Limite: stimolo e fonte d'ispirazione

Liceo della Comunicazione Giuseppe Toniolo

Il limite:

Stimolo al progresso e sfida al miglioramento di sé

Alan Bodner

Anno Accademico 2010/2011

Indice

Introduzione 1

Il limite come stimolo all’arte e fonte d’ispirazione 5

Körpervorstellung in NS-Regime: die Überwindung der eigene Grenzen zur ständigen 9

Selbstverbesserung

Record: il senso del limite nello sport e il ruolo della tecnologia nel suo superamento 11

Verso l’infinito ed oltre. La tecnologia esplora i limiti dell’universo 15

Conclusioni 18

Bibliografia 19

Introduzione

L’argomento da me scelto è il concetto di limite.

Ho scelto questo tema perché voglio mostrare come per l’uomo il superamento dei limiti

rappresenti una sfida nel percorso di crescita e miglioramento. La sfida non è soltanto contro i

propri limiti ma anche contro i limiti imposti dalla Natura e dalla tecnologia.

La possibilità di sfidare questi limiti è sempre intesa come uno stimolo al miglioramento di sé, delle

proprie conoscenze, del progresso della società e del mondo.

Al giorno d’oggi viviamo in una società in continua evoluzione: tutti i settori della vita subiscono un

incessante sviluppo. Si può parlare di un infinito superamento di ostacoli che per natura si

presentano all’uomo in quanto individuo finito.

Nel corso della tesina cercherò di dimostrare come il concetto di limite costituisca un aspetto

fondamentale nella ricerca e nel miglioramento di sé, da un punto di vista tecnologico, sportivo,

ma anche artistico ed esistenziale. È in fondo proprio la limitatezza che caratterizza l’uomo, che ci

spinge ad affrontare e superare quei limiti utili a raggiungere traguardi prima impensabili e in

definitiva a migliorare la nostra esistenza. 1

Il limite matematico: storia e significati del calcolo dell’impossibile

Quando si pensa alla parola “limite”, il primo concetto che viene in mente è sicuramente il limite

matematico. Nel 1885 il matematico tedesco Karl Weierstrass definì in modo rigoroso la nozione

di limite, ma il suo concetto è molto più antico.

Per secoli matematici e filosofi hanno lottato con paradossi che coinvolgono la divisione per zero o

le somme di numeri infiniti; il primo paradosso che si è tentato di risolvere è stato quello del

calcolo delle aree e volumi. Questo è stato possibile grazie all’invenzione del calcolo integrale,

sviluppatosi già nell’antico Egitto.

Già nel papiro egizio di Mosca (1820 a.C.), infatti, si ritrovano calcoli di volumi e superfici, ma le

formule sono istruzioni semplici, e alcune di loro sbagliate.

Dall’età della matematica greca, Eudosso di Cnido (c. 408 - 355 a.C.) ha utilizzato il metodo di

esaustione, che anticipa il concetto di limite, per calcolare aree e volumi. Per determinare l’area di

una figura piana a contorno curvilineo, poligoni sempre più fitti venivano utilizzati per riempirla

fino ad esaurirla. Archimede (287 - 212 a.C.) ha sviluppato ulteriormente questa idea, inventando

procedimenti (chiamati “euristiche”) che ricordano i metodi di calcolo integrale. Il metodo

considera la figura formata da un certo numero di fili pesanti, paralleli fra loro, e dunque con un

certo peso; si può confrontare il peso di questa figura con quello di un’altra figura di area nota.

Il metodo di esaustione fu poi reinventato in Cina da Liu Hui nel 3° secolo d.C., con lo scopo di

trovare l’area del cerchio. Nel 5° secolo d.C., Zu Chongzhi ha stabilito un metodo che verrà poi

denominato “principio di Cavalieri” per trovare il volume di una sfera.

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) sostenne poi che i volumi e le aree devono essere calcolati

come somma dei volumi e delle aree di sezioni trasversali infinitamente sottili. Le idee sono simili a

quelle proposte da Archimede in “Il Metodo”, ma questo trattato non venne ritrovato fino

all’inizio del ventesimo secolo. Il lavoro di Cavalieri non era molto rispettato poiché i suoi metodi

potevano portare a risultati errati e le quantità infinitesimali, da lui introdotte, non erano ben

considerate dai matematici dell’epoca.

Era necessario sviluppare un tipo di analisi che potesse lavorare con grandezze infinitamente

grandi o infinitamente piccole senza portare ad errori. Questo tipo di analisi verrà poi chiamato

calcolo differenziale.

