Esercitazione su test di radici unitarie

Analisi delle spese per investimenti nel settore manifatturiero americano

Prendiamo come esempio il file expenditures (Y) per il settore manifatturiero americano dal 1953 al 1967 (i dati sono quadrimestrali). L'assunzione del modello è che le capital expenditures dipendono dalle appropriations dell'anno incorso. Dalla schermata dei risultati notiamo che: Modello 1: OLS, usando le osservazioni 1953:1-1967:4 (T = 60) Variabile dipendente: Y

coefficiente	errore std.	rapporto t	p-value
const	646,484	184,477	3,504	0,0009	***
X	0,736841	0,0513753	14,34	9,94e-021	***

Media var. dipendente: 3092,417 SQM var. dipendente: 1151,944 Somma quadr. residui: 17219810 E.S. della regressione: 544,8791 R-quadro: 0,780055 R-quadro corretto: 0,776263 F(1, 58): 205,7024 P-value(F): 9,94e-21 Log-verosimiglianza: -462,1531 Criterio di Akaike: 928,3062 Criterio di Schwarz: 932,4949 Hannan-Quinn: 929,9446 rho: 0,868967 Durbin-Watson: 0,286683 Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standarddell'R2 è alto e il valore del DW è basso, possiamo ipotizzare l'esistenza di una regressionespuria. Sottoponiamo le due variabili al test di radice unitaria di Dickey-Fuller per verificare il grado di integrazione. Di solito, il comando adf di GRETL genera tre varianti del test Dickey-Fuller: una basata su una regressione che include una costante, una che include costante e trend lineare, e una che include costante e trend quadratico. Sotto l'ipotesi nulla, la variabile di interesse deve essere differenziata almeno una volta per raggiungere la stazionarietà. Sotto l'ipotesi alternativa, la variabile è già stazionaria e non richiede differenziazione. Quindi, grandi valori negativi della statistica test portano a rifiutare l'ipotesi nulla. Test Dickey-Fuller per YAmpiezza campionaria 59 Ipotesi nulla di radice unitaria: a = 1 Test con costante Modello: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e Coefficiente di autocorrelazione del

prim'ordine per e: 0,758

Valore stimato di (a - 1): 0,0209753

Statistica test: tau_c(1) = 1,066550

p-value

Con costante e trend

Modello: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + e

Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,756

Valore stimato di (a - 1): -0,0166262

Statistica test: tau_ct(1) = -0,55275

p-value 0,9781

Test Dickey-Fuller per X

Ampiezza campionaria 59

Ipotesi nulla di radice unitaria: a = 1

Test con costante

Modello: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e

Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,181

Valore stimato di (a - 1): -0,0256698

Statistica test: tau_c(1) = -0,742511

p-value 0,8275

Con costante e trend

Modello: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + e

Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,194

Valore stimato di (a - 1): -0,0749921

Statistica test: tau_ct(1) = -1,46146

p-value 0,8317

Dall'analisi dei risultati del test si osserva che tutte le serie originarie sono non stazionarie (possiedono radice unitaria). Procediamo alla

-0,845957Statistica test: tau_ct(1) = -6,38361p-value 7,957e-007-0,836609Statistica test: tau_ct(1) = -6,29877p-value 1,015e-005Dai test sulla differenza prima, d_Y risulta ancora non stazionaria, mentre la d_X è stazionaria inquanto il p-value risulta essere minore di 0.005.Procediamo di nuovo con il test lavorando sulla differenza seconda di Y.Test Dickey-Fuller per d_d_YAmpiezza campionaria 57Ipotesi nulla di radice unitaria: a = 1Test con costanteModello: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + eCoefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,004Valore stimato di (a - 1): -1,0594Statistica test: tau_c(1) = -7,24473p-value 4,986e-008Con costante e trendModello: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + eCoefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,004Valore stimato di (a - 1): -1,06107Statistica test: tau_ct(1) = -7,15023p-value 6,079e-007I risultati dei test per la differenza seconda di Y mostrano come quest'ultima sia stazionaria.Possiamo perciò concludere che la variabile dipendente

è:d_d_Y∼I(0)d_Y∼I(1)Y∼I(2)

Mentre la variabile indipendente:d_X∼I(0)X∼I(1)

A questo punto, regrediamo le variabili integrate di ordine 1:

Modello 2: OLS, usando le osservazioni 1953:2-1967:4 (T = 59)

Variabile dipendente: d_Y

coefficiente	errore std.	rapporto t	p-value
const	-168,764	48,6005	-3,472	0,0010	***
X	0,0676023	0,0134455	5,028	5,24e-06	***

Media var. dipendente: 57,54237

SQM var. dipendente: 167,7181

Somma quadr. residui: 1130241

E.S. della regressione: 140,8147

R-quadro: 0,307239

R-quadro corretto: 0,295086

F(1, 57): 25,27950

P-value(F): 5,24e-06

Log-verosimiglianza: -374,5993

Criterio di Akaike: 753,1986

Criterio di Schwarz: 757,3537

Hannan-Quinn: 754,8206

rho: 0,680244

Durbin-Watson

Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard

2Dalla nuova regressione possiamo affermare che il valore dell’R si è abbassato molto, ciò implica che abbiamo risolto il problema dell’integrazione.

