Tesina per ITIS - Indirizzo Informatica progetto "Abacus"

In simboli si avrà : f(xo + h) - f(xo)

_________________ derivata sinistra

f '- (xo). = lim

h→0 - h

f(xo + h) - f(xo)

_______________ derivata destra

f '+ (xo). = lim

h→0 + h

si noti che una funzione è derivabile in xo se e solo se le due derivate,sinistra e

destra, esistono finite e uguali fra loro.

Se la funzione f(x) è definita nell’intervallo chiuso e limitato [a ; b] , f '(a), se esiste, è

una derivata destra e f '(b), se esiste è una derivata sinistra.

Una funzione y=f(x) è derivabile in un intervallo chiuso e limitato [a ; b], se essa è

derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo e se negli estremi a e b esistono e sono

finite rispettivamente la derivata destra e la derivata sinistra.

Significato geometrico della derivata

Supponiamo che f(x) sia derivabile nel punto xo,

cioè che in xo esista finita la derivata.

Se facciamo tendere h a zero, ossia se attribuiamo ad h

valori via via più piccoli, il punto Q si avvicinerà sem-

pre più a P e la posizione della retta secante PQ tende-

rà ad avvicinarsi sempre più a quella della retta t tan-

gente al grafico y=f(x) nel punto P

Il coefficente angolare della secante PQ che,come già

Detto, è il rapporto incrementale

f(xo + h) - f(x0)

________________

mPQ = h

tenderà perciò ad avvicinarsi sempre più al coefficente angolare m della tangente t,

t ,

ossia si avrà f(xo + h) - f(xo)

__________________=

lim m t

h→0 h

Ma il limite ora scritto è, nelle ipotesi fatte, la derivata f '(xo): si ha perciò f '(xo)= m t

Si ha così che, f(x) è derivabile in xo, la derivata della funzione in xo è il coefficente

angolare della retta tangente al grafico di f(x) nel suo punto di ascissa xo.

ESEMPIO:

Derivata di una funzione costante

Sia y=f(x) = c, dove c è una costante. Il rapporto incrementale relativo a un generico

valore della variabile x è zero; infatti:

Δy f(x + h) - f(x) c - c

_____ __________________ = __________

=

Δx h h

E perciò sarà zero anche il suo limite e si avrà

Δy

______ = 0

y ' = lim → y ' = 0

Δx→0 Δx

Si ha quindi

y = c ═► y ' = 0

cioè la derivata di una costante è zero.

R

Poichè , per qualsiasi valore di x , la derivata

Della funzione f(x)=c è nulla, si deduce che il

Coefficente angolare della tangente al grafico della

Funzione y=f(x)=c in ogni suo punto è zero.

Cio risulta evidente osservando, in figura 12 ,

che il coefficente angolare della retta y = c,

parallela all’asse x, è nullo e che , in questo

caso, la tangente al grafico in ogni suo punto

coincide con il grafico stesso.

Derivata della variabile indipendente

Sia y=f(x)=x . Il rapporto incrementale, in un qualsiasi punto x , è

Δy f(x + h) - f(x) x+ h –x h

_____ _________________ = ________________ = ____ = 1

=

Δx h h h

E poichè i limite di una costante è la costante

stessa si ha Δy

______ = 1

y ' = lim

Δx→0 Δx

Si conclude quindi

y= x ═► y ' = 1

cioè la derivata della variabile indipendente

è uguale a 1.

Esempio del Calcolo della Derivata di una funzione in un punto

3

Sia data una funzione y=x e se ne voglia calcolare la derivata nel punto x=2.

Si dovrà calcolare dapprima il rapporto incrementale relativamente al punto x=2 e a un

generico incremento h Δy f(2+h) – f(2)

_______= ___________________

Δx h

É 3 2 3

f(2) = 8; f(2+h) = (2+h) =8+12h+6h + h ;

si ha quindi 2 3

f(2+h) – f(2) 12h+6h +h

_________________= lim _______________

y'(2) = lim

h→0 h h→0 h

2

= lim (12+6h+h ) = 12

h→0

Punti Stazionari

Nel caso particolare in cui la derivata in xo è nulla, cioè f '(xo) = 0, la retta tangente al

grafico della funzione nel punto P (xo; f(xo)) risulta parallela all’asse x (infatti il

coefficiente angolare dell’asse x e delle rette a esso parallele è nullo). Si dà in proposito la

seguente definizione.

