Topologia

Federico

Bucalo

V

Una tesina per il colloquio all’esame di Stato

Topologia 1

Dal 26 al 29 marzo 2007 ho avuto la possibilità di partecipare alla Bottega della matematica a Salorno, organizzata dalla Sovrintendenza Scolastica in lingua Italiana di Bolzano e dall’università di Trento in collaborazione con la mia scuola.

Insieme al prof. Domenico Luminati e il prof. Diego Gottardi, il mio corso si è occupato di Topologia, ossia lo studio delle proprietà di una figura lasciate invariate da distorsioni e deformazioni continue.

Per comprendere cosa sia la topologia, è necessario innanzitutto possedere una buona immaginazione.

La topologia, infatti, lavora con superfici a volte inesistenti nel mondo reale, e quindi non rappresentabili nello spazio tridimensionale.

Si deve pensare a queste superfici come se fossero costituite da un materiale estremamente duttile ed elastico, che si può tirare e modellare senza limiti.

La topologia è lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza “strappi”, “sovrapposizioni” o “incollature”.

Tutti gli oggetti del nostro mondo possono essere ricondotti a forme topologiche.

Due spazi sono topologicamente equivalenti (omeomorfi) se è possibile trasformare l’uno nell’altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due.

Questo vassoio può essere rappresentato con una sfera con attaccati 12 tori (ciambelle).

Anche una tazza può essere rappresentata con un toro.

Una tazza e un toro sono quindi omeomorfi.

Un essere umano può essere rappresentato come un toro con attaccati altri 2 tori.

Basta considerare il tubo digerente un unico buco e le narici altri 2 buchi.

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Storia

L’antenata della topologia è la geometria antica.

Lo scritto di Eulero del 1736 sui Sette ponti di Königsberg è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da nessun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.

Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta.

La città di Königsberg, già facente parte della Prussia Orientale ed ora chiamata Kaliningrad ed enclave della Russia, famosa per aver dato i natali al filosofo Immanuel Kant, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti.

Ci si pone il problema se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza.

Nel 1736 Eulero lavorò sul problema e dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile.