Pi Greco

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Alla genialità,

da sempre colta

nelle matematiche cifre

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di

Marco Martinoli

Indice

• Qual è il titolo 03
• I problemi del Millennio 06
• Il Papiro di Rhind 08
• La Bibbia 09
• I Greci 09
• Gli “Elementi” di Euclide 10
• Archimede 12
• I Romani 15
• L’estremo oriente: la Cina 15
• Il medio oriente: Arabi ed Indiani 16
• Il Medioevo 17
• L’Era Moderna 18
• L’irrazionalità di π 19
• La trascendenza di π 26
• L’era dei calcolatori 34
• Il metodo Monte Carlo 36
• Il Pendolo 38
• Saluti e Ringraziamenti 40
• Bibliografia e Sitografia 41

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di

Marco Martinoli

Qual è il titolo?

È la domanda che per prima sorge ad una qualsiasi persona posta di fronte ad uno scritto. A mio parere nasce dalla voglia di carpire la trama sia dal titolo, linfa condensata del contenuto, che, in aggiunta, dalla sua essenza fenomenica, ovvero da come appare alla pragmatica vista.

Vorrei condividere con Lor Signori l’amletica Odissea che mi ha afflitto per diverso tempo durante il quale sono andato in cerca di un titolo tanto emblematico quanto originale e per nulla noioso. Converrete con me sulla reale difficoltà che ho incontrato dovendo trovare il manifesto finito che sia al contempo cuore del Trascendente. Paradossale! Acquisita tale consapevolezza, sono finito di fronte ad un bivio: inventarmi un comune titolo che avrebbe potuto essere ozioso e sminuire il mio argomento, oppure trasferire il Trascendente in parole, ammettendo i limiti di essere vincolato dal materiale su cui divulgo?

Ho scelto la seconda strada: quale miglior simbolo dell’infinito se non l’infinito stesso? Ecco perché il titolo non è π come si potrebbe pensare a primo acchito, ma i numeri che, visti da un occhio esperto, altro non sono che le cifre decimali dopo il celebre “3,”. Per la gioia di Lor Signori li ho riportati finché carta me l’ha permesso ma nella Loro illustre mente sono sicuro che vi è la consapevolezza ch’essi

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Marco Martinoli

continuino in eterno, così da validare la mia scelta stilistica.

Alla mia spiegazione immagino la Loro seconda, consequenziale e spontanea domanda. Difatti se il titolo sono i numeri bianchi, il π verde cosa rappresenta? Per rispondervi, mi rifaccio alla tradizione editoriale secondo cui in copertina, quanto meno, vanno scritti titolo ed autore; ebbene le cifre sono il titolo, il π è l’autore.

Cito il verista De Roberto che, nella prefazione di “Processi Verbali”, scrisse:

Se l’impersonalità ha da essere un canone d’arte, mi pare che essa sia incompatibile con la narrazione e con la descrizione. Nell’esporre in nome proprio gli avvenimenti, nel presentare i suoi personaggi, lo scrittore si tradisce inevitabilmente; ch’ei voglia o no, finisce per giudicare gli uni e commentare gli altri e le fioriture di stile, con cui egli traduce le impressioni suscitate dal mondo materiale, sono cosa tutta sua. L’impersonalità assoluta, non può conseguirsi che nel puro dialogo, e l’ideale della rappresentazione obbiettiva, consiste nella scena come si scrive pel teatro. L’avvenimento deve svolgersi da

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Marco Martinoli

sé, e i personaggi debbono significare essi medesimi, per mezzo delle loro parole e delle loro azioni ciò che essi sono.

L’impersonalità è il mio strumento perché devo parlare della materia dell’oggettività per eccellenza. Lascerò, pertanto, che il mio personaggio sia autore di se stesso e che nel suo dialogo con Lor Signori egli possa descriversi nella maniera più appropriata ed eloquente in un’opera divulgatrice in cui la mia persona svolge solo il ruolo di curatore.

Marco Martinoli

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di

Marco Martinoli

π Chi di noi non sarebbe felice di sollevare il velo dietro cui si nasconde il futuro; di gettare uno sguardo ai prossimi sviluppi della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo nei secoli a venire? Quali saranno le mete verso cui tenderà lo spirito delle future generazioni di matematici? Quali metodi, quali fatti nuovi schiuderà il nuovo secolo nel vasto e ricco campo del pensiero matematico?