Si dice punto stazionario per la funzione f(x) un punto xo in cui la derivata della

funzione è nulla

x=xo punto stazionario per y = f(x) ◄═► f '(x) = 0

Si dice anche , se è f '(x) = 0 , che il punto P (xo ; f(xo)) del grafico di f(x) è un punto a

tangente orizzontale

Punti di una curva a tangente verticale

Def

Se una funzione f(x) è continua in un punto xo non è derivabile in xo èderivabile sia in un

intorno sinistro che in un intorno destro di xo, si dice che il grafico di f(x) ha , nel punto

P(xo,f(xo)), un flesso a tangente verticale

Crescente se lim f ' (x) = lim f '(x) = +∞

x→xo- x→xo+

Decrescente se lim f ' (x) = lim f '(x) = -∞

x→xo- x→xo+

ESEMPIO: 1/3

Consideriamo ora la funzione f(x) = x , che, essendo continua per qualsiasi valore reale

di x,è continua in x=0.Dimostreremo che essa non è derivabile in x=0

Calcoliamo il rapporto incrementale relativo al punto x=0:

Δy f(0+h) – f(0)

_______= ___________________ =

Δx h

1/3 1/3 1/3

= (0+h) – (0) = _____(h) ____= ___1___

2/3

h h (h)

Avremo quindi

Lim _Δy___ = lim 1___ = +∞

2/3

Δx→0 Δx h→0 (h)

Poichè il limite per h→0 del rapporto incrementale è +∞ si deduce che in x=0 la funzione

non è derivabile, pur essendo ivi continua.

Si puo dire che il grafico della funzione ha in (0,0) un punto di flesso a tangente

verticale (la tangente è l’asse y).

CUSPIDI:

Si dice che il grafico di f(x) ha nel punto P(xo, f(xo)),una cuspide rivolta

Verso l’alto se lim f '(x) =+∞ e lim f ' (x) =-∞

x→xo- x→xo+

Verso il basso se lim f '(x) =-∞ e lim f ' (x) =+∞

x→xo- x→xo+

ESEMPIO: 2/3

Si può verificare che la funzione y =x

è continua in x=0 (perchè è una funzione

composta di funzioni continue) e che il

limite sinistro del rapporto incrementale

in x=0 è -∞ mentre quello destro è +∞ :

la funzione non è pertanto derivabile in x=0.

Si può dire che il grafico della funzione

2/3

y =x ha in (0; 0) un punto di cuspide (la tangente

in esso e l’asse y) (fig.9)

Continuità delle funzioni derivabili

Se una funzione è derivabile in un intervallo I, il suo grafico è dotato, in ogni punto di I, di

retta tangente non parallela all’asse y:è quindi intuitivo che la funzioni risulti

continua.Questa considerazione è confermata dal teorema che segue.

Se una funzione y=f(x) è derivabile in un punto xo, cioè ammette derivata finita in xo,

allora essa è continua in xo.

Questo teorema, afferma che la derivabilità di una funzione in un punto implica la sua continuità in

quel punto; tale teorema non è invertibile: infatti esistono funzioni che sono continue in un punto,

ma che in esso non sono derivabili. Questo accade quando il rapporto incrementale per h→0 o non

ammette limite o ha limite infinito.

Si conclude pertanto che la continuità di una funzione è condizione necessaria, ma non

sufficiente, per la sua derivabilià. INFORMATICA

Normalizzazione del database

La normalizzazione è un procedimento volto all'eliminazione della ridondanza e del rischio di

inconsistenza dal database. Esistono vari livelli di normalizzazione (forme normali) che certificano

la qualità dello schema del database.

Questo processo si fonda su un semplice criterio: se una relazione presenta più concetti tra loro

indipendenti, la si decompone in relazioni più piccole, una per ogni concetto. Questo tipo di

processo non è purtroppo sempre applicabile in tutte le tabelle, dato che in taluni casi potrebbe

comportare una perdita d'informazioni.

Ridondanza ed anomalie

Ridondanze: Caratteristica di ciò che è ridondante. Aggiunta di parole non necessarie alla

comprensione di una frase.

Anomalie: si verificano quando ci sono irregolarità di dati

Tipologie di forma normale

Una forma normale è una proprietà di una Base di dati relazionale che ne garantisce la “qualità”.

Cosa deve garantire una decomposizione di una relazione

Una decomposizione dovrebbe sempre soddisfare due proprietà:

la decomposizione senza perdita, che garantisce la ricostruzione delle informazioni

 originarie

la conservazione delle dipendenze, che garantisce il mantenimento dei vincoli di integrità

 originari.

Per "decomposizione senza perdita" si intende l'atto della manipolazione di una relazione R volta ad

ottenere (eventualmente) due o più relazioni (ad esempio R1 e R2) che oltre a conservare le

dipendenze funzionali verificano anche la seguente condizione: R = R1joinR2

Teorema: Sia data una relazione R(X), con X insieme degli attributi di R, e due sottoinsiemi A, B

di X tali che A unito B coincide con X; siano inoltre R1 e R2 due relazioni rispettivamente su A e su

B. Allora è condizione sufficiente affinché la decomposizione su A e B sia senza perdita se, detto C

l'insieme intersezione tra A e B, è superchiave per R1(A) o R2(B).

Prima Forma Normale

Definizione: Si dice che una base dati è in 1NF (prima forma normale) se vale la seguente

relazione per ogni relazione contenuta nella base dati: una relazione è in 1NF se e solo se a) non

presenta gruppi di attributi che si ripetono (ossia ciascun attributo è definito su un dominio con

valori atomici) e b) esiste una chiave primaria (ossia esiste un insieme di attributi, che identifica in

modo univoco ogni tupla della relazione)

Violazioni della 1NF (atomicità dei valori)

Il seguente esempio viola la 1NF, perché pur esistendo una chiave primaria ({Matricola,Materia}),

l'attributo Voto non è definito su un dominio con valori atomici: (definito in maniera non corretta)

Voti

Matricola Studente Materia Voto

0000-000-01 Pietro Basi di Dati 1 sem, B ; 2 sem, F

0000-000-02 Pietro Basi di Dati 1 sem, A ; 2 sem, A

0000-000-03 Sara Basi di Dati 1 sem, B ; 2 sem, A

È necessario ristrutturare la relazione come segue:

Voti

Matricola Studente Materia Semestre Voto

0000-000-01 Pietro Basi di Dati 1 B

0000-000-01 Pietro Basi di Dati 2 F

0000-000-02 Pietro Basi di Dati 1 A

0000-000-02 Pietro Basi di Dati 2 A

0000-000-03 Sara Basi di Dati 1 B

0000-000-03 Sara Basi di Dati 2 A

Violazioni della 1NF (chiave primaria)

Il seguente esempio viola la 1NF, perché pur non presentando gruppi di attributi che si ripetono,

manca una chiave primaria, rendendo impossibile distinguere studentesse e studenti con lo stesso

nome: Voti

Studente Materia Semestre Voto

Pietro Basi di Dati 1 A

Pietro Basi di Dati 2 A

Pietro Basi di Dati 1 A

Pietro Basi di Dati 2 A

Sara Basi di Dati 1 B

Sara Basi di Dati 2 A

È necessario ristrutturare la relazione, per esempio, come segue:

Voti

Matricola Studente Materia Semestre Voto

nnnn-nnn-nn Pietro Basi di Dati 1 A

... Pietro Basi di Dati 2 A

... Pietro Basi di Dati 1 A

... Pietro Basi di Dati 2 A

... Sara Basi di Dati 1 B

... Sara Basi di Dati 2 A

Seconda Forma Normale

Definizione: Una base dati è invece in 2NF (seconda forma normale) quando è in 1NF e tutti i suoi

attributi non-chiave dipendono dall’intera chiave,cioè non possiedono attributi che dipendono

soltanto da una parte della chiave. La seconda forma normale elimina la dipendenza parziale degli

attributi dalla chiave e riguarda il caso di relazioni con chiavi composte, cioè formate da più

attributi..

Come esempio supponiamo di avere una tabella con gli esami sostenuti dagli studenti universitari. I

campi di interesse potrebbero quindi essere i seguenti:

"Codice corso di laurea"

 "Codice esame"

 "Matricola studente"

 "Voto conseguito"

 "Data superamento"



La tabella avrà quindi la seguente intestazione

id_corso_laurea id_esame id_studente voto data

La superchiave è rappresentata dalla tripla evidenziata, ossia da:

"Codice corso di laurea"

 "Codice esame"

 "Matricola studente"



Essa infatti risulta essere l'insieme di chiavi minimale per poter identificare in modo univoco le

tuple (i record) della tabella.

I campi "Voto conseguito" e "Data superamento", invece, sono campi non chiave, e fanno

riferimento all'intera superchiave.

Difatti, se dipendessero solo da:

"Codice corso di laurea" si perderebbero le informazioni relative allo studente e all'esame

 superato

"Codice esame" si perderebbero le informazioni relative allo studente ed al corso di laurea a

 cui l'esame appartiene

"Matricola studente" si perderebbero le informazioni relative all'esame superato e al corso di

 laurea a cui lo studente è iscritto.

"Codice corso di laurea", "Codice esame" si perderebbero le informazioni relative allo

 studente che ha superato l'esame

"Codice corso di laurea", "Matricola studente" si perderebbero le informazioni relative