Esercizi d'esame (svolti) Meccanica Applicata alle Macchine - Metodo di Lagrange D'Alembert - De Simone - Scansione

Metodo di D'Alembert

Il metodo di D'Alembert applica la causale di equilibrio, le condizioni dinamiche seguono condizioni statiche, equilibranti a cui due forze risultanti equivalenti a vettori in un sistema di forze fittizie, dette forze di inerzia. Devi prima definire:

1. Gradi di libertà
2. Dare riferimento
3. Eliminare parti non necessarie e sostituire con elementi
4. Diagramma di corpo libero

Nb. Inerzia sempre opposta all'accelerazione, alla rotazione.

Esempi di sistemi dinamici

Esempi:

• mg = N
• F - kx - mx = 0
• Sistema dinamico con 1 gdl, non forzato: Δ(θ) - 2elθ Δ -2eθ = 0
• - kΔe - δ + θ = 0

La direzione del punto di applicazione delle forze.

Metodo di D’Alembert in pratica

In pratica, consente di studiare le condizioni dinamiche. La condizione statica equilibrante di un dato corpo rediamante è soggetta ad altre due forze causate da forze fittizie, dette forze di inerzia. R_i = R'_i - f_i.

Riscritture della forza di inerzia e di quella esterna come due forze in ogni istante note. Devi prima definire:

1. Gradi di libertà
2. Dare riferimento
3. Eliminare parti non necessarie e sostituire con la reazione
4. Diagramma di corpo libero

N.b. Inerzia sempre opposta all’accelerazione, o alla rotazione.

Esempi di classificazione

• Sistema con due gradi di libertà, forzato: F - kx - mx¨ = 0 | x₁ - mx¨ = F
• mg = N
• F - kx - mx¨ = 0 | x₁ - mx¨ = F
• ω, θSistema dinamico con 2 gradi di libertà, non forzato: |kΔθ - m˙˙θ = 0
• -kΔθ - kΔθ + m˙˙θ - I˙˙θ = 0
• -k₁θ = 2θ˙˙θ

Triangolazione, sistema conservativo ad 2^nd gr di libertà.

Diagrammi di corpo libero

Diagramma di libero 1: x₁, x₁ dot, x₁ doppio dot m₁

Diagramma di libero 2: x₂, x₂ dot m₂

x₁, x₂, x₁ dot m₁ x₁ doppio dot + β₁ ± k₂ (x₁ - x₂) + k₁ x₁ = 0 - m₂ x₂ doppio dot - p₂ + k₂ (x₁ - x₂) - k₃ x₃ = 0...

Matrici delle forze

Matrice delle forze:

Caso non accoppiato:

• m₁ẍ₁; Sistema conservativo a 2 gr.d (due masse), con attrito k_d: Diagramma di corpo libero 1: m₁ẍ₁ - k(x₁-x₂) = 0
• -m₂ẍ₂ + kx(x₁-x₂) = 0
• -m₁ẍ₁ + k(x₁-x₂) = 0
• -m₂ẍ₂ + k(x₁-x₂) = 0

(m₁ẍ₁ - kx_dx₁ - kx₂ = 0 (m₂ẍ₂ - kx_dx₁ + x₂(k₂+k_d) = 0

⎡m₁ 0⎤⎡ẍ₁⎤ + ⎡k_d -k_d⎤⎡x₁⎤ = ⎡0⎤⎣0 m₂⎦⎣ẍ₂⎦ ⎣-k_d k(k₂+k)⎦⎣x₂⎦ ⎣0⎦

Metodo di Lagrange

d^d(^∂E/_dt) - ∂E/∂q_i + ∂D/∂q_i + ∂V/∂q_i = Q

• E: Energia cinetica
• D: Energia dissipativa
• V: Energia potenziale
• Q: Ogni attività cui compiamo lavoro

Q - Gradi di libertà armonici ordinari di una molla per determinare la posizione della […]

Esempio

• E_c = 1/2 m₁ x₁² + 1/2 m₂ x₂²
• D = 0
• V = -1/2 k₁ x₁² - 1/2 k₂ x₂² + 1/2 k₃ (x₁ + x₂ - […])
• Q = 0

[Δx₁ + Δx₂ = x₁ - x₂; Δx₃ = x₃]

q = [x₁ x₂]; q - [x₁ x₂]

d/dt (1/2 m₁ x₁² + 1/2 m₂ x₂²) = m₁ x₁∂E/∂q₁ = m_i [1/2 (m₁ x₁² + 1/2 m₂ x₂²) - m_i ẋ_i]

∂V/∂q₁ - ∂/∂q₁ [(1/2 k₁ x₁² + 1/2 k₂ x₂² + 1/2 k₃…) = k₁ x₁ + k₂ x₁ - k₂ x₂

∂E/∂q₁ = 2/2(1/2 m_i x₁² + 1/2 m₁ x₂²)

Equazioni del moto

m₁ […] – k₃ (x₁ + x₂) = 0

m₁ẍ₁ + x₁(k₁+k₂) - k₂x₂ = 0

m₂ẍ₂ + x₂k₂ + (k₂+k₃)x₂ = 0

Noticie. m₁    0    ẍ₁    (k₁+k₂)    -k₂    x₁

          0    m₂    ẍ₂    -k₂    (k₂+k₃)    x₂

Esempio

• Δx₂ = x₂, Δ₁ = x₁-x₂
• q = ^x₁/_x₂
• ΔT = ẋ₁
• ΔV = kx₁ - kx₂

Equazione del moto per la seconda massa: m₂ẍ₂ - k₂x₁ + x₂(k₁+k₂)

Autovalori matriciale:

m₁    0    ẍ₁    (k₁+k₂)    -k₂    x₁

          0    m₂    ẍ₂    -k₂    (k₂+k₃)    x₂

Esempio: Sistema conservativo non smorzato a 2 GDL

Polo e mozzo sistema di riferimento: Lagrangiana: alt = QV = D=0 Q=0

1° Equazione: 2^a Equazione: Iδ + k Δy - k by + k b δ + k Δ δθ mÿ + c ẏ (k₁ + k₂) - c ḃ (k b - k₂ b) = 0

Iθ̈ + ẏ (k₁ - k₂ b) + Θ (k₁k₂ + k₂ b²) = 0

Matrice di verifica:

Sistema disaccoppiato.

Esempio: Sistema dissipativo, 1 GLS, non forzato

Lagrang: d L/dtq Δ = x₁ E_c = 1/2 m ẋ² V = 1/2 k₁ x² + Δ₁² D = 1/2 σ ẋ²

∂E_c∂x = d/dx (1 m ẋ²) = mẋ; d/dt (∂E_c) = mẍ ∂V∂x = d/dx (1 k x²) = kẋ ∂D∂x = σ ẋ

Equazione del vuoto per la molla m: mẍ + k ẋ + δẋ = 0 m ẍ + δẋ + k ẋ = 0

Matrice per una singola equazione:

Esempio: Hp: Piccole oscillazioni 2 GDL

Lagrange: d/dt ∂L/∂q̇ + ∂L/∂q + 2sV/∂q = Q y_A = y + aω₀(y + θ) = A y_P = y + bω₀y - bθ = P ΔP = R - O ΔA = A - O Ṗ = ẏ - bθ̇ ΔṖ = ẏ + aθ̇

Ec = 1/2 mẏ² + 1/2 Iθ̇² V = 1/2 k_AΔ_A² + 1/2 k_PΔP² 1/2 k_A (y + aθ)² + 1/2 k_P (y - bθ)² + 1/2 k_A (y² + 2y^o θ) - γθO²/2

D = 1/2 s_Pẏ² + 1/2 s_AΔ_A² + 1/2 s_θθ̇² + 1/2 s_Aθ̇²

sA₁y₂ + 1/2 sP ẏ² sȦ²yθ̇ + aθ̇² + s_θ(2y₂)ζ_s + 1/2 s_ΔA Δ^θ + s_θa²θ̇ + sAy = θ

Soluzione

Scrivendo l'equazione del moto, Matrix di influenza Ī = I(θ̇) ΔP̈ = ∂P/∂y + 0, - ka * y Konj + aθ̇ ΔT̈ =2(s_θ + φ̇ | θ + a)ẏ + έI Matrix di influenza.

Esempio: Sistema conservativo, non smorzato, forzato, 2 GDL

Hp: Piccole oscillazioni semicircoli, NO CIRCONFERENZA

Lagranged/dt (∂Ec/∂q̇i) - ∂Ec/∂qi + ∂V/∂qi = Qi

Ec = 1/2 mẏ² + 1/2 IΘ̇² Δ = 0

V = 1/2 kA (Δa)² + 1/2 kB (Δb)²

Fi: Δa = y - LΘ Δb = y + LΘ Q= ΔΠ/Δq eserc. L - Q Δq = F Δx

F = F RΔΘ

Sviluppo le derivate: ∂Ec/∂ẏ = d/dq̇i(1/2 mẏ² + 1/2 IΘ̇²) = mẏ

d/dt ∂Ec/∂ẏ = mÿ ∂Ec/∂y = ∂/∂y (1/2 mẏ² + 1/2 IΘ̇² ) = 0

∂V/∂y = ∂/∂y 1/2 [ kA(y² + L²Θ² - 2y LΘ), 1/2 kB(y² + L²Θ² + 2y LΘ) ]= 1/2 [ kA(y² + L²Θ² - 2y LΘ) + 1/2 kB[y² + L²Θ² + 2y LΘ ] ]= kAy + kB + kBy + kB LΘ

∂Ec/∂Θ̇ = ∂/∂Θ̇ (1/2 mẏ² + 1/2 IΘ̇² ) = IΘ̇

d/dt ∂Ec/∂Θ̇ = d/dt (IΘ) = IΘ̈

∂Ec/∂Θ = ∂/∂Θ (1/2 mẏ² + 1/2 IΘ̇² ) = 0

2V = 0 (1/2 k_By² + 1/2 k_BL²θ - 1/2 k_yLθ - 1/2 k_Bθ - 1/2 k_BLθ)- k_By - 1/2 k_BL²θ + k_yy

Scrive le equazioni del moto: myθθ + y (k_A + k_B) + 1/2 (k_BL - k_BL) = 0

IOθθ + y (k_BL - k_B) + 1/2 (k_BL² + k_BL²) = F_R

Verifica matriciale:

Sistema accoppiato ESEMPIO: q=[x₁ x₂] q̇=[ẋ₁ ẋ₂]Δ=x₂-x₁ Lagrange: ᠁ ᠁᠁ ᠁᠁ ᠁ + ᠁᠁ −QE= m₂ẋ₂² + m₄ẋ₁² D=0 V= KΔ² Q=Derivate:᠁᠁ (m₂ẋ₂² + m₁ẋ₂²) = m₂ẋ₂᠁᠁= m₂ẋ₂᠁᠁ [Kx₂² − Vxx₁] = Vx₂−Vx₁᠁᠁ (m₃ẋ) = m₄ẋ₄᠁᠁ − m₄ẋ₁᠁᠁ =0᠁᠁ [Vxx₂] = Vx₃−Vx₂Q=Q=Δ=Fx₁Q=Forza applicata᠁᠁ [δẋ₂−δẋ₁ ] = δẋ₃−δẋ₂Equazioni del moto:m₁ẍ₁ + kx₁ - kx₂ + 5ẋ₁ - 5ẋ₂ = F m₂ẍ₂ - kx₁ + kx₂ + 5ẋ₁ + 5ẋ₂ = 0

[m₀⃗ ₁] [ẍ₁] + [5ᐧ -5] [ẋ₁] + [k -k] [x₁] = [F] [m₂] [ẍ₂] [-5 5] [ẋ₂] [-k k] [x₂] [0]

Esempio: Sistema conservativo, forzato col GN

Hp: Risede oscillatori

Metodo di D'Alembert

Sistema di riferimento - [Ф] Diagramma di corpo libero Vorcato verso Ekalle nel verso della forza l'inercia e nel verso libero, si oppone all'accelerazione-I⃗ θ̈ ² = -KLϴ +2FL =0 I⃗ θ̈ -KLϴ +2FL =0 Torsione Momento torcante Momento plastico

Esercizio: Sistema conservativo, non forzato, 3 GDL

Lagrange: dd²e_q dt - dF_e + ` dV QΔ2 ≠ Δ3 q = (x ) Ee = ^1x₁x₁=k1a4x4 - k2x4 + k3x3(ku;k4x3)=&sub2=x&sub2+x&xi3veco += km3x3^a4 - xƒx