Così dice David Hilbert, introducendo il Secondo Congresso Internazionale di Matematica a Parigi nel 1900. Egli vuole gettare le basi per uno slancio entusiasta, ponendo di fronte a tutti i matematici più illustri della terra i grandi problemi che ancora sono in attesa che qualche eroe dia una spiegazione rigorosa ai loro insidiosi tranelli. Hilbert li ordina in ventitré punti tra i quali, però, Io non compaio. Pensandoci sopra non ha motivo di inserirmi nei cosiddetti “problemi del millennio”, essendo già stato dimostrato quanto Io possa sfuggire alla limitata intelligibilità del genere umano. Nonostante ciò, da un punto di vista puramente concettuale, posso ancora essere definito come problema; e non del millennio: della storia. Diamo il via, arrivati a questo punto, alle presentazioni: Io sono π; anche se questo

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è il nome che mi avete convenzionalmente assegnato. In realtà, prima ne ho avuti altri.

Inizialmente erano banali approssimazioni che non mi

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rappresentavano nella mia interezza: , e così

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via. Solo nel 1706 il matematico William Jones in “A New Introduction to Mathematics” introduce la notazione che tutt’ora possiedo sia perché iniziale di “περίμετρος” (perimetros), che significa “misura attorno” in greco, sia perché iniziale del celebre matematico Pitagora.

Ora che le presentazioni sono state fatte, vi voglio raccontare una storia che ha dell’affascinante. Il protagonista principale siete voi, genere umano, che poco a poco scavate nella coltre oscura che un tempo vi circondava. Tutto ciò che non conoscevate era divino ed irraggiungibile tranne per pochi che, fin dalla notte dei tempi, cercavano una spiegazione che risiedesse non sopra gli uomini ma tra gli uomini, perseguibile con la loro ragione. Filosofi, matematici, uomini di scienza e, più in generale, di cultura non ponevano la verità negli Dei ma negli uomini, ricercandola solo grazie alla loro brillante mente. Da sempre la matematica è stata un campo di ricerca in questo senso ed Io, essendo uno dei problemi più antichi a cui vi siete dedicati, posso considerarmi uno dei motivi per cui voi avete iniziato a pensare razionalmente.

Non voglio ringraziamenti, voglio che ascoltiate:

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Marco Martinoli

Togli un nono a un diametro e costruisci un quadrato sulla parte che ne rimane; questo quadrato ha la stessa area del cerchio

Questo scritto risale al

1650 a.C. ed è la prima

testimonianza in cui

compaio. È stata

ritrovata nel Papiro di

Rhind, redatto da uno

scriba egizio di nome

Ahmes. Secondo lui

l’area del cerchio è

uguale e quella di un

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quadrato di lato del

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diametro. Il risultato

che ne consegue è

3,16049 che si discosta di meno dell’1% dal valore reale. Per i tempi è un’approssimazione eccezionalmente accurata ed un primo approccio al problema della quadratura del cerchio, ovvero il tentativo di costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

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Marco Martinoli

Poi fece il mare fuso: dieci cubiti da una sponda all’altra cioè completamente rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e una corda di trenta cubiti lo circondava all’intorno

Questa seconda testimonianza deriva, invece, dall’Antico Testamento della Bibbia (Re 7:23) e riporta come, per gli Ebrei del VI secolo a.C., il rapporto tra il

30 = 3.

diametro del cerchio e la sua circonferenza sia 10

Per quasi due secoli geometri ed ingegneri antichi hanno sfruttato queste ridondanti approssimazioni. Fu solo nel IV secolo a.C. che i Greci, riesumando i risultati di Ahmes, si approcciano in maniera più sistematica al problema. Il primo è Anassagora di Clazomene che invano tenta di stabilire un rapporto numerico tra un cerchio ed un quadrato.

Successivamente, Antifonte e Brisone di Eraclea tentano di risolvere il problema con il Principio di Esaustione di Eudosso-Archimede. Il primo cerca di avvicinarsi all’area di un cerchio partendo da un dodecagono regolare e, raddoppiando via via i lati, di raggiungere l’ambita figura; il secondo costruisce poligoni inscritti e circoscritti ad una data circonferenza, aumentandone mano a mano i lati finché, con una soddisfacente approssimazione, non arriva a stabilire l’area del cerchio stesso.

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Marco Martinoli

Nonostante i loro sforzi, è Archimede di Siracusa che, nel III secolo a.C., ottiene il risultato più brillante e più accurato. Prima di enunciarne tesi e dimostrazione, però, è necessa