Sezione Aurea: Armonia o icona omnisensoriale dell'universo?

“L’essenza del genio, di qualunque genere, è la precisione”

Con queste parole un grande poeta, l’irlandese William Butler Yeats

(1865-1939) esamina nella poesia il rapporto tra numeri e passioni e

afferma che i giovani con i loro intensi sentimenti intuiscono in

queste forme la più potente espressione delle loro aspirazioni.

A prima vista, niente sembra più lontano dalla matematica della

poesia eppure è, probabilmente, l’ambito in cui in numeri di

Fibonacci hanno fatto la loro prima apparizione.

Mappa concettuale Ci sono diversi modi, in teoria, in cui i numeri potrebbero

Copertina influenzare la poesia. Si possono immaginare dei versi che si

ispirano a e alla successione di Fibonacci, o a forme e fenomeni

φ

Torna indietro strettamente legati a questi enti matematici.

Pagina su Un’altra possibilità è che non agisca sul piano del contenuto ma su

quello della forma: cioè della determinazione dei ritmi e degli

Pagina giù schemi dell’opera in versi.

Molte strutture poetiche si basano su un sistema di corrispondenze a

bibliografia cui non è estraneo il simbolismo numerico.

Fine La Divina Commedia, il grandioso edificio in versi che fa di

Dante Alighieri il principale artefice della lingua italiana, è

animata da una particolare attenzione per l’uso del numero.

Nella tradizione ebraico-cristiana alcuni numeri hanno un

tre‚

significato mistico e magico; per esempio il esprime la

Trinità, mentre l'uno‚ simboleggia l'unità di Dio e il valore

dieci

del risiede nel numero dei comandamenti affidati a

Mosè sul Sinai. Questi numeri ritornano insistentemente nella

Divina che si divide in tre Cantiche, ciascuna

Commedia,

composta di trentatré Canti; trentatré corrisponde all'età di

Mappa concettuale Cristo quando morì e risorse. Un Canto funge da prologo; è il

primo dell'Inferno, che permette di contare, in tutto il poema,

Copertina cento Canti: il numero che rappresenta dieci moltiplicato per

Torna indietro se stesso. I Canti si compongono di terzine, mentre nei tre

regni vi sono nove settori (cerchi, zone purgatoriali, cieli),

Pagina su laddove il nove corrisponde al tre moltiplicato per se stesso.

L'attenzione di Dante per le corrispondenze numeriche mostra

Pagina giù la sua conoscenza della filosofia antica (soprattutto delle

elaborazioni di Plotino e Pitagora) della Bibbia, dei filosofi

bibliografia ebraici del Medioevo e, forse, anche della il libro

Cabala,

ebraico della scienza numerologica, magari in compendio.

Fine Il determinismo, però, non si ferma a un semplice fatto di

simbologia numerica, ma investe importanti contenuti e momenti

strutturali del poema.

Per esempio:

Canto VI

- il di tutte e tre le è dedicato al problema

Cantiche

politico;

- tutti i cerchi infernali, le cornici purgatoriali, i cieli paradisiaci

hanno una sorta di guardiano che sarà un demone, un angelo,

un'intelligenza angelica;

- in tutti e tre i regni c'è una progressione di pena o di intensità di

beatitudine che corrisponde a un'interna gerarchia. Nell'Inferno e

contrappasso‚

nel le pene sono attribuite in base al una

Purgatorio

regola secondo cui la pena riflette la colpa, oppure

per analogia‚

e non è mai attribuita né immaginata dal poeta senza

per contrasto‚

un nesso logico.

Mappa concettuale La insomma, riflette la visione del reale propria

Commedia,

Copertina dell'uomo medievale, in cui nulla è lasciato al caso, ma tutto si

inserisce in una collocazione logica, come preciso effetto di una

Torna indietro causa.

Un'ultima osservazione sulla del poema, che presenta una

lingua

Pagina su straordinaria duttilità e adeguatezza; Dante sa passare dal comico al

grottesco, dal lirico al drammatico, coniando neologismi arditi,

Pagina giù soprattutto nel e latinismi assai eleganti. Il volgare

Paradiso,

appare decisamente adatto anche ad affrontare ardue questioni

bibliografia teologiche e ad applicare figure retoriche, quali le celebri

Fine similitudini, di cui Dante è davvero un maestro.

