Appunti di Sistemi energetici

Note di sistemi energetici

Le seguenti pagine rappresentano una concisa e completa dissertazione sui temi affrontati nel corso di Sistemi energetici.

Concetto di calori specifici

Il calore specifico è una proprietà della materia che permette di stimare la capacità di accumulo di energia di un sistema (o sostanza). Il calore specifico rappresenta l’energia (in forma calore) richiesta per innalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza: è proprio in questo senso che il calore specifico misura la capacità di un corpo di accumulare energia.

Infatti, dato un corpo, cedendo in modo graduale del calore esso si riscalderà (aumenterà la sua energia interna): inizialmente non assistiamo ad un aumento della sua temperatura. Continuando a cedergli calore, dopo un po', viene meno la sua capacità di stoccaggio del calore e tale cessione energetica si tradurrà in un aumento della sua temperatura.

L’entità di energia richiesta dipende da come il processo è eseguito e si possono definire alcuni esempi notevoli: calore specifico a volume costante e calore specifico a pressione costante.

Concetto di pinch point (dall’eserciziario)

Il concetto di pinch point è molto importante nello scambio termico e influenza il dimensionamento degli scambiatori di calore. Il pinch point è il punto all’interno di uno scambiatore in cui la differenza di temperatura tra i due fluidi che scambiano calore è minima. Come mai è importante e a quali compromessi si deve giungere utilizzando questo parametro?

1. Più è piccola è la differenza di temperatura al pinch point, più grande dovrà essere la superficie dello scambiatore per trasferire lo stesso calore (quindi aumentano i costi dell’impianto). Questo lo vediamo dalla formula che lega il calore scambiato con le caratteristiche geometriche dello scambiatore: Q=UA ∆ T ∆ T dove U è il coefficiente di scambio termico e è la differenza di temperatura media logaritmica tra i due fluidi che scambiano calore. Quando il pinch point si riduce, anche la differenza media logaritmica di temperatura tra i due fluidi si riduce: per garantire lo scambio della stessa quantità di calore dobbiamo dunque aumentare la superficie A di scambio. Dunque, ci si attesta su valori di pinch point medi per costruire scambiatori compatti.
2. L’aspetto positivo è che avere una differenza minima di temperatura tra i fluidi che scambiano calore riduce al minimo le irreversibilità dello scambio termico (diminuendo al minimo la generazione di entropia), migliorando dunque il rendimento (meno calore viene “bruciato” senza diventare inutilizzabile). Tuttavia, fluidi con temperature pressoché simili scambiano calore molto lentamente e se vogliamo garantire una certa potenza termica dobbiamo costruire un impianto molto grande. Per questo, occorre un giusto compromesso tra rendimento termodinamico ed economia impiantistica.

Concetto di primo principio della termodinamica

Il primo principio della termodinamica ci dice che l’energia si conserva trasformandosi da una forma all’altra (senza distruggersi né crearsi dal nulla). Un sistema può scambiare energia con l’esterno in forma lavoro oppure calore. Si evince che lavoro e calore non possono essere proprietà del sistema: sono grandezze di scambio, non di stato.

Infatti, le quantità di lavoro e/o di calore scambiate durante una trasformazione dipendono dal tipo di trasformazione termodinamica applicata. Questo stride con le grandezze di stato (o variabili di stato) le cui variazioni, a seguito di una trasformazione, dipendono esclusivamente dallo stato (termodinamico) iniziale e finale. Tuttavia, in questo contesto può definirsi una variabile di stato nota come energia totale di un corpo: come si può facilmente comprendere, è data dalla somma dei contributi di energia interna, energia cinetica e la sua energia potenziale.

L’energia, in generale, è definita a meno di una costante. Fissato un volume di controllo (sistema aperto) o un sistema chiuso, il primo principio della termodinamica può scriversi come: condizioni stazionarie.

Nella maggior parte dei casi in cui ci porremo, ci troveremo in condizioni stazionarie e dunque le proprietà del sistema saranno costanti nel tempo. Questo ci porta a porre uguale a zero il membro a sinistra dell’equazione. Nel caso di sistemi chiusi, il terzo termine a destra dell’uguaglianza è nullo: non essendoci flussi massici in entrata né in uscita non ci sono flussi energetici associati (ovvero l’entalpia).

Concetto di secondo principio della termodinamica

Il secondo principio della termodinamica può essere espresso con due enunciati diversi ma equivalenti in significato:

• L’enunciato di Kelvin-Planck ci dice che è impossibile realizzare una macchina termica ciclica il cui unico risultato sia quello di scambiare calore con una sorgente e convertirlo integralmente in lavoro.
• L’enunciato di Clausius ci dice che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di fare passare calore da un corpo a temperatura più bassa ad uno a temperatura più alta.

Il secondo principio, dunque, ci dice quali trasformazioni possono avvenire e ci introduce anche al concetto di quanto possa essere pregiata una forma di energia rispetto ad un’altra. Infatti, mentre per il primo principio una forma di energia è equivalente ad un’altra purché le due quantità siano le stesse, il secondo principio ci dice già che non tutto il calore sarà trasformabile in lavoro meccanico: una parte di esso andrà inevitabilmente perso alla sorgente inferiore.

Dunque, l’energia, trasformandosi, si conserva (primo principio) ma continuamente si degrada (secondo principio), diminuendo la possibilità di essere convertita in lavoro utile. Il rendimento della macchina di Carnot (macchina reversibile che opera con un fluido ideale) ci dice la frazione di calore prelevato dalla sorgente calda trasformabile in lavoro meccanico: minore è la temperatura della sorgente fredda, più alto è il rendimento.

Concetto di availability exergia

A valle del secondo principio della termodinamica occorre sottolineare un concetto che si presenterà più volte nei prossimi argomenti: l’irreversibilità nel trasferimento di calore tra due corpi (o fluidi) con una differenza finita di temperatura. Infatti, se i due corpi che scambiano calore hanno temperature molto simili (e, dunque, la loro differenza di temperatura è infinitesima), il processo di scambio di calore è reversibile: il flusso di calore può avvenire in entrambi i versi (dal corpo 1 al corpo 2 o viceversa) e questo permette, all’energia calore, di “conservarsi” non venendo, per così dire, stoccata definitivamente in un corpo (ma potendo sempre muoversi da un corpo all’altro).

Se invece i due corpi hanno una differenza finita, allora il calore passerà dal corpo a temperatura maggiore a quello a temperatura minore. Il calore assorbito dal corpo più freddo, se questo non è in cambiamento di fase, indurrà in esso un aumento della sua temperatura e, proprio in questo passaggio, possiamo ben comprendere l’irreversibilità del processo: il calore scambiato avrebbe potuto, piuttosto che contribuire all’innalzamento della temperatura (che non è certamente un effetto utile), essere convertita in lavoro utile (una frazione di essa) tramite l’uguaglianza di Carnot.

Comprendiamo dunque che se la differenza di temperatura tra i due fluidi è molto alta ci sarà un grande scambio di calore tra i due ma questo rappresenta anche una grande fonte di irreversibilità, perché la stessa quantità di calore avrebbe potuto essere convertita in lavoro meccanico da una macchina termica che avesse lavorato tra due sorgenti termiche alle temperature dei due fluidi.

Gas perfetti, gas ideali, gas reali

Il comportamento di molti gas reali può essere descritto da una semplice relazione delle variabili termodinamiche: pv=RT, dove p è la pressione, v è il volume specifico (volume per unità di massa), R è la costante del gas data dal rapporto tra la costante universale dei gas R₀ e la massa molecolare del gas in studio, e T è la temperatura espressa in kelvin.

Affinché si possa applicare questo modello, dato un gas, è necessario che si trovi in determinate condizioni termodinamiche: la sua temperatura dev’essere molto maggiore della sua temperatura critica mentre la sua pressione dev’essere molto inferiore alla sua pressione critica. Un gas a cui si possa applicare questa relazione prende il nome di gas perfetto.

Una proprietà molto interessante dei gas perfetti è la dipendenza della loro energia interna ed entalpia dalla loro temperatura. In formule, per un gas perfetto, si ha: u=u(T), h=h(T). Tra i gas perfetti, possiamo individuare un’ulteriore tipologia di gas, i gas ideali. Per caratterizzarli, dobbiamo riprendere il concetto di calore specifico (o, equivalentemente, capacità termica).

Il calore specifico, dato dal rapporto tra il calore specifico scambiato e la differenza di temperatura registrata, c=dQ/dT, è una misura della capacità termica di un corpo: infatti, tale quantità rappresenta la quantità di calore (limite superiore) che un corpo riesce ad assorbire (o incamerare) prima che questo provochi un innalzamento della sua temperatura di un grado kelvin.

Il calore specifico è una proprietà di un sistema e varia in base alla trasformazione termodinamica svolta: se lo misuriamo in una trasformazione a volume costante parleremo di calore specifico a volume costante, se lo misuriamo in una trasformazione a pressione costante parleremo di calore specifico a pressione costante.

Ebbene, per i gas perfetti (quelli di impiego tecnico) i calori specifici dipenderanno esclusivamente dalla temperatura: c_v=∂u/∂T=du/dT=c_v(T), ovvero c_p=∂h/∂T=dh/dT=c_p(T). Per i gas ideali, invece, si assume che i calori specifici siano costanti (variano da un gas all’altro ma sono indipendenti dalla temperatura). In ogni caso, risulta valida la cosiddetta relazione di Meyer: c_p−c_v=R.

Abbiamo detto che per i gas perfetti i calori specifici dipendono dalla temperatura: ebbene, tale dipendenza viene espressa genericamente con una serie di potenze di T fino all’ordine n-esimo. L’approssimazione al primo ordine è spesso sufficiente in numerose applicazioni tecniche.

Un altro parametro importante per la caratterizzazione dei gas è il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante: c_p/c_v=k; tale parametro viene utilizzato, in alcuni casi, per descrivere le trasformazioni (politropiche) a cui il gas viene sottoposto.

Piani termodinamici e trasformazioni nei fluidi

Per analizzare le trasformazioni è utile la loro rappresentazione grafica sui piani termodinamici che portano sugli assi coordinati variabili di stato. Ogni punto su un tale piano termodinamico definisce un preciso stato termodinamico del fluido.

Si ricorda che le trasformazioni rappresentate in tali piani sono quelle reversibili: infatti, solo stati termodinamici di equilibrio hanno ben definiti i valori delle variabili termodinamiche e, dunque, una trasformazione rappresentabile in tale piano è una trasformazione che evolve in continui stati di equilibrio (e, proprio per definizione, è una trasformazione reversibile).

È chiaro che una trasformazione reale non sia reversibile: non procede per infiniti stati di equilibrio (che, se fossero tali, la trasformazione non proseguirebbe) ma partendo da uno stato termodinamico iniziale A raggiunge lo stato termodinamico finale B in modo poco deterministico (ovvero, non saremmo in grado, ad ogni istante, di leggere il valore delle proprietà termodinamiche del sistema perché cambierebbero continuamente).

Tuttavia, la tecnica adotta questo artificio: qualsiasi trasformazione reale viene ricondotta ad una politropica equivalente (che è una trasformazione reversibile, dunque, rappresentabile in un dato piano termodinamico) che ha gli stessi stati termodinamici iniziali e finali (ma, in generale, farà cose diverse o seguirà un percorso diverso dalla trasformazione reale; di quest’ultima non possiamo tracciare alcun percorso).

Per la prima parte delle slide, in cui vengono spiegate le particolarità di ciascun piano termodinamico, si rimanda al file “Note utili di Fisica Tecnica”.

Per quanto riguarda le trasformazioni nei fluidi: le trasformazioni di interesse tecnico (reali, irreversibili) sono in molti casi riconducibili ad una generica trasformazione chiamata politropica (ideale, reversibile) lungo la quale si scambia sia lavoro che calore e la capacità termica c (o calore specifico) risulta costante, c=dQ/dT=costante. La politropica ammette un’espressione analitica dipendente da c_p attraverso l’esponente m: con p v^m=costante, m=(c_p−c)/(c_v−c).

• Si vedano le tipologie diverse di trasformazioni (isocora, isobara, isoterma, adiabatica).
• Le trasformazioni politropiche generiche comportano sia uno scambio di calore che di lavoro, e sono utili per descrivere l’evoluzione di quelle trasformazioni, come le adiabatiche reali, che non essendo reversibili non possono essere ricondotte ad una trasformazione isoentropica. In tal caso, le condizioni iniziali e finali dell’adiabatica reale sono le stesse rispetto ad una politropica reversibile che prevede uno scambio di calore con l’esterno (assente nell’adiabatica reale) corrispondente alla reale conversione di lavoro meccanico in calore dovuta all’attrito.

Rendimenti cicli termodinamici

• Il rendimento termodinamico per un ciclo.
• Rendimento globale di un impianto motore termico.
• Consumo specifico di combustibile: rapporto tra la portata di combustibile e la potenza utile; indica quanto combustibile necessita per sviluppare una unità di potenza meccanica utile.

Si introducono poi i concetti di:

• Ciclo ideale: serve per analisi di base e definizione dei principali parametri in gioco.
  • Fluido ideale (perfetto): solo i gas possono essere considerati fluido ideale se lontani dalle condizioni critiche (in tal caso i calori specifici sono costanti). Non si può parlare di fluido ideale per i vapori (sono vicini alle condizioni critiche).
  • Macchina ideale (perfetta): è in grado di realizzare trasformazioni reversibili (senza perdite) tramite tempi di trasformazione infiniti.
• Ciclo limite: rappresenta il limite tecnologico a cui si può ambire.
  • Fluido reale.
  • Macchina ideale.
• Ciclo reale: rappresentazione più aderente alla realtà della macchina (ma di più complesso studio).
  • Fluido reale.
  • Macchina reale.

Per ciascun tipo di ciclo si definisce il corrispondente rendimento: η_id, η_l, η_r; inoltre si definisce anche il rendimento interno η_I=η_r/η_l, che è un indice di quanto la macchina reale si discosta dalla macchina ideale. Inoltre, ricordando che per le macchine termiche il ciclo di Carnot rappresenta il limite teorico del rendimento, si ha:

• Composizione di rendimenti per macchine termiche in parallelo: considerando due sistemi energetici, alimentati in parallelo da una stessa sorgente superiore, si vuole determinare il rendimento complessivo. Si ha: η₁=W₁/Q₁ e η₂=W₂/Q₂, da cui si ricava η_tot=(W₁+W₂)/(Q₁+Q₂)=(η₁Q₁+η₂Q₂)/(Q₁+Q₂).
• Composizione di rendimenti per macchine termiche in serie: considerando due sistemi energetici alimentati in serie si vuole determinare il rendimento complessivo dell’impianto. Si ha η₁=W₁/Q₁ e η₂=W₂/Q’₁=W₂/[Q₁(1−η₁)], da cui si ricava η_tot=(W₁+W₂)/Q₁=[η₁Q₁+η₂Q’₁]/Q₁=η₁+η₂−η₁η₂.

Trasformazioni di compressione ed espansione (reversibili e reali)

Le trasformazioni di compressione ed espansione ricoprono una notevole importanza nella tecnica e vengono qui riviste in modo più accurato rispetto a Fisica Tecnica. Una compressione di un fluido può essere fatta in due modi: isotermicamente oppure adiabaticamente:

• La compressione isoterma viene fatta con continua sottrazione del calore: comprimendo il fluido esso tende a riscaldarsi; facendo evolvere la trasformazione su tempi infiniti, ad ogni istante di tempo dovrò sottrarre del calore per evitare che il fluido si riscaldi. Come si evince dal piano Ts, la compressione isoterma è quella che richiede meno lavoro ma non viene di fatto mai realizzata (impraticabile). Considerando il caso di un gas perfetto (siamo infatti lontano dalla campana che non appare nel grafico riportato nell’immagine) una trasformazione isoterma è tale che la sua energia interna rimanga costante, u=u(T). Allora, per il primo principio, il calore scambiato durante la trasformazione è uguale, a meno del segno, al lavoro scambiato. Dunque, sul grafico Ts, l’area che misuro (che rappresenta il calore scambiato) rappresenta anche il lavoro scambiato durante la trasformazione.
• La compressione adiabatica è il caso più frequente e, in assenza di attriti (caso reversibile), la trasformazione è anche isoentropica, nel caso reale invece è ad entropia crescente. Nel seguito, fuori dall’