Fondamentale fragilità

Andrea Govi, V A

Fondamentale

Fragilità Lezioni americane

Dalla crisi dei fondamenti della matematica alle

Crollate le vecchie norme, non ancora sorte o bene stabilite le nuove; è naturale che il concetto della relatività d'ogni cosa si sia talmente allargato in noi, da farci quasi del tutto perdere l'estimativa [la capacità di esprimere un giudizio]. Il campo è libero ad ogni supposizione [ipotesi]. L'intelletto ha acquistato una straordinaria mobilità.

Nessuno riesce più a stabilirsi un punto di vista fermo e incrollabile. I termini astratti han perduto il loro valore, mancando la comune intesa, che li rendeva comprensibili.

Non mai, credo, la vita nostra eticamente ed esteticamente fu più disgregata. Slegata, senz'alcun principio di dottrina e di fede, i nostri pensieri turbinano entro i fatti attuosi [nell'incalzare degli eventi], che stan come nembi sopra una rovina.

Luigi Pirandello, Arte e coscienza di oggi (1893)

Liceo scientifico F.P. Di Calboli - Forlì

Fondamentale fragilità

Dalla crisi dei fondamenti della matematica alle Lezioni Americane

Percorso multidisciplinare dell'alunno Andrea Govi

Classe V A

Anno scolastico 2010/2011 3

Indice

Introduzione Pag. 6

Crisi della geometria Pag. 10

Sulla natura assiomatica della geometria

Il quinto postulato di Euclide

Le geometrie non euclidee

Crisi della matematica Pag. 18

Sulla natura assiomatica della matematica

Un sistema instabile

L'antinomia di Russel

Il futuro della matematica secondo Hilbert

I teoremi di incompletezza

Una nuova rivoluzione copernicana Pag. 26

Einstein e i nuovi sviluppi della scienza

Verso un nuovo concetto di arte Pag. 30

Un secolo di avanguardie

Dal Dada all'action painting

Il senso della crisi in letteratura Pag. 36

Svevo, Joyce, Kafka, Beckett: una nuova idea di letteratura Pag. 42

Lezioni Americane

Cosa salvare per il nuovo millennio, Le di Italo Calvino

Conclusione e Bibliografia Pag. 46

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Arnaldo Pomodoro

Sfera n. 1 (1963)

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Fondazione Arnaldo Pomodoro, Milano

Fondamentale fragilità - introduzione

«L'atteggiamento scientifico e quello poetico coincidono, entrambi sono atteggiamenti insieme di ricerca e di progettazione, di scoperta e di invenzione»

Italo Calvino, da Una pietra sopra (Einaudi, 1980)

Come scrive Calvino in Una pietra sopra, la scienza e l'arte sono sempre state collegate e spesso sono cresciute influenzandosi a vicenda. In questo percorso si cerca di cogliere il sottile collegamento tra matematica e letteratura, tra scienza e arte. Sono numerosi gli scrittori, da Carrol a Calvino, ad essersi apertamente ispirati alla matematica, come sono stati tanti gli artisti (Escher, Merz, Ferguson).

La matematica ha sempre esercitato un'enorme influenza sul mondo della cultura ponendosi forse come fondamento del sapere e della conoscenza stessa. Il famoso matematico Federigo Enriques trova un'origine comune alla poesia e alla scienza, immaginando antichi navigatori che costeggiavano le coste del Mediterraneo osservando le stelle, chiedendosi una ragione scientifica dei movimenti celesti, ma soprattutto lasciando andare la mente a pensieri quasi leopardiani.

Secondo Enriques il valore artistico delle Matematiche, più che nelle sue proprie creazioni, si rivela nei collegamenti con le arti figurative, la musica, la poesia. Il senso della proporzione, dell'ordine e della misura è stato donato all'arte dalla matematica, che Dante definisce lo fren dell'arte. La ricerca matematica stessa contiene un elemento fondamentale di slancio verso l'ignoto, di stupore, di poesia.

Weierstrass afferma che «un matematico il quale non abbia in sé nulla di poetico non sarà mai un matematico». Ogni pagina di questo percorso è quindi affiancata da un'opera d'arte per sottolineare la connessione tra arte e argomenti scientifici. Le opere, quando non presentano un collegamento diretto alla matematica, si ispirano ad essa e trovano il loro senso più profondo nella crisi dei fondamenti culturali, iniziata dalla matematica.

Durante la grande trasformazione culturale che oggi prende il nome di Crisi dei fondamenti della matematica, si è potuto osservare nella sua vera essenza il legame tra matematica e arte. I teoremi di Gödel non sono solo una scoperta formale di carattere matematico, ma hanno soprattutto un grande

F. Enriques, Le matematiche nella storia e nella cultura, Zanichelli, Bologna, 1938

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Marcel Duchamp

Fontana (1917)

Originale perduto

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significato culturale. Il crollo dei fondamenti matematici, posti da secoli a base della scienza e della cultura positivistica, ha portato a un grande rinnovamento della scienza e dell'arte e soprattutto ha messo in luce la fondamentale fragilità della conoscenza umana, elemento forse più poetico che scientifico.

Mentre in fisica si affermano le idee della relatività di Einstein in arte si affermano le avanguardie. Dalle avanguardie nasce un profondo movimento di rinnovamento che mostra l'arte del '900 come segnata da un rifiuto del passato e una continua proiezione verso il futuro. Il sentimento della crisi e il desiderio di dissacrare i fondamenti dell'arte classica si può osservare già nel Dadaismo per arrivare all'arte contemporanea, passando per l'action painting, ovvero l'arte ridotta a gesto.

Anche sul piano letterario i primi decenni del '900 assistono alla crisi del romanzo tradizionale e alla ricerca di un nuovo tipo di scrittura, portato avanti da scrittori come Joyce, Kafka o Svevo.

Oltre a essere un movimento rigenerativo, il grande movimento culturale nato dalla crisi dei fondamenti matematici può essere un movimento così distruttivo da mettere in pericolo l'idea stessa di arte. Per questo Italo Calvino sente il bisogno di elencare i valori della letteratura che devono essere «salvati» per il nuovo millennio. In Lezioni americane Calvino non tiene semplici conferenze di letteratura, ma cerca di porre i fondamenti alla letteratura del futuro, salvando dalla crisi gli aspetti più importanti dell'arte del passato. Quelle di Calvino non sono solo sei proposte per il nuovo millennio ma un nuovo punto di vista, un freno alla crisi e un tentativo di trovare nuovi fondamenti. 8

Raffaello Sanzio

La scuola di Atene (1509)

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Particolare raffigurante Euclide

Musei Vaticani, Roma

La crisi della geometria

La filosofia non si è mai molto interessata all'operato della matematica, anche se le due discipline sono state da sempre intrecciate. Matematici fondamentali per lo sviluppo della materia, come Pitagora o Cartesio erano anche filosofi.

La filosofia è costretta a occuparsi del problema matematico quando alla fine dell'800 si presenta un fenomeno di enorme importanza culturale noto come «Crisi dei fondamenti della matematica». I dubbi sul quinto postulato di Euclide, la nascita delle geometrie non euclidee e la successiva crisi dei sistemi matematici hanno influenzato profondamente ogni campo della cultura moderna.

Federigo Enriques tentava di ridimensionare la dimensione del problema dicendo: «La critica dei principi è parte essenziale dell'elaborazione dei concetti che in ogni tempo prepara o accompagna il progresso della scienza e la sua più estesa applicazione».

La scoperta degli irrazionali in Grecia, l'uso degli infinitesimi nel Seicento, i calcoli con le serie infinite nel Settecento, i metodi sintetici della geometria proiettiva all'inizio dell'Ottocento, lo studio degli insiemi infiniti a fine Ottocento sono alcuni esempi di tali situazioni.

La crisi moderna dei fondamenti matematici non presenta però solo la presenza di calcoli impossibili da svolgere con gli strumenti su cui si basa la matematica contemporanea ma pone in dubbio proprio la veridicità e il senso più profondo del risultato matematico, del numero nella sua essenza elementare.