LA GENEALOGIA DEL CONCETTO DI COMMENSURABILITÀ,

PARTORISCE LA DEFINIZIONE DI SEZIONE AUREA.

«Ma, si chiesero i pitagorici, se l’armonia musicale si può

esprimere con i numeri, perchè lo stesso non dovrebbe accadere per

l’intero cosmo? E conclusero che tutti gli elementi dell’universo

dovessero le loro proprietà alla natura dei numeri e dunque

all’armonia intesa come ordine».

Pitagora nato intorno al 570 a. C. nell’isola di Samo, pare sia

vissuto per un certo tempo in Egitto, dove probabilmente apprese le

Mappa concettuale nozioni matematiche, filosofiche e religiose dei sacerdoti egizi.

Dopo che l’ Egitto fu invaso dalle armate persiane, è possibile che

Copertina Pitagora sia stato condotto a Babilonia dove avrebbe incontrato i

migliori matematici della Mesopotamia. In Italia, cominciò a

Torna indietro insegnare filosofia e matematica circondato da una schiera di

Pagina su entusiasti seguaci.

Molti particolari della vita di Pitagora e dei suoi effettivi contributi

Pagina giù restano avvolti nell’incertezza, perfino delle circostanze di morte ne

sussistono varie versioni.

bibliografia

Fine Benché sia quasi impossibile attribuire con certezza

qualsivoglia conquista matematica sia Pitagora sia i suoi

discepoli, non v’è dubbio che siano stati loro a mescolare

teoria dei numeri, filosofia della vita e misticismo in una

misura forse senza uguali.

A causa dei semplici rapporti armoniosi scoperti nella musica,

i pitagorici svilupparono un particolare interesse per i numeri,

in particolare per la differenza tra i numeri pari e dispari. I

numeri dispari furono associati da loro agli attributi della

virilità e, non senza pregiudizio maschilista, alla luminosità e

alla bontà mentre, ovviamente, i numeri pari erano associati

agli attributi della femminilità, dell’oscurità e del male.

Mappa concettuale A parte i ruoli che assegnarono ai numeri pari e dispari in

Copertina generale, i pitagorici attribuirono speciali proprietà ad alcuni

numeri particolari: il 2 era il primo numero femminile, e anche

Torna indietro quello dell’opinione e della divisione; il 3 quello della virilità.

Pagina su I pitagorici in questa rassegna di numeri considerarono il 5

Pagina giù all’origine del rapporto aureo. Il 5 era considerato l’unione del

primo numero femminile e di quello maschile, e come tale, il

bibliografia numero dell’amore e del matrimonio.

Fine Sembra che i pitagorici avessero adottato il pentagramma come

simbolo della loro confraternita, e che questo simbolo è

strettamente legato al pentagono regolare, la figura piana con

cinque lati e cinque angoli uguali. Collegando tutti i vertici del

pentagono tramite diagonali si ottiene un pentagramma. Inoltre,

le diagonali formano vicino al centro un pentagono regolare più

piccolo. Ovviamente, il procedimento può essere ripetuto in

questo pentagono, producendo un pentagramma e un terzo

pentagono, in una progressione che può continuare all’infinito.

Le proprietà di questa serie di figure dimostrano con

considerazione di geometria elementare che ogni segmento è

Mappa concettuale minore del precedente di un fattore esattamente uguale al

rapporto aureo, La costruzione di una serie di pentagoni e

φ.

Copertina pentagrammi inseriti gli uni dentro gli altri proseguendo

Torna indietro indefinitamente può essere usato per dimostrare rigorosamente

che la diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili,

Pagina su ovvero che il rapporto dello loro lunghezze non può essere

Pagina giù espresso come rapporto di numeri interi. Questa prova

bibliografia stabilisce quindi che è un numero irrazionale e che le scoperte

dell’incommensurabilità e del rapporto aureo siano da ascrivere

Fine ai pitagorici.

Dante Alighieri nasce a Firenze nel 1265 in una

famiglia della piccola nobiltà fiorentina. Ancora

giovanissimo conosce Beatrice (figura femminile

centrale nell’opera del nostro poeta), a cui Dante è

legato da un amore profondo e sublimato dalla

spiritualità stilnovistica. Beatrice muore nel 1290, e

questa data segna per Dante un momento di crisi

che infine portano Dante (a partire dal 1295) ad

entrare attivamente e coscientemente nella vita

Mappa concettuale politica della sua città.

Copertina La sua carriera politica raggiunge l’apice nel 1300 quando, guelfo di

parte bianca, viene eletto priore (la carica più importante del comune

Torna indietro fiorentino); ma quando il papa sostiene il potere dei guelfi neri il

Pagina su poeta sarà condannato ingiustamente all’esilio.

Per Dante l’esilio rappresenta un momento di sofferenza e di dolore

Pagina giù e al tempo stesso uno stimolo per la sua produzione letteraria e

bibliografia poetica. La denuncia e il tentativo di indirizzare di nuovo l’uomo

verso la retta via sono per lui l’ispirazione di una nuova poesia che

Fine prende forma nella Divina Commedia. Muore a Ravenna nel 1321.

Così parlò Keplero nel 1619, nell’Armonie del mondo,

riferendosi a quello che è certamente uno dei più famosi numeri

della matematica di ogni tempo:

“ La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di

Pitagora,e l’altro la divisione del segmento in rapporto estremo

e medio. Il primo lo possiamo paragonare a un lingotto d’oro, e

il secondo lo possiamo chiamare un gioiello prezioso”

Mappa concettuale

Copertina La storia di questo numero si avvolge di una finta magia che

conduce a guardare all’esterno della matematica per trovare

Torna indietro motivi di interesse che sono, invece, squisitamente interni. Sulla

vera magia di questo numero si erano già occupati Euclide, nel

Pagina su III secolo a.C. chiamandolo «rapporto estremo e medio», nel

1509 da Luca Pacioli «divina proporzione», nel 1835 da Martin

Pagina giù Ohm «sezione aurea», e nel 1909 da Mark Barr «Φ» o «Phi».

bibliografia

Fine Il primo incontro con la Divina Proporzione in genere avviene in

geometria. La proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide

recita così:

" Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l'

intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha

per lato la parte maggiore", ovvero come trovare la Sezione Aurea di

un segmento, cioè la parte media proporzionale tra l' intero segmento e

la parte rimanente. Ripartizione di un segmento in due

Mappa concettuale parti, che stanno tra loro come la

maggiore (a) sta al segmento intero

Copertina (1); utilizzando i simboli si ha:

Torna indietro 1:a = a:b.

Pagina su

Pagina giù

bibliografia

Fine Questa sezione definita da Euclide a fini esclusivamente geometrici, ebbe

conseguenze in rami dello scibile che vanno dallo studio della disposizione

degli ammassi di galassie in astronomia, e dalla matematica pura alla critica

d’arte.

Il valore esatto del rapporto aureo ( a:b ) corrisponde al numero

1,6180339887.., con infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive; un

numero « indeterminabile » che ha incuriosito gli uomini fin dall’antichità.

La scoperta che esistono numeri che, come il rapporto aureo, si prolungano

indefinitamente senza alcuna ripetizione o schema causò una vera crisi

filosofica per i seguaci del leggendario Pitagora.

Si scoprirono, così, quei numeri che non sono né interi né frazionari: i

numeri irrazionali.

Naturalmente l’irrazionalità della sezione aurea si può facilmente tradurre in

Mappa concettuale termini aritmetici, chiamando la sezione aurea da determinare, e

x

Copertina considerando la parte rimanente del segmento come l’unità di misura.

L’intero segmento viene allora ad avere lunghezza x+1/x = x.

Torna indietro L’equazione ha due soluzioni reali,una positiva e l’altra negativa, che

Pagina su valgono rispettