Domande d'esame Termotecnica

Domande termotecnica

Massimo Corcione

Scambiatori di calore a tubi concentrici

ΔT = f(x), q

Ricavare l’equazione del ΔT e della potenza termica scambiata (caso controcorrente e caso equicorrente) e commenta i grafici ottenuti sia per il controcorrente che per l’equicorrente.

Gli scambiatori a tubi concentrici sono costituiti da due tubi assiali tra loro e possono essere equicorrente o controcorrente a seconda del verso di scorrimento dei fluidi. Quelli controcorrente sono i più utilizzati perché a parità di potenza scambiata richiedono una minore superficie di scambio.

Lo scambio termico avviene per convezione tra il fluido e la parete e per conduzione attraverso la parete. Il contributo dell’irraggiamento è trascurabile perché molto minore rispetto agli altri due. Inoltre, nella maggior parte dei casi, la convezione è forzata per favorire la turbolenza e migliorare dunque lo scambio termico. Tuttavia, così facendo, avremo delle perdite di carico, dunque serve il giusto compromesso.

U c

Ci mettiamo nell’ipotesi di regime stazionario e di mantello adiabatico. Ipotizziamo U e c costanti, anche se in realtà variano con la temperatura ma accettiamo l’errore.

Allora possiamo scrivere l’equazione della potenza termica scambiata ed i bilanci energetici per i due fluidi in un tratto infinitesimo dello scambiatore:

(T − t) d q = U dA ①

d q = − G C dT ③

d q = − gc dt ④ caso controcorrente

d q = U dA (T − t) ①

d q = − G C dT ③

d q = + gc dt ④ caso equicorrente

Considerazioni sui segni

• Nell’equazione ③ dT ha segno meno: il fluido caldo cede energia termica al fluido freddo. Cedendo calore la sua temperatura diminuisce. Pertanto, la variazione infinitesima della sua temperatura è negativa. Se dT è negativo, per far tornare i conti devo mettere un segno meno nell’equazione.
• Nell’equazione ④ il termine dt assume segno più nel caso di flusso in equicorrente: il fluido freddo riceve energia termica dal fluido caldo e, di conseguenza, la sua temperatura aumenta. Pertanto, la variazione infinitesima di temperatura risulta positiva: d q = gc dt.

Nel caso controcorrente, invece, dt assume segno meno. Ciò è dovuto al fatto che il fluido freddo si muove in direzione opposta rispetto all’asse x: pur assorbendo calore, la variazione di temperatura risulta negativa se espressa rispetto al verso positivo di x, poiché lungo tale direzione il fluido si sta, di fatto, raffreddando.

ΔT = f(x)

Passaggi per ricavare

Esplicito le variazioni infinitesime di temperatura delle equazioni ③ e ④:

dT = − dq / GC    dt = − dq / gc caso controcorrente

dT = − dq / GC    dt = + dq / gc caso equicorrente

MAIUSCOLO FLUIDO CALDO minuscolo fluido freddo 1

Faccio la sottrazione e ottengo:

dT − dt = − dq / GC − (− dq / gc) = − dq (1 / GC − 1 / gc) caso controcorrente

dT − dt = − dq / GC − (+ dq / gc) = − dq (1 / GC + 1 / gc) caso equicorrente

Inserisco l’equazione ① all’interno di questa appena trovata considerando che dA = πD_e dx e ottengo:

d(T − t) = − U πD_e dx (T − t) (1 / GC − 1 / gc) → d(T − t) / (T − t) = − U πD_e dx (1 / GC − 1 / gc) caso controcorrente

d(T − t) = − U πD_e dx (T − t) (1 / GC + 1 / gc) → d(T − t) / (T − t) = − U πD_e dx (1 / GC + 1 / gc) caso equicorrente

Integrando tra la sezione d'ingresso (dove la differenza per il controcorrente è T₀ − t_L mentre per l’equicorrente è T₀ − t₀) e la generica coordinata x, ricaviamo:

∫ d(T − t) / (T − t) = ∫ −U πD_e dx (1 / GC − 1 / gc) → ln [(T − t) / (T₀ − t_L)] = −U πD_e x (1 / GC − 1 / gc) caso controcorrente

