In questo appunto parleremo di luoghi geometrici. Vedremo prima la definizione "grafica" per poi passare a quella algebrica e capire che cosa rappresenta l'equazione di un luogo.
Luoghi geometrici
Un luogo geometrico è un insieme di punti nel piano che soddisfa una certa proprietà. La proprietà è nota nel momento in cui si descrive il luogo. Facciamo alcuni esempi noti di luoghi geometrici:- la circonferenza è un luogo geometrico: è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto centro) e la distanza fissa è detta raggio;
- la parabola è un luogo geometrico: è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto fuoco) e una retta (chiamata direttrice).
Equazione di un luogo geometrico
D'ora in poi supponiamo che quando si parla di punti del piano ci si riferisce ad un piano specifico: il piano cartesiano.Esso è costituito da due assi, l'asse orizzontale
[math] x [/math]
e l'asse verticale [math] y [/math]
. Data un'equazione, è possibile definire il luogo associato a tale equazione come l'insieme dei punti che soddisfano l'equazione del luogo.Consideriamo, ad esempio, l'equazione:
[math] x+2y-3 = 0 [/math]
[math] (x, y) [/math]
tali che [math] x+2y-3=0 [/math]
fanno parte di tale luogo.Ad esempio
[math] (1, 1) [/math]
fa parte del luogo, perché [math] 1 + 2 \cdot 1 - 3 = 0 [/math]
, ma [math] (0, 1) [/math]
non fa parte del luogo [math] 0 + 2 \cdot 1 - 3 \neq 0 [/math]
, diversamente dal punto precedente o, da, per esempio, il punto [math] (3, 0) [/math]
.Si può dimostrare che il luogo proposto è una retta del piano, ma non ce ne occuperemo in questo appunto.
Facciamo un ulteriore esempio:
[math] x^2 + y^2 = 9 [/math]
Inoltre, siccome
[math] 3^2 = 9 [/math]
, la circonferenza ha raggio fissato pari a [math] 3 [/math]
.Esistono luoghi ben più complicati degli esempi proposti in questi paragrafi, e un esempio è fornito dall'allegato sotto.
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