Topologia

Federico

Bucalo

V

A Tesina per il colloquio all’esame di Stato

TOPOLOGIA 1

Dal 26 al 29 marzo 2007 ho avuto la possibilità di partecipare alla Bottega della

matematica a Salorno, organizzata dalla Sovrintendenza Scolastica in lingua Italiana di

Bolzano e dall’università di Trento in collaborazione con la mia scuola. Insieme al prof.

Domenico Luminati e il prof. Diego Gottardi, il mio corso si è occupato di Topologia, ossia

lo studio delle proprietà di una figura lasciate invariate da distorsioni e deformazioni

continue.

Per comprendere cosa sia la topologia, è necessario innanzitutto possedere una buona

immaginazione. La topologia, infatti, lavora con superfici a volte inesistenti nel mondo

reale, e quindi non rappresentabili nello spazio tridimensionale. Si deve pensare a queste

superfici come se fossero costituite da un materiale estremamente duttile ed elastico, che

si può tirare e modellare senza limiti. La topologia è lo studio delle proprietà delle figure e

delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi",

"sovrapposizioni" o "incollature". Tutti gli oggetti del nostro mondo possono essere

ricondotti a forme topologiche. Due spazi sono topologicamente equivalenti (omeomorfi)

se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due.

Questo vassoio può essere rappresentato con una sfera con attaccati 12 tori (ciambelle).

Anche una tazza può essere rappresentata con un toro. Una tazza e un toro sono quindi

omeomorfi.

Un essere umano può essere rappresentato come un toro con attaccati altri 2 tori. Basta

considerare il tubo digerente un unico buco e le narici altri 2 buchi. 2

STORIA

L'antenata della topologia è la geometria antica. Lo scritto di Eulero del 1736 sui Sette

è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da nessun tipo

ponti di Königsberg

di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.

problema dei sette ponti di Königsberg

Il è un problema ispirato da una città reale e da

una situazione concreta. La città di Königsberg, già facente parte della Prussia Orientale

ed ora chiamata Kaliningrad ed enclave della Russia, famosa per aver dato i natali al

filosofo Immanuel Kant, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due

estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette

ponti. Ci si pone il problema se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che

attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. Nel 1736 Eulero

lavorò sul problema e dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile.

Non sembra dotata di fondamento storico, ma piuttosto frutto di invenzione, l'affermazione

secondo la quale intorno al 1750 i cittadini benestanti di Königsberg la domenica

passeggiassero per la loro città cercando invano di risolvere il problema.

IL PROBLEMA DELLE TRE CASE

Foglio

Siamo partiti da un semplice gioco: su un piano finito bisognava collegare 3 case a 3

alberghi, senza che le linee di congiunzione si intersecassero fra loro.

Dopo molti tentativi, abbiamo constatato che ciò era impossibile, ed era necessaria

almeno un’intersezione (un ponte o maniglia).

Cilindro

Allora abbiamo ripetuto l’esperimento sulla superficie esterna di un cilindro, rappresentato

con 2 bordi colorati. Ogni linea che usciva passando per un colore, doveva rientrare dallo

stesso. Tuttavia anche in questo caso era necessario far intersecare 2 linee. 3

Toro

Cosi abbiamo ritentato l’esperimento sulla superficie di un toro. Il toro è rappresentabile

con 4 bordi colorati, per i quali vale la stessa regola delle linee di uscita e di entrata. in

questo caso l’esperimento è riuscito, infatti siamo riusciti a collegare case e alberghi senza

ricorrere a intersezioni.

Nastro di Möbius

Successivamente abbiamo ripetuto l’esperimento sul Nastro di Möbius. Il Nastro di Möbius

si rappresenta con 2 bordi colorati, ma orientati in versi opposto. Anche in questo caso

siamo riusciti a collegare le case agli alberghi.

PIANO TOPOLOGICO

A questo punto abbiamo iniziato a studiare le diverse superfici alle quali possiamo ridurre

tutti gli oggetti reali, attraverso l’utilizzo del piano topologico. Il piano topologico è un piano

sul quale si rappresentano graficamente le superfici.

Un esempio di riduzione di superfici è il seguente. 4

Il poligono si riduce a un toro.

Superfici non orientabili

Sfera

La prima superficie che abbiamo studiato è la sfera. La sfera si può rappresentare

schematicamente con una figura immaginaria detta biagono: 5

Una caratteristica del biagono è che esso equivale al piano per tutti i punti tranne che per

uno, infatti la testa del lato si identifica con la testa dell’altro lato ma nessun punto si

a a,

identifica con la coda.

In questo disegno si può notare la sfera con sotto la sua superficie aperta. Ad ogni punto

P’ della sfera corrisponde un P’’ sulla superficie della sfera aperta, mentre il punto P non si

identifica in alcun punto.

Con il biagono otteniamo una rotazione che origina la sfera. Questa è una figura non

orientabile, e questo concetto lo si può spiegare con il teorema della sfera pelosa, il quale

dice che non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa, cioè non esiste

un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Il risultato non

dipende dalla esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e

in generale ad ogni tipo di oggetto (purché la sua superficie soddisfi certi requisiti di

continuità e regolarità) che non abbia buchi.

Ora, siccome la topologia utilizza materiali molto elastici, possiamo ridurre altre superfici a

delle sfere, come nell’esempio sotto. Queste figure possono essere tirate e modellate, fino

a diventare delle sfere.

Nastro di Möbius

Un’altra superficie non orientabile è il nastro di Möbius. Su di esso infatti non possiamo

distinguere la superficie interna da quella esterna e nemmeno la destra dalla sinistra. Se

prendiamo un guanto destro, e gli facciamo percorrere tutta la superficie del nastro, ritorna

nella posizione iniziale sottoforma di guanto sinistro. Un’altra caratteristica del nastro di

Möbius è che esso possiede un unico bordo continuo. Inoltre se proviamo a tagliare in 2

per lungo il nastro di Möbius, non otteniamo altro che un nastro di Möbius girato 2 volte.

Il nastro di Möbius si può rappresentare cosi: 6

La testa del lato si identifica con la testa dell’altro lato e lo stesso fanno le code.

a a,

Bottiglia di Klein

Un’altra superficie non orientabile è la bottiglia di Klein. La particolarità della bottiglia di

Klein è che per immaginarcela dobbiamo uscire dallo spazio tridimensionale. Nella

bottiglia di Klein c’è un’intersezione di superfici che non può esistere senza passare alla

quarta dimensione, nella quale questa intersezione è possibile. La bottiglia di Klein può

essere costruita (in senso matematico) "incollando" i margini di due nastri di Möbius. Se

una bottiglia di Klein è divisa in due lungo il suo piano di simmetria, il risultato è un nastro

di Möbius. 7

Superfici orientabili

Toro

Dopo lo studio delle superfici non orientabili, siamo passati a quelle orientabili. Cosi

abbiamo preso in considerazione il toro. Possiamo stabilire che il toro è una superficie

orientabile riprendendo l’esempio della sfera pelosa, infatti il toro peloso è perfettamente

pettinabile. Un’altra caratteristica del toro è che sulla sua superficie, al contrario della

sfera, esistono linee chiuse che non dividono il toro in 2 superfici.

Il toro si forma facendo identificare tra loro i lati e

a b.

Piano proiettivo

Ora possiamo passare allo studio del piano proiettivo. Il piano proiettivo non si può

rappresentare nello spazio tridimensionale, perchè anche in questo caso è necessario fare

intersezioni di superfici. Il piano proiettivo equivale ad un nastro di Möbius con il buco

centrale riempito. Infatti, nello spazio topologico possiamo individuare un nastro di Möbius,

e per questo non è orientabile.

Se proviamo a fare un foro nel nastro piano proiettivo, otteniamo un nastro di Möbius con

attaccato un cilindro. Tuttavia questa figura si può ancora ridurre, fino ad ottenere solo un

nastro di Möbius. Viceversa, un nastro di Möbius con attaccato un disco equivale ad un

piano proiettivo. 8

REGOLE DI CALCOLO SUI POLIGONI

Dopo lo studio di alcune superfici ridotte a poligoni, siamo riusciti a ricavare 2 regole di

calcolo sui poligoni. Per semplificare l’identificazione dei lati, utilizziamo le lettere

minuscole per i lati diretti in una direzione, mentre invece utilizziamo lettere (minuscole) -1

per i lati diretti in direzione opposta.

1) dato un poligono, due segmenti consecutivi con versi opposti si eliminano.

2) lati non consecutivi con lo stesso verso possono diventare consecutivi.

Con queste 2 regole si possono rendere consecutivi i lati del tipo a…a e far coincidere i

-1

vertici per ridurne il numero.

SOMME CONNESSE E TIPI DI SUPERFICIE

A questo punto siamo passati a formalizzare le somme tra superfici. La somma connessa

(#) è la somma tra 2 superfici. 9