Esercitazione su test di radici unitarie

Esercitazione su test di radici unitarie

Un'ispezione casuale della maggior parte delle serie storiche di dati economici, come PIL e prezzi, rivela che le serie sono non stazionarie: spesso le medie campionarie non sono costanti o invarianti nel tempo. Le caratteristiche principali di questi processi sono:

• Molte delle serie storiche sono trend stazionarie (PIL e prezzi).
• Molte delle serie storiche sembrano fluttuare casualmente (tassi di cambio).
• Ogni shock ha un effetto particolarmente persistente sulla serie storica (produzione industriale).

Processi random walk

Supponiamo di avere due processi random walk, integrati di ordine uno, I(1), ed indipendenti:

\( y_t = \mu + y_{t-1} + \epsilon_t \)
\( x_t = \nu + x_{t-1} + \eta_t \)

Dove \(\epsilon_t\) e \(\eta_t\) sono indipendenti l'uno dall'altro. A causa di questa relazione di indipendenza ci si aspetterebbe che la loro correlazione sia uguale a 0. In altre parole, regredendo \( y \) su \( x \) ci aspetteremmo che il coefficiente di \( x \) che converge a 0 quando il numero di osservazioni aumenta, tuttavia non sempre avviene!

\( y_t = \alpha + \beta x_t + u_t \)

Relazione spuria e stazionarietà

Considerando la seguente regressione fra i due processi sopra indicati, se non esiste nessun \( \beta \) tale che \( \epsilon_t - \beta \eta_t \) è stazionario, allora è probabile che si producano risultati valore della popolazione per cui spuri. Per prassi sospettiamo che ci sia una relazione spuria quando i valori t sono altamente significativi mentre sia l'R² che la statistica di DW hanno valori bassi.

Stimare del vettore di cointegrazione:

\( y_t = \alpha + \beta x_t + u_t \)

Consideriamo la seguente regressione dove \( x \) è I(1) tale che, dunque, \( y_t = \epsilon_t - \beta \eta_t \) è I(1). Se i processi \( y_t \) e \( x_t \) hanno radice unitaria ma una loro combinazione lineare è stazionaria, allora possiamo dire che \( y \) e \( x \) sono cointegrati.

Assumiamo che \(\epsilon_t \sim 0\), \(\beta \sim 1\) assicura che esiste una relazione di cointegrazione fra \( y \) e \( x \).

1. u e \(\eta\) sono indipendenti l'uno dall'altro; \( x \) è esogeno rispetto a u.

Lo stimatore OLS di \( \beta \) sotto l'assunzione 1) e 2) è consistente quando T→∞, converge al vero valore e \(\epsilon_t - \beta \eta_t\) ha una distribuzione limite normale. La statistica t utilizzata per testare se converge verso una distribuzione normale standard.

È un processo statistico caratterizzato dall'indipendenza di ogni osservazione di una serie storica da quelle che la precedono.

Test sulla cointegrazione basato sui residui

Uno dei test più usati è quello di Dickey-Fuller che si basa su un modello uniequazionale. Considerando la seguente regressione:

\( y_t = \alpha + \beta x_t + \theta u_t \)

Un test di radice unitaria testa l'ipotesi nulla che \(\beta = 1\) (processo a radice unitaria) verso quello alternativo \(|\beta| < 1\), ossia processo stazionario. Il test DF è di natura parametrica, e sottopone a verifica la non-stazionarietà (ipotesi nulla di presenza di radice unitaria) mediante la stima di parametri in tre modelli alternativi:

• \(\Delta y_t = \alpha + \epsilon_t\) (random walk)
• \(y_t = \beta_0 + \alpha + \Delta y_{t-1}\) (random walk con drift)
• \(\Delta y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \alpha + \epsilon_t\) (random walk con drift e trend)

Dove \(\Delta\) rappresenta l'operatore differenza, \(\beta_0\) e \(\beta_1\) sono parametri, \(t\) è un trend temporale e \(u\) è un residuo. Il test di radici unitarie consiste nella stima di uno dei tre modelli del parametro \(\rho\). È molto importante sottolineare che tali test sono validi solo nell'ipotesi di residui white noise; se invece questi sono autoregressivi devono essere impiegati modelli augmented del modello (3):

\(\Delta y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \alpha + \sum_{i=1}^{p} \phi_i \Delta y_{t-i} + u_t\)

Dove \(i\) è il numero di ritardi.

Esempio Almon

Prendiamo come esempio il file Almon che contiene i dati per le appropriazioni (X) e le capital expenditures (Y) per il settore manifatturiero americano dal 1953 al 1967 (i dati sono...