Si noti inoltre che il D-W è ancora inferiore 2, ciò implica presenza di di autocorrelazione. È utile vedere in questo caso il grafico del correlogrammo dei residui: ACF dei residui <img src="grafico_acf_residui.png" alt="ACF dei residui"> PACF dei residui <img src="grafico_pacf_residui.png" alt="PACF dei residui"> Le linee tratteggiate di colore azzurro indicano la banda di confidenza ad un livello del 95%. Al variare del lag temporale i coefficienti di autocorrelazione dei residui non risultano essere tutti interni alla banda di confidenza, indicando quindi presenza di correlazione serie. Correzione per autocorrelazione d_y(t) = beta0 + beta1*x(t) + ε(t) = ρ*ε(t-1) + v(t) Idea generale: cerco una "trasformata" del modello i cui residui abbiano una varianza che non varia nel tempo: PASSO 1: scrivo l'equazione per d_y(t-1) d_y(t-1) = beta0 + beta1*x(t-1) + ε(t-1) PASSO 2: pre-moltiplico la precedente espressione per rho ρ*d_y(t-1) = ...

rho*beta0 + rho*beta1*x(t-1) + rho*ε(t-1)

PASSO 3: sottraggo la precedente espressione a y(t)[d_y(t) - rho*d_y(t-1)] = beta0*(1-rho) + beta1*[x(t) - rho*x(t-1)] + v(t)

In pratica la procedura di stima che tenga conto di autocorrelazione dei residui può essere descritta in tre passi:

Al primo passo si stimano i parametri della regressione di d_y(t) su x(t), da cui si ottengono i residui stimati e(t).

Al secondo passo si stima il coefficiente rho regredendo e(t) su e(t-1)

Modello 3: OLS, usando le osservazioni 1953:3-1967:4 (T = 58)

Variabile dipendente: uhat

coefficiente	errore std.	rapporto t	p-value
uhat_1	0,680244	0,0980298	6,939	4,02e-09	***

Media var. dipendente: -0,751064

SQM var. dipendente: 140,6944

Somma quadr. residui: 611644,1

E.S. della regressione: 103,5886

R-quadro: 0,457927

R-quadro corretto: 0,457927

F(1, 57): 48,15195

P-value(F): 4,02e-09

Log-verosimiglianza: -350,9389

Criterio di Akaike: 703,8777

Criterio di Schwarz

705,9382 Hannan-Quinn

704,6803rho 0,006906 Valore h di Durbin 0,077537

Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard

Al terzo passo si regredisce [d_y(t) - rho*y(t-1)] su [x(t) - rho*x(t-1)], utilizzando per rho il valore trovato al passo precedente. Il coefficiente di [x(t) - rho*x(t-1)] coincide con beta1

Modello 4: OLS, usando le osservazioni 1953:3-1967:4 (T = 58)

Variabile dipendente: Y1

coefficiente	errore std.	rapporto t	p-value
const	-53,0943	31,8500	-1,667	0,1011
X1	0,0649335	0,0256698	2,530	0,0143

Media var. dipendente 19,61573

SQM var. dipendente 109,3129

Somma quadr. residui 611265,5

E.S. della regressione 104,4771

R-quadro 0,102546

R-quadro corretto 0,086520

F(1, 56) 6,398710

P-value(F) 0,014262

Log-verosimiglianza -350,9209

Criterio di Akaike 705,8418

Criterio di Schwarz 709,9627

Hannan-Quinn 707,44701,917940

rho 0,008807

Durbin-Watson

Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard

Individuata

quindi la relazione di lungo periodo, passiamo ora alla specificazione di breve periodo, utilizzando il modello a correzione di errore (ECM). Per procedere nello studio di questo modello, occorre innanzitutto calcolare i residui della regressione d_d_Y, const, d_X, sui quali eseguiamo il test DF. Test Dickey-Fuller aumentato per uhat2 incluso un ritardo di (1-L)uhat2 Ampiezza campionaria 56 Ipotesi nulla di radice unitaria: a = 1 Test con costante Modello: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e Coefficiente di autocorrelazione del primo ordine per e: -0,004 Valore stimato di (a - 1): -0,886795 Statistica test: tau_c(1) = -4,515160, p-value asintotico 0,0001 Con costante e trend Modello: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e Coefficiente di autocorrelazione del primo ordine per e: -0,002 Valore stimato di (a - 1): -0,910462 Statistica test: tau_ct(1) = -4,54658, p-value asintotico 0,001215 In questo caso rifiutiamo l'ipotesi nulla di integrazione di primo ordine e possiamo quindi affermare che

i residui sono stazionari. Possiamo concludere, perciò, che esiste una relazione di equilibrio tra le variabili.

Mostriamo il risultato dell'ECM:

Modello 4: OLS, usando le osservazioni 1953:4-1967:4 (T = 57)

Variabile dipendente: d_d_Y

coefficiente errore std. rapporto t p-value

--------------------------------------------------------------

const -9,30722 9,04347 -1,029 0,3080

d_X 0,123992 0,0254459 4,873 1,00e-05 ***

uhat(-1)