∫ d(T − t) / (T − t) = ∫ −U πD_e dx (1 / GC + 1 / gc) → ln [(T − t) / (T₀ − t₀)] = −U πD_e x (1 / GC + 1 / gc) caso equicorrente

Applicando l’esponenziale ad ambo i membri otteniamo l’equazione del ΔT = f(x):

(T − t) = (T₀ − t_L) · e^{−UπD_ex(1/GC−1/gc)} caso controcorrente

(T − t) = (T₀ − t₀) · e^{−UπD_ex(1/GC+1/gc)} caso equicorrente

Potenza termica scambiata

Ottengo lo stesso risultato sia che faccia i calcoli in equicorrente che in controcorrente quindi svolgo i calcoli solo con il controcorrente.

Integro entrambi i membri dell’equazione lungo l’intero scambiatore tra x = 0 e x = L e ottengo:

∫ d(T − t) / (T − t) = ∫ −U πD_e dx (1 / GC − 1 / gc) → ln [(T_L − t₀) / (T₀ − t_L)] = −U πD_eL (1 / GC − 1 / gc)

ln [(T_L − t₀) / (T₀ − t_L)] = −UA (1 / GC − 1 / gc) caso controcorrente

Box

Se il numeratore è la derivata del denominatore, l'integrale tra due punti 0 e L si risolve immediatamente:

∫₀^L f′(x) / f(x) dx = ln |f(x)| [ ]₀^L = ln |f(L)| − ln |f(0)| = ln |f(L) / f(0)|

Integro la ③ e la ④ tra x = 0 e x = L:

∫ d q = −GC ∫ dT → q = −GC (T_L − T₀) → q = GC (T₀ − T_L)

∫ d q = −gc ∫ dt → q = −gc (t₀ − t_L) → q = gc (t_L − t₀)

MAIUSCOLO FLUIDO CALDO minuscolo fluido freddo 2

Esplicito 1 / GC e 1 / gc e ottengo:

1 / GC = (T₀ − T_L) / q

1 / gc = (t_L − t₀) / q

Inserisco queste due equazioni nella precedente e ottengo:

ln [(T_L − t₀) / (T₀ − t_L)] = −UA [(T₀ − T_L) / q − (t_L − t₀) / q]

Porto il segno meno al membro di sinistra, poi lo tolgo invertendo numeratore e denominatore della funzione ln:

ln [(T₀ − t_L) / (T_L − t₀)] = UA [(T₀ − T_L) − (t_L − t₀)] / q

Porto fuori dalle parentesi q:

q = UA [(T₀ − T_L) − (t_L − t₀)] / ln [(T₀ − t_L) / (T_L − t₀)]

Ne consegue che:

q = UA · [(T₀ − t_L) − (T_L − t₀)] / ln [(T₀ − t_L) / (T_L − t₀)]

Il termine in mandarancio è il ΔT_ml quindi posso scrivere:

q = UA · ΔT_ml

Che io faccia i calcoli in equicorrente o in controcorrente, ottengo sempre la stessa espressione q = UAΔT_ml.

Commento i grafici ottenuti

Occorre determinare in che modo la temperatura di ciascuno dei due fluidi varia lungo lo scambiatore in funzione della variazione della temperatura dell’altro fluido.

Mentre in uno scambiatore in equicorrente i due fluidi iniziano a “scrivere” la loro “storia termica” e procedono di pari passo percorrendo l’apparecchiatura, in uno scambiatore in controcorrente ciascuno dei due fluidi inizia a scrivere la sua storia termica quando l’altro fluido ha già del tutto scritto la propria.

Ci si può limitare a rappresentare l’andamento qualitativo della temperatura dei due fluidi per diversi valori del rapporto GC / gc, cioè tra le capacità termiche di flusso del fluido caldo e del fluido freddo, questo perché la variazione della temperatura di ciascuno dei due fluidi tra l’ingresso e l’uscita dello scambiatore si riduce all’aumentare della sua capacità termica di flusso.

