Concetti Chiave
- Un luogo geometrico è un insieme di punti nel piano che soddisfa una determinata proprietà comune.
- Esempi di luoghi geometrici includono la circonferenza, definita dai punti equidistanti da un centro, e la parabola, dai punti equidistanti da un fuoco e una direttrice.
- L'equazione di un luogo geometrico nel piano cartesiano rappresenta l'insieme dei punti le cui coordinate soddisfano tale equazione.
- Ad esempio, l'equazione descrive una retta mentre descrive una circonferenza con raggio 3.
- Luoghi geometrici possono essere molto complessi, ma condividono il principio di soddisfare una proprietà definita mediante un'equazione.
In questo appunto parleremo di luoghi geometrici. Vedremo prima la definizione "grafica" per poi passare a quella algebrica e capire che cosa rappresenta l'equazione di un luogo.
Luoghi geometrici
Un luogo geometrico è un insieme di punti nel piano che soddisfa una certa proprietà. La proprietà è nota nel momento in cui si descrive il luogo. Facciamo alcuni esempi noti di luoghi geometrici:- la circonferenza è un luogo geometrico: è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto centro) e la distanza fissa è detta raggio;
- la parabola è un luogo geometrico: è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto fuoco) e una retta (chiamata direttrice).
Equazione di un luogo geometrico
D'ora in poi supponiamo che quando si parla di punti del piano ci si riferisce ad un piano specifico: il piano cartesiano.Esso è costituito da due assi, l'asse orizzontale
[math] x [/math]
e l'asse verticale [math] y [/math]
. Data un'equazione, è possibile definire il luogo associato a tale equazione come l'insieme dei punti che soddisfano l'equazione del luogo.Consideriamo, ad esempio, l'equazione:
[math] x+2y-3 = 0 [/math]
[math] (x, y) [/math]
tali che [math] x+2y-3=0 [/math]
fanno parte di tale luogo.Ad esempio
[math] (1, 1) [/math]
fa parte del luogo, perché [math] 1 + 2 \cdot 1 - 3 = 0 [/math]
, ma [math] (0, 1) [/math]
non fa parte del luogo [math] 0 + 2 \cdot 1 - 3 \neq 0 [/math]
, diversamente dal punto precedente o, da, per esempio, il punto [math] (3, 0) [/math]
.Si può dimostrare che il luogo proposto è una retta del piano, ma non ce ne occuperemo in questo appunto.
Facciamo un ulteriore esempio:
[math] x^2 + y^2 = 9 [/math]
Inoltre, siccome
[math] 3^2 = 9 [/math]
, la circonferenza ha raggio fissato pari a [math] 3 [/math]
.Esistono luoghi ben più complicati degli esempi proposti in questi paragrafi, e un esempio è fornito dall'allegato sotto.
Domande da interrogazione
- Come si definisce algebricamente un luogo geometrico?
- Qual è l'equazione di una circonferenza e cosa rappresenta?
Algebricamente, un luogo geometrico è definito dall'equazione che i punti devono soddisfare. Ad esempio, l'equazione [math] x+2y-3 = 0 [/math] rappresenta una retta nel piano cartesiano.
L'equazione di una circonferenza è [math] x^2 + y^2 = 9 [/math], che rappresenta l'insieme dei punti la cui distanza dall'origine è pari a 3, il raggio della circonferenza.
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