Riassunto "Idraulica"

IDRAULICA

Forze di massa ( ^§ F): forze esterne che si esercitano a distanza sul sistema, proporzionalmente alla propria massa.

Forze di superficie (grad_p): forze che vengono esercitate su una parte del sistema attraverso la sua superficie.

L'insieme di forze agenti su una superficie infinitesima viene chiamato spinta (d^∫ = ∫_ndA). Il modulo dello sforzo normale è la pressione (d∫ = P_n) Il sistema di tutti gli sforzi sulla superficie finita A è: T^∫ = ∫_AdA = PA ed è chiamata spinta.

Equazione indefinita della statica

Considerato un volume infinitesimo lo sforzo normale alla superficie ABCD e p è quindi la spinta = p_y dx d_z.

Sulla superficie EFGH lo sforzo vale = (p + ∂p/∂_x dx) e la spinta = (p + ∂p/∂_x) dx d_y d_z.

→La risultante delle spinte sulle due facce parallele e normali all'asse x vale: - ∂p/∂_x dx d_y d_z

Per le altre due coppie di facce normali ad y e z si ricavano, allo stesso modo, le risultanti: - ∂p/∂_y d_x d_y d_z ; - ∂p/∂_z d_x d_y d_z

Quindi otteniamo la risultante di tutte le forze di superficie nell'elemento di volume infinitesimo:

(- ∂p/∂_x + ∂p/∂_y + ∂p/∂_z) d_x d_y d_z = - grad_p d_x d_y d_z

Per avere l'equilibrio sul volume infinitesimo sare che la risultante di tutte le forze (di massa e di superficie) sia nulla quindi : ∫ ^§ F - grad_p = 0 → ^§ F = grad_p

Equazione fondamentale della statica (o legge di Stevino)

Considerato un fluido incomprimibile soggetto solo alla forza gravitazionale si ha che F = grad_p

(z quota geodetica) quindi, dall'equazione infinitesima si ha: - p_o grad_z = grad_p = 0

Dividendo per γ = ρg si ha: - grad (z + p/γ) = 0 ed integrando: z + p/γ = cst

Le principali caratteristiche fisiche dei fluidi sono : densità , peso specifico, comprimibilità, viscosità.

Un fluido può avere un moto laminare (regolare) , di trasmissione (fluttuante), turbolento (trasporto + agitazione).

VEDI MANOMETRI NEL FOGLIO FORMULE

IDRAULICA

Forze di massa (_BF_à): forze esterne che si esercitano a distanza sul sistema, proporzionalmente alla propria massa.

Forze di superficie (g_ap): forze che vengono esercitate su una parte del sistema attraverso la sua superficie.

L'insieme di forze agenti su una superficie infinitesima viene chiamato sforzo (dT = P_ndA). Il modulo dello sforzo normale è la pressione (dT = PdA). Il sistema di tutti gli sforzi sulla superficie finita A è: T = ∫_AP_ndA = PA ed è chiamata spinta.

Equazione indefinita della statica

Considerato un volume infinitesimo lo sforzo normale alla superficie ABCD è P_Adydz e quindi la spinta è P_ndydz.

Sulla superficie EFGH lo sforzo vale P + (∂p/∂x)dx e la spinta - (P + (∂p/∂x)dx)dydz.

La risultante delle spinte nelle due facce parallele e normali all'asse x vale: -∂p/∂x dx dydz.

Per le altre due coppie di facce normali ad y e z si ricavano, allo stesso modo, le risultanti: -∂p/∂y dydxdz; -∂p/∂z dxdydz.

Quindi otteniamo la risultante di tutte le forze di superficie nell'elemento di volume infinitesimo: (∂p/∂x + ∂p/∂y + ∂p/∂z)dxdydz = -grad_pdxdydz.

Per avere l'equilibrio sul volume infinitesimo occorre che la risultante di tutte le forze (di massa e di superficie) sia nulla quindi: ∫F_B - grad_p = 0 => _BF_à = grad_p

Equazione fondamentale della statica (o legge di Stevin):

Considerato un fluido incomprimibile soggetto solo alla forza gravitazionale si ha che F = g grad_p (∫_q,q per decaduta); quindi, dall'equazione indefinita si ha: -ρggradz - grad_p = 0.

Dividendo per γ = ρg si ha: -grad(∫z + p/γ) = 0 e, integrando: z + p/γ = cost.

Le principali caratteristiche fisiche dei fluidi sono: densità, peso specifico, comprimibilità, viscosità.

Un fluido può avere un moto laminare (regolare) , di trasmissione (fluttuante), turbolento (trasporto + agitazione).

VEDI MANOMETRI NEL FOGLIO FORMULE

"In uno stesso recipiente più fluidi non miscibili fra loro si dispongono a strati orizzontali di

peso specifico crescente verso il basso".

DIM

Supponendo che i due fluidi non si dispongano per piani orizzontali. Avremmo:

P_A = ȓ_A h + P_A

P_B = ȓ_B (h_B + H)

Sendo B e B’ nello stesso piano devono avere la stessa pressione

quindi: P_A + ȓ_A h = P_A + ȓ_B h.

Ma anche A ed A’, essendo nello stesso piano, devono avere la stessa pressione quindi si può scrivere:

ȓ_A h_A^' = h_B^', ciò è impossibile a meno che B non sia verso e quindi i due fluidi

siano disposti in modo orizzontale. c.v.d.

Equazione globale dell’equilibrio statico

Serve ad estendere la condizione di equilibrio ad un intero volume di fluido finitiro

partendo dall'equazione infinitesima PF = gradp, integriamo entrambi i membri per considerare

tutto il volume. Il secondo membro diventa:

∫∫∫ gradpdf w = (∫∂p/∂x ²f ²p/∂t ²f²p/∂y ²)f wf

passando dall'integrale di volume all'integrale di superficie

si ha: -∫∫ (₁ ℓcos(m) + f²cos(yz))dA = ∫∫ A

quindi L'equazione globale diventa: ∫∫ F ^V W + ∫∫ mA = 0

Dove il primo integrale è la risultante delle forze di massa, quindi il peso della massa fluida (Gi);

il secondo è la risultante delle forze di superficie, la spinta che la superficie A esercita sul volume, (∏).

→ G + ∏ = 0

Moto permanente: = indipendente dal tempo

Moto vario = moto non permanente

Moto uniforme = velocità indipendente dal tempo e costante

Moto Piamo = velocità sempre parzella ad un piano

Moto permamente = moto turbolento, comporta da un moto di trasporto ad un o di agitazione.

Equazione di derivazione culeresiana

Siano le componenti del vettore velocità lungo i tre assi:

u = dx/dt v = dy/dt w = dz/dt

Conoscendo queste 3 componenti:

posso conoscere il valore delle velocità del fluido lung

determinate linee e superfici (moto culerismo) e non per le singole particelle (moto di Lagrangiano).

L’accelerazione α definita da: → A = f̅ + (x∂x + v∂v + f̅∂z)/(u³∂⁷ / ∂x² + u²∂v/∂² + w ∂v ∂Z)

Equazione di continuità

1. Equazione indefinita

Dato un volume infinitesimo di fluido si considera la massa entrante e la massa uscente:

M_i = ρydzdt (u - ^∂u/_∂x dx)H_i = ργdzdτ (u - ^∂u/_∂x dx

La massa uscente complessiva sarà perciò:

M_y - H_e = ρyldτ(u + ^∂u/_∂x dx) - ρyldτ(u - ^∂u/_∂x dx

Vale lo stesso per le altre superfici quindi:M_y = ^∂ρu/_∂x dx dy dz dτM_z = ρyz dx dy dτ

Quindi la massa totale uscente dal volume infinitesimo è: Mat = [ ^∂ρu/_∂x + ^∂ρv/_∂y + ^∂ρw/_∂z ] × dx dy dz dτ

Per il principio di conservazione questa quantità deve eguagliare la perdita subita dalla massa del volume, a causa della variazione della densità:- ^∂g/_∂t × dx dy dz dτ

Quindi l’equazione indefinita di continuità è:

^∂p/_∂t + ^∂pu/_∂x + ^∂pv/_∂y + ^∂pw/_∂z = 0 ovvero ^∂p/_∂t + div(ρυ) = 0

Se il fluido è incomprimibile (ρ=cost) => ^∂p/_∂t = 0 e quindi risulta div υ = 0

2. Equazione globale

Dato un volume finito W racchiuso dalla superficie A, la massa che attraversa A è:M_a = ∫_A ρv_n dA la quale è pari alla variazione che ha subito la massa del volume al variare della densità: M_v = ∫ ρ dW. Eguagliando i due termini si ha:∫∫ ρv_n dA = ∫ ^∂ρ/_∂t dW

Se il fluido è incomprimibile ρ=cost * ∂p/_∂t ⇒ ∫_A v_n dA = 0 ↔ Q

Questo indica che il flusso della velocità attraverso una superficie chiusa è nullo.

Consideriamo ora, la superficie di contorno composta da tre parti: A_c (lungo la quale v_n=0),A_e (flusso in entrata v_n) ed A_u (flusso in uscita v_n ΔHvalle = (cαe)^2*V^2/2g

ΔHmonte = 0,1 V^2/2g -> ΔH = 0,5 V^2/2g

Correnti a pelo libero

E = h + V^2/2g + Q^2/2g^2A^2

Altezza critica (ac)

è l'altezza cui corrisponde, ad energia specifica costante, il valore massimo di portata e, a portata costante, il valore minimo di energia specifica.

Velocità critica

Pendenza critica (i)

pendenza relativa a αmax = alveo a debole pendenza

alveo a forte pendenza i > iω