Per il caso controcorrente integro la ③ e la ④ tra due generici punti dell’ascissa x₁ e x₂ con x₂ > x₁:

∫ d q = −GC ∫ dT → q_x1−x2 = −GC (T_x2 − T_x1) → q_x1−x2 = GC (T_x1 − T_x2)

∫ d q = −gc ∫ dt → q_x1−x2 = −gc (t_x2 − t_x1) → q_x1−x2 = gc (t_x1 − t_x2)

Pongo q_x1−x2 = q_x1−x2 e ottengo:

GC (T_x1 − T_x2) = gc (t_x1 − t_x2)

Esplicito GC / gc e ottengo:

GC / gc = (t_x1 − t_x2) / (T_x1 − T_x2)

MAIUSCOLO FLUIDO CALDO minuscolo fluido freddo 3

Caso GC / gc > 1

Nel caso in cui GC > gc allora (t_x1 − t_x2) > (T_x1 − T_x2), questa condizione fa sì che (T_x2 − t_x2) > (T_x1 − t_x1) cioè la differenza di temperatura tra i due fluidi in x = x₂ è maggiore della differenza di temperatura tra i due fluidi in x = x₁.

Quindi, la differenza di temperatura tra i due fluidi aumenta all’aumentare di x, passando dal valore minimo in x = 0 al valore massimo in x = L.

Avendo assunto che il coefficiente globale di scambio termico U è uniforme lungo l’intero sviluppo dello scambiatore, l’entità dello scambio termico aumenta all’aumentare dell’ascissa x. Conseguentemente, anche l’entità della modifica della temperatura di ciascuno dei due fluidi aumenta progressivamente passando da x = 0 a x = L, per cui ciascuna delle due curve rappresentative dell’andamento di temperatura dei due fluidi lungo lo scambiatore ha un gradiente, ossia una pendenza, che aumenta all’aumentare di x, rivolgendo la concavità verso il basso.

Caso GC / gc = 1

Nel caso in cui GC = gc allora (t_x1 − t_x2) = (T_x1 − T_x2) cioè la differenza di temperatura tra i due fluidi si mantiene costante all’aumentare di x e l’andamento della temperatura dei due fluidi lungo lo scambiatore è rappresentato da due rette parallele.

In tal caso la ΔT_ml perde di significato ed al suo posto occorre impiegare la differenza di temperatura costante tra i due fluidi, per cui la potenza termica scambiata è data dalla relazione:

q = UA (T₀ − t₀) = UA (T_L − t_L)

Caso GC / gc < 1

Nel caso in cui GC < gc allora (t_x1 − t_x2) < (T_x1 − T_x2), questa condizione fa sì che (T_x2 − t_x2) < (T_x1 − t_x1) cioè la differenza di temperatura tra i due fluidi in x = x₂ è minore della differenza di temperatura tra i due fluidi in x = x₁.

Quindi, la differenza di temperatura tra i due fluidi diminuisce all’aumentare di x e ciascuna delle due curve rappresentative dell’andamento della temperatura dei due fluidi lungo lo scambiatore ha un gradiente, ossia una pendenza, decrescente all’aumentare di x, rivolgendo la concavità verso l’alto.

Nel caso equicorrente i fluidi entrano dalla stessa estremità (x = 0). Il ΔT è massimo all'ingresso e decade in modo puramente esponenziale lungo l'asse x. Le curve tendono asintoticamente ad avvicinarsi. Limite invalicabile: il fluido freddo in uscita non può mai raggiungere o superare la temperatura di uscita del fluido caldo (t_L < T_L).

MAIUSCOLO FLUIDO CALDO minuscolo fluido freddo 4

Box: perché il ΔT_ml perde di significato?

Risposta filosofica

Se il GC del fluido caldo è uguale al gc del fluido freddo, significa che entrambi i fluidi hanno la stessa inerzia termica o la stessa “voglia” di cambiare temperatura.

Quando questa "voglia" è uguale per entrambi, succede una cosa particolare: per ogni piccolo tratto dello scambiatore, la quantità di calore che il fluido caldo cede è esattamente bilanciata dalla quantità di calore che il fluido freddo assorbe, e questo porta a variazioni di temperatura locali che si compensano perfettamente.

Il risultato è che la differenza di temperatura tra i due fluidi rimane identica dall'inizio alla fine dello scambiatore. È come se il "motore" che spinge lo scambio di calore, cioè la differenza di temperatura, avesse sempre la stessa potenza in ogni punto.

Se il "motore" è costante, non c'è bisogno di una funzione esponenziale per descrivere come varia la differenza di temperatura, perché semplicemente non varia! È una linea retta, piatta. E se la differenza di temperatura è costante, non ha senso usare la Differenza di Temperatura Media Logaritmica (DTML).

MAIUSCOLO FLUIDO CALDO minuscolo fluido freddo 5

Dimensionamento termico e meccanico

Il dimensionamento di uno scambiatore a tubi concentrici consiste nella determinazione dell'area della superficie di scambio termico A, della lunghezza complessiva dei tubi L e della configurazione geometrica dell'apparecchiatura che consentano di soddisfare i requisiti termici e fluidodinamici di progetto.

1. Scelte geometriche preliminari

Prima di procedere al calcolo analitico, vengono fissati i seguenti parametri geometrici costruttivi e commerciali:

• Accoppiamento dei diametri: si seleziona da catalogo una coppia di diametri nominali standard per il tubo interno e per il tubo esterno (esempio DN32 - DN50, DN50 - DN80, DN80 - DN100).
• Lunghezza del modulo L_mod: si fissa la lunghezza delle tubazioni di ciascun singolo modulo, chiamato comunemente forcella, che deve essere tassativamente compresa tra 3 m e 6 m.

Nota costruttiva fondamentale: lunghezze superiori a 6 m non sono utilizzate per evitare flessioni flessionali del tubo interno, le quali provocherebbero distribuzioni disuniformi del flusso del fluido che scorre nello spazio anulare compromettendo lo scambio termico.

2. Procedura di calcolo termico (determinazione della geometria)

L'obiettivo di questa fase è calcolare la lunghezza totale teorica dei tubi necessaria per scambiare la potenza termica richiesta q.

a) Valutazione delle proprietà termofisiche: si determinano la densità ρ, la viscosità cinematica o dinamica, la conducibilità k e il numero di Prandtl Pr dei fluidi, valutati alle rispettive temperature medie di massa.

b) Calcolo delle velocità e dei numeri di Reynolds:

Nel tubo interno (D_i diametro interno):

w_i = G / [ρ_i · (πD_i² / 4)] → Re_i = w_i · D_i / ν

Nello spazio anulare (D_e diametro interno del tubo esterno e D_m,i diametro esterno del tubo interno):

w_e = g / [ρ_e · π(D_e² − D_m,i²) / 4] → Re_e = w_e · D_h / ν

Dove il diametro idraulico dello spazio anulare vale: D_h = D_e − D_m,i

c) Calcolo della trasmittanza U: tramite i numeri di Reynolds si ricavano i coefficienti di scambio termico convettivo h_i e h_e dalle relazioni sperimentali di Nusselt Nu = f(Re, Pr). Si calcola quindi il coefficiente globale riferito all’esterno:

1 / U_e = 1 / h_e + R_re + (D_e / 2k) ln (D_e / D_i) + (D_e / D_i) (1 / h_i + R_ri)

d) Calcolo della lunghezza totale L: nota la potenza termica q e calcolata la differenza di temperatura media logaritmica ΔT_ml si ricava la lunghezza assiale totale teorica dei condotti:

A_e = q / (U_e · ΔT_ml) → L = A_e / (πD_e)

MAIUSCOLO FLUIDO CALDO minuscolo fluido freddo 6

e) Determinazione del numero di moduli N: nota la lunghezza totale L e la lunghezza del singolo modulo commerciale L_mod si determina il numero di moduli, approssimato per eccesso all'intero più vicino:

N = int [L / (2 · L_mod)]

Il fattore 2 tiene conto che ogni modulo a forcella è composto da due tratte rettilinee di tubi.

3. Procedura di calcolo idraulico (verifica delle perdite di carico)

Una volta definita la geometria reale con N moduli, è obbligatorio verificare che la caduta di pressione totale ΔP subita dai fluidi sia compatibile con i vincoli energetici dell'impianto. La perdita di carico totale è data dalla somma di due contributi:

ΔP = ΔP_d + ΔP_c

a) Perdite di carico distribuite ΔP_d

Sono causate dall'attrito viscoso lungo i tratti rettilinei dei condotti. Si calcolano sull'effettiva lunghezza geometrica dello scambiatore:

L_eff = 2 · N · L_mod

ΔP_d = λ · (2 · N · L_mod / D) · ρw² / 2