Sulla natura assiomatica della geometria

A lungo è stata un'idea universalmente diffusa, anche se con notevoli sfumature, che la matematica studiasse caratteristiche del mondo reale. L'osservazione del mondo naturale ha portato l'uomo a astrarre le forme naturali, semplificandole e facendo nascere le figure geometriche.

Nonostante l'origine «osservativa» bisogna osservare che la geometria classica si basava sul ragionamento puramente astratto e non prevedeva l'uso della misura. Nonostante l'astrazione dei procedimenti la geometria euclidea manteneva un collegamento diretto con la realtà basandosi su assiomi ed enti primitivi. 10

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René Magritte

La passeggiata di Euclide

Olio su tela (1955)

L'osservazione e l'esperimento, sia scientifico che quello semplice e ingenuo del bambino, portano la nostra mente a racchiudere, quasi a condensare, quello che si è appreso in enti primitivi, elementi che costituiscono un punto di partenza e che non richiedono una spiegazione ulteriore per essere compresi.

Un ente primitivo è un concetto di immediata comprensione che non richiede una dimostrazione e trae la sua veridicità dall'esperienza concreta. Inoltre esistono anche proposizioni più complesse che non hanno bisogno di una dimostrazione ma che riportano la loro veridicità all'intuizione. Gli assiomi sono la base di tutto l'edificio della matematica, e su di loro si basano tutti i teoremi più complessi. Inoltre gli assiomi definiscono «implicitamente» i propri enti primitivi. Un assioma deve essere coerente e non porre in contraddizione il sistema stesso, inoltre deve essere indipendente da qualsiasi altro assioma.

La geometria e più in generale tutta la matematica si basano su assiomi.

Il quinto postulato di Euclide

«... Come veggion le terrene menti

Non capere in triangol due ottusi»

Dante, Divina Commedia (Paradiso - XVII)

Nel più famoso testo di geometria della storia della matematica Euclide propone cinque assiomi, su cui si basa tutto il sistema della geometria piana.

• Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
• Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
• Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
• Tutti gli angoli retti sono uguali.
• Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.

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Maurits Escher

Limite del cerchio II

(opera basata sul nuovo concetto di geometria

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iperbolica)

Mentre i primi quattro assiomi sono evidentemente corretti ed indipendenti tra loro, il quinto postulato non può essere verificato sperimentalmente. Risulta impossibile infatti creare una linea reale che giunga all'infinito e che possa dimostrare che due rette parallele non si incontrano mai.

Il postulato non risulta inoltre di comprensione immediata e viene utilizzato solo dal teorema n. 28 del testo di Euclide, nonostante il fatto che una sua applicazione avrebbe reso molto più semplice la dimostrazione di alcuni dei primi 28 teoremi. Questo fatto può mostrare come lo stesso Euclide non credesse pienamente nella validità dell'assioma.

Già tra gli antichi sono numerosi i matematici che tentano di dare una formulazione alternativa all'assioma, in modo da renderlo più immediato.

La prima svolta sul problema del V postulato si ha con l'opera di Saccheri (1667-1733), famoso matematico gesuita, che tentò per primo di dimostrare il postulato.

Assunte come date le prime proposizioni del libro I di Euclide, le quali sono indipendenti dal V assioma; e, assunta come ulteriore ipotesi la falsità di quest'ultimo, cerca, fra le conseguenze della nuova ipotesi, qualche proposizione da cui scaturisca la verità di esso. Purtroppo la dimostrazione di Saccheri non risulta corretta ma sono molto importanti le tre ipotesi da lui formulate. Per il gesuita dato un quadrilatero birettangolo isoscele gli angoli adiacenti ad uno stesso lato possono essere acuti, ottusi o retti. Alle tre ipotesi di Saccheri corrispondono le tre geometrie non euclidee.

Le geometrie non euclidee

Solo all'inizio dell'800 si riesce a dimostrare l'indipendenza del teorema di Euclide grazie agli studi di Lobatceskij (1793-1874) e Bolyai (1802-1860).