅2/ωm²}

Trasmissione al telaio

TRASMISSIONE AL TELAIO T(t) = cẋ(t) + kx(t) ⇔ |T| = k|X| · ¹/_{√(1 - ^ω̅2/ωm²)² + (2ξ^ω̅/ωm)²} F_o/k

MODULO DI ω NUMERO IMMAGINARIO: a+ib |ω| = √a²+b²

CONDIZIONI DI RISONANZA: ω̅ = ω_m = ω_critica ⬄ ε, ξ ⇒ 0 ⇒ |X| ⇒ ∞ ⇒ X = X_max

ω̅ = ∞ ⇒ |X| = ^F_o/√_k ⇒ |X| = 0

TRASMISSIONE: |X|max ϕξ = 0 c≠0

Vibrazioni libere

VIBRAZIONI LIBERE f(t) = 0 ẍ + _c/_m ẋ + _k/_m x = 0

Eq. differenziale c = coeff. di movimento viscoso k = costante elastica f = c dx/dt T = 2π/_ωm w² = _k/_m c/m = 2ξ_ωm => x = e^-ξ_ωmt [A sen (_ωst + φ)]

A = ẋ(0){A sen φ B = A cos φ √_{A² + B²} φ = tg^-1()

Vibrazioni forzate

VIBRAZIONI FORZATE f(t) ≠ 0 ẍ + 2 ξ ω_m ẋ + ω²_m x = f_e(t)/m + f_i(t)/m

f(t) = Σ_k=0 f_k(t) x(t) = Σ_k=0 x_k(t)

ẍ - 2 ξ ω_m ẋ + ω²_m x = F₀/m cos(ω;t) ω² X sen (ω;t - ψ; + π;) ⟹ Ψ = arctg ⌊ ^{2ζ; ω; _m ̱} / _{ω; n ² - ω; r ²} ⌋ Χ = ^F_o / _{k √(1 - ̱ω; r ² / ω; n ²)² + (2ζ; ̱ω; r / ω; n)²}

F_o/k - risposta del sistema ad uno smaltimento statico (a frequenza nulla)

MODULO DI UN NUMERO IMMAGINARIO |a + ib| = √a² + b²

c = 2ζ;ω_m m X = _Fo/^k ⨯ ₁/^{√(1 - (ω²/ω2_m))² + (2ζ;ω/ω_m)²}

ω = 0 ➔ X = _Fo/^k ⨯ ₁/^{√1² + 0} = _Fo/^k

ω = ω_m ➔ X = _Fo/^k ⨯ ₁/^{√0² + (2ζ;)²} = _Fo/^{k ⨯ 2ζ;} ➔ Se ζ; ➔ 0 allora X ➔ ∞ X ➔ ∞

X = x_max X ➔ ( √(---) ) ➔ ∞ ➔ X ➔ 0

CONDIZIONI DI RISONANZA ⇔ ω = ω_m = ω_critica

X = X_max ⇔ ζ = 0