Isaac Newton (1643 – 1727) ha introdotto diverse e nuove regole matematiche tra cui il metodo

delle flussioni, usato per risolvere questioni di natura fisica. Nelle sue pubblicazioni, Newton ha

riformulato le sue idee per soddisfare il linguaggio matematico del tempo, sostituendo i calcoli con

infinitesimi. Ha usato i metodi di calcolo infinitesimale per risolvere il problema del movimento

planetario, la forma della superficie di un fluido rotante, dello schiacciamento della terra, il moto

di un peso scorrevole su una cicloide, e molti altri problemi discussi nei suoi “Principia

Mathematica”. Non pubblicò tutte queste scoperte, poiché in quel periodo i metodi infinitesimali

erano considerati poco affidabili. 2

-Isaac Newton-

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1717), che è stato il primo a pubblicare i suoi risultati sullo

sviluppo del calcolo infinitesimale, fu inizialmente accusato di plagio da Newton. Su insistenza di

Leibniz, la Royal Society studiò a fondo la questione della paternità del calcolo infinitesimale. La

ragione andò a Newton, ma Leibniz rivendicò fino alla morte l’autonomia delle proprie ricerche. Il

suo contributo è stato quello di fornire un insieme chiaro di regole per la manipolazione di

quantità infinitesimali, che consente il calcolo delle derivate seconde e superiori. A differenza di

Newton, Leibniz prestò molta attenzione al formalismo. Oggi sono considerati entrambi ideatori

del calcolo infinitesimale, essendo arrivati alle stesse conclusioni in modo indipendente. Il nome

“calcolo infinitesimale” fu un’idea di Leibniz; Newton, infatti, chiamò il suo calcolo “la scienza delle

flussioni”. -Gottfried Leibniz-

Dai tempi di Leibniz e Newton, molti matematici contribuirono allo sviluppo del calcolo

infinitesimale. 3

-Karl Weierstrass-

Dal 19° secolo, il calcolo infinitesimale fu reso molto più rigoroso da parte di matematici come

Cauchy, Riemann e Weierstrass. Quest’ultimo fornì la definizione di limite che utilizziamo ancora

oggi:

Il limite è quindi l’unico strumento per lavorare con gli infinitesimi e gli infiniti ed è il fondamento

di tutto il calcolo integrale. Lo studio dei limiti permette all’uomo di superare proprio quei limiti

che la matematica impone e di risolvere calcoli che coinvolgono velocità, accelerazione, ma anche

volumi, centri di massa, e questioni economiche. 4

Il limite come stimolo all’arte e fonte d’ispirazione

L’uomo, sia esso un matematico, un filosofo, un poeta o un pittore, ha da sempre cercato di

superare i limiti che si è trovato davanti. Uomini di tutte le epoche si sono posti la stessa domanda:

“È possibile superare i limiti che la vita, la lingua, la vista o la conoscenza ci impongono?”

Anche Dante Alighieri (1265 - 1321) si scontra con il problema dei limiti umani. Nella “Divina

Commedia” tratta il tema dell’ineffabilità, ovvero l’incapacità di esprimersi perché la grandezza

degli argomenti non consente all’uomo di descrivere ciò che osserva. Ciò è chiaramente descritto

all’inizio dell’ultima cantica. Nel ciel che più de la sua luce prende

fu’io, e vidi cose che ridire

né sa né può chi di là sù discende;

perché appressando sé al suo disire

nostro intelletto si profonda tanto,

1

che dietro la memoria non può ire.

Nel Paradiso Dante raggiunge l’Empireo, la sede di Dio; è quindi la grandezza, l’immensità di Dio

che non può essere espressa a parole né ricordata. La profondità di ciò che si osserva non può

essere descritta; questo è un vero e proprio limite umano di cui il poeta è pienamente

consapevole. Eppure Dante prova ugualmente a testimoniare la bellezza di quello che vede, ma

non riesce quasi a ricordare ciò che vive:

Da quinci innanzi il mio veder fu maggio

che ‘l parlar mostra, ch’a tal vista cede,

e cede la memoria a tanto oltraggio.

Qual è colui che sognando vede,

che dopo ‘l sogno la passione impressa

rimane, e l’altro a la mente non riede,

cotal son io, ché quasi tutta cessa

mia visione, e ancor mi distilla 2

nel core il dolce che nacque da essa.

Il poeta, infatti, non può raccontare quello che ha visto ma solo descrivere la sensazione di

dolcezza che ancora gli rimane in cuore. La sensazione che prova è simile a quella di chi, appena

sveglio, non ricorda ciò che ha sognato, ma ne reca ancora nel cuore l’emozione.

1 Paradiso I, 4-9

2 Paradiso XXXIII, 55-63 5

Omai sarà più corta mia favella,

pur a quel ch’io ricordo, che d’un fante 3

che bagni ancor la lingua a la mammella.

In questa terzina, Dante dichiara definitivamente la sua incapacità di descrivere ciò di cui è

testimone: d’ora in avanti il suo parlare sarà talmente inadeguato rispetto a quanto ha visto, da

essere superato dal balbettio di un bambinello che deve essere ancora allattato. Il poeta, quindi,

ammette ed accetta i limiti che la lingua gli impone e comprende che è impossibile superare