Appunti completi del corso Fondamenti di Ricerca operativa

Knapsack (KP 0x)

W Capacita INGRESSO· CON ASSUNZIONE INDATIOGGETTOj PESO W,· >oP · Pi SMASPROFITTOD Di >OBINARIEVARIABILICON S I PRENDOjSE jX; 1....= = mO SE PRENDOjNONmaxPiX[VINCOLl] Z = : e (0 1jX 1=, m,N ....,<wiXi =1Vincolo Uguaglianzadi CAPACITÀUSAREBISOGNA TUTTA LAmaxPix[VINCOLD] = i e (0 1jX 1=, m, ....,X W==Forma MinimoIn (no profittodi BUNITE CAPACITÀBISOGNA COMPLESSIVOALMENOOCCUPARE MINIMIZZANDO ILDI COSTO,OGGETTIDEGLI :[VINCOLD] z CX= min , e(0 1jX 1=, m,M ....,>Bwjxjj 1=MULTIPLECHOICEN (lNe k)N uNkNuNzKOGGETTI INDIVISI SOTTOISIEM per OGNI 1= -.... ...,è SELEZIONAREPossibile AL MASSIMO OGGETTOUNmaxPiX[VINCOLl] = = i e(0 1jX 1=, m,N ....,<wiXi =1 1 l- , KjeX = 1,; ...BOUNDED lè DISPONIBILEOGNI oggetto IDEUTICESEMPLARIj In jmaxPiX[VINCOLl] = = iN <wiXi =1 liX s0 j 1= m....,XYO j1INTERA M.....,Subset Sum PROFITTO COINCIDE SUOOGGETTO PESOHA CHE CONUn ILOGNI [VINCOLl] jlPj-Wy m0,00,maxPiX- = : e(0 1jX 1=, m,N ...,<wiXi =1Due Vincoll VOLUMEè CAPACITEVOGNI Anchej Caratterizzato VolumeOGGETTO da unaun ine,[VINCOLl] maxPiX= = :N Xedo<WX 1j =i m....,M SVVX ;j =MULTIPLO Wi(i m)KNAPSACk CAPACITASONOCI CONDISPONIBILI 1=M ,. ., .BINARIEVARIABILICON INGRESSOCON ASSUNZIONE INDATIS I PRENDO iSE j IN M my ALTRIMENTIWimax Wim)(j m;i ⑧Xij aspettuttoi S1 =1, In1 == ...i. ....... KNAPSACKUN UNICOO ALTRIMENTI SONDALTRIMENTI CI<max[Wm] 3max[ mobe) non· i 1.j = ...... ESSERT,, POSSONO,[VINCOLl] INSTRIT)mind & ALTRIMENTImax Pixi &Wi SONOmi CIz i KNAPSACKj1min· Che1= Non== ; m....,, , ... POSSONO CONTENERESOGGETTIN <wiXi =1Tuo- X S , ...jAl = mi,MASSIMO iDA e(0Un 1jX 1,...,i1 ==, m m, =....,PACKINGBinDATI : [1 m] CAPACITA(fin)M CiascunoIDENTICI· ContenitoriInsieme conun di- , ...., ,m][1N (items)Un CARATTERIZZATOèoggetto j DaognioggettiInsieme· di= ;....,,PESO N O>UN ,&VARIABILI * sPostoco convis: (i anna)Xij j1= = =-m... ;So C↑ USATOBINSE VIENTIL (i m)1: = ....,actrimenti[VINCOLD] -miniM Wy= =jXij i 1= m:i ....Xij -A= j = 1 m--.. OGGETTOjCONTENUTOPUÒ ESSEREZin 1MAX BluIn-PACKINGBinKNAPSACK Us . PACKINGBinKNAPSACK CONTENITORICONTENITORI PAGANOSIGRATISSONO ·· G11PROFITTO TUTTIOGGETTI PRESIOGGETTI VANNO·· -PROBLEM MAX PROFITTONODI ·· PROBLEMA MINDI·SET COVERINGDATI : A [aij]· COFFFICIENTIuna BINARIMatrice RIGHE COLONNE eCON eun M [[i]rettore dimensione· un costididi mDEVESI : Frigh jesi Emyesistai Almeno colonna· 1 una c.= m ...... ..... Te0000(COLONNA i)RIGACOPRENij j1=jeS 06 0! 8OMINIMIZZARE· COSTO DELLE SELEZIONATECOLONNEIL 100 01 1RIGAOGNI DaCOPERTA Dij 1=UNE COLONNMinimoCon DIIlVARIABILI ↑ SELEZIONATAè: jLASE COLONNA (j m)X 1= =j ...,O ALTRIMENTIVINCOLL ~ Xz imin= M 31un a dijX i 1=; mIn j = .. - ,RIGA CIESSEREDEVE 050IALMENO 1Un dij = jX 1= m, , ....,ESEMPIO& FoSPOSAV .Xi ZONE RIGHE L'ESIME= ·· Maj mVi CjXj· · minj .,SET PARTITIONINGDATI : A [aij]· COFFFICIENTIuna BINARIMatrice RIGHE COLONNE eCON eun M [[i]rettore dimensione· un costididi m ! ( 30No ,DEVESI : Frigh jeSl EmYEsattamenteesistai· 1 Corona= una cm..... . ......(COLONNA i)RIGACOPRENij j1=jeS ESEMPIOMINIMIZZARE· COSTO DELLE SELEZIONATECOLONNEIL VOLI COMPAGNIAe↑=EVARIABILI ↑ SELEZIONATAè: jLASE COLONNA (j m)X 1= =j ...,O ALTRIMENTIVINCOLL ! &Xz imin ESATTAMENTE= DIj1 PERUNRIGAM 1X-j dijX i 1= =j mIn un = .. - ,RIGA CIESSEREDEVE 050I 1UnESATTAMENTE dij = jX 1= m, , ....,PACKINGSETDATI : A [aij]· COFFFICIENTIuna BINARIMatrice RIGHE COLONNE eCON eun Mrettore Dimensione· PROFITTI[Pi]un didi mDEVESI : Friga jeSl EmYEsistai· 1 Al Corona= Massimo Una c.m..... ......(COLONNA i)RIGACOPRENij j1=jeS· MASSIMIZZARE PROFITTO DELLE SELEZIONATEIL COLONNEEVARIABILI ↑ SELEZIONATAè: jLASE COLONNA (j m)X 1= =j ...,O ALTRIMENTIVINCOLL maxPjXE ;- M StiwuX/j RijX 1....,=j mRIGA CIESSERE 050DEVE 1 jX 1=UnMASSIMO =dijAL m, , ....,COVERING PACKINGSETSET SET PARTITIONINGUS vs. .ANALOGIE· VARIABILI BINARIEX SONO· ;TUTTI COEFF Dal· I Dij DAsoDO. 6TERMINITUTTI VALGONOVINCOLIDEII NOTI· :DIFFERENZE· Senso DelIL Vincoll· S=i:MINMIN MAX· .; .;ESISTENZA SOLUZIONE AMMISSIBILEUNA· DI SCP FACILE:SPP DIFFICILE: VjSPKP SEMPREèX AMMISSIBILI0=: = ↳ PRENDERENONNIENTEPROBLEMA DELL'ASSEGNAMENTODATI : C (CijMATRICE COFFE COSTOUna RIGHE Colonne· Con m ee dimDEVE ASSEGNARESI ·:OGNI COLONNA RIGA· UNAj AD -=RIGA UNAAdOGNI : COLONNA· COSTOMINIMIZZARE It· o..EVARIABILI 1 è ASSEGNATARIGASE COCOMAjI ALLA: LA (isseene m)Xij j 1=; -n.,O ALTRIMENTI[VINCOLD minijis-= Xij j+ 1,= = m...,Xij1 i =1,..., mXijegaig ist j :1, mm :....., ne ,PROBLEMA DELL'ASSEGNAMENTO GENERALIZZATODATI : El mNInsiemeUn· di oggetti= ...,,M-[1 m]Insiem RISORSEDi· un ...,, beRisorsa DISPONIBILITAOGNI· haPer RisorsaOgni Oggetto· j sonoi Noti :eLA RICHIESTA DELL'OGGETTOhij :ASSEGNATO RISORSAALLAjeecostoIl DELL'OGGETTO j iCij Assegnamento ALLAdi RISORSAASSEGNARE OGGETTI611 RISORSEALLE T :C.OGNI ASSEGNATOOGGETTO j SIA· ESATTAMENTE RISORSAAD iUNAieM GiPer OGNI RISORSA complessiva ASSEGNATIRichiesta ECCEDAdegli oggetti· La Non,MINIMIZZARE COSTO· ILEVARIABILI L'OGGETTO è1 RISORSAcASSEGNATO: ce ALLAj (i -m)Xij 1= 1m= j =..,.., ; --,8 ALTRIMENTI[VINCOL] minijij= m j= 1 1Xij m= . ,,i =,rijkij sti i m..Xije50 1 i 1 =j= mm...., ; ....,,FACILITY LOCATION (FACILITIES)DATI : 1 m] Facilities CostoRISORSEN fiEssere ATTIVATEInsieme Che ogni· Possono haUn di j= un, ..., ,Me m] Clienti SFRUIREun Insieme· di Da.....C Cijuna Matrice Elemento FACILITYjRappresenta· CLIENTEPerDimensione SERVIREGenerico DALLAlILdi Cul RICHIESTOIl CostoIlmymSEN ATTIVARE FACILITIESL'ASSEGNAMENTODETERMINARE FACILITIES CLIENTISOTTOINSIEME ATTIVATEDELDI Da ALLE TUN C:e .CIASCUn CLIENTE SERVITO FACILITYDASIA UNA· ILMINIMIZZARE COMPLESSIVO· COSTOVARIABILI : S[Tj M DA=S ilAn VISTRO (i(j Xij n)m)= 1 1 mj= 1= =....,...., ....,VINCOLI miniz M 1Xij -1 m....,j i1/Xijsyj j :...., dm...., :49013& jab-enSE ATTIVOjNON m,Xijt{01ASSEGNATAPUONON ESSERE :brea jalAB mme ...,iUN ,FACILITY CAPACITATOLOCATION (FACILITIES)DATI : Capaci1 m] byfacilities CostoRisorseN fiEssere AttivateInsieme Che· ognipossono unaehaun di j= un...., ,Me m) diClienti richiesta pariservire ciascunoun aInsieme con· di da..... ,C Cijuna Matrice Elemento FACILITYjRappresenta· CLIENTEPerDimensione SERVIREGenerico DALLAlILdi Cul RICHIESTOIl CostoIlmymSEN ATTIVARE FACILITIESL'ASSEGNAMENTODETERMINARE FACILITIES CLIENTISOTTOINSIEME ATTIVATEDELDI Da ALLE TUN C:e .CIASCUn CLIENTE SERVITO FACILITYDASIA UNA· CAPACITà PER SODDISFARERISORSA SUFFICIENTE· OGNI DI:Abbia LE TUTTI CLIENTIIRICHIESTE ASSEGNATI RISORSAALLAILMINIMIZZARE COMPLESSIVO· COSTOVARIABILI : S[Tj M DA=S ilAn VISTRO (i(j Xij n)m)= 1 1 mj= 1= =....,...., ....,VINCOLI mini= M Xij + i= = 1 mj= i 100, ,di bjyXij = j 1, ....,=, M49013 jab-en m,XijtG01 :tren jal mme ...,, 11SPLITTABILEVARIANTE : / (risorsa)PIÙLa Può SERVITARICHIESTA ESSERE DA RISORSEDI CLIENTEOGNI· ↓VINCOLI RILEVANTE INGENERALIZZATOmini= M Xij + i= = 1 mj= i 100, ,dixijsbjy j , ...,=j m49013 jab-en m,: j 1OSXijf1 =- mm. e ....,.,Funzione Obiettivo Min Max[TRA PROCESSAMENTO]PiùMinimizzareMACCHINE DIDellapij TEMPOMACCHINAVOGLIO Il ALTOCon IlMDATI : m]ElNInsiemeun COBS· di= , ...,M. (1 m5 puòInsieme· Macchina PROCESSAREogniMacchine VOLTAALLALavoroUn solodi Un.... ,, leMjeNPer èMacchina· TEMPOOGNI PROCESSAMENTO jJOB del MacchinaLavoroNoTO SullaIL idi PejeASSEGNARESI MACCHINADEVE OGNI ADJOBSj i T CUNA . :.MACCHINAASSEGNATO· OGNI JOBS j Sia SOLAUNAAd (MARESPAN)MINIMIZZARE PROCESSAMENTO TERMINATOTALE DELLAIL PERTEMPO ULTIMADI MACCHINA CHE·VARIABILI : S 1 SF ASSEGNATO MACCHINA iè ALLACOBSj (istXij -n)jj=: mer , . -.0 ALTRIMENTI MACCHINAi(i m)C TOTALE DELLAPROCESSAMENTODITEMPO 1= = -. ,-.MASSIMO TEMPO UNA MACCHINADIZ PROCESSAMENTO DI= DMAKE SPANVINCOLI ~Zmin mXijt j 1= m...,= Pijkij i 1C m= ..,..(i i 1z = m-.. - ,Xijed0 il mji m-......, ,FIXED CHARGES FUNZIONE minkyX CXOBIETTIVOVARIABILE REALIZZAREN ·PRODOTTI +: DI DA= :con K C Costo UNITARIOfisso- costo e CONFunzione di VINCOLILa costo mif(x) & k X > My0CX Mse+ X = NUMEROGRANDE= 440 17XO 0se = ,SfeNL ! INTRODUCIAMO X0 1=1: X70 y =se 20 1)32y : = =X = 0 y - ,Dol ALTRIMENTIESTESO PRODOTTI DIVERSICASO ASSOCIATA PRODUZIONECUL ALLASIAAL IN Y DI MM (j m)ESSTREPOSSONO REALIZZATIprodotto 1per PRODOTTI CHEOgni MASSIMO diNUMEROj E· =; -- ..VINCOLL Mjy Kyj C=Xj z= Xmin +=m i... , ,yeço i,ATTIVAZIONE DISATTIVAZIONEe VINCOLOUNDITX6 CERTEATTIVO CONDIZIONIVINCOLO SOTTOCheSIA SIAunYEGO 1 EPRESA QUANDOATTIVO :, x b axz)My Ay M(ty)(y = 1 =2 =0 -= -3e50 ye5019 ),,LOT SIZINGDATI : PERIODISUDDIVISOTEMPORALEORIZZONTE· IN M(IIPERIODO M)OGNI ASSOCIATE1 HA= ....,di (identici) periodoRichiesti dal Nelprodotti Mercato12 dinumero PERIODOIL CCOSTO NELUNITARIO , NEL PERIODOUNITARIOIL Costo STOCCAGGIO NDi : M Unitàcapacità Stoccaggiomagazzino prodottodi pariUn acon di· , ALL'INTERNO TEMPORALEALL'INIZIOPRESENTE DELL'ORIZZONTEINIZIALEGIACENZA SoLA MAGAZZINODEL· QUANTITÀDETERMINAREDEVE, PRODOTTI PERIODOSI REALIZZARE E STOCCARELA DA OGNIDI DA T CIN :.· In DISPONIBILIPRODOTTIPERIODO Numero SUFFICIENTE Per MERCATOSODDISFARE DELOGNI RICHIESTAdiIL Sia LA(Costi STOCCAGGIO)MinimizzareIl Sostenuto PRODUZIONE· Costo Complessivo DIVARIABILI : (iNELL'I m)Xi REALIZZATIPRODOTTI= PERIODOESIMO 1· Di =m ..,., (i M)DELL'ESIMOALLASi PERIODO 1Prodotti FINEmi MAGAZZINONEL =Di= .. -- ,[Vincoli CXitrisi,min M< iSi 1= M01- ,gdi iSit 1SiXi = M+ = 01- ,giS 30 1Xi = M; 01- ,g,-QUANTITA DELPRECEDENTEMESERIMASTAGRAFI NON-ORIENTATI ELEMENTICOPPIEPARTICOLARI RELAZIONIPROBLEMI TRA DIPERUTILI CON(VE) SG -V G VERTICDI.... INSIEME= =con 2ILe em]- ElV (lati) 23famiglia Vcoppie Elementidi di di 32=....., . , ,( 3 &(1 97]E (13)(2 (23)2)=(v , ., .4) , , .e = , (DISTANZAPrò CeGRAFOIL PERCORRENEA)· PESATO TEMPOESSERE AssociatohaeOVVERO VALORE DIUn, ,(VCP)VERTEX COLORINGDATO : (V,E)GGrafo· un PESAToNon= WEL (COLORE)DEVE VERTICESI TASSEGNARE OGNIAD C.NUMERO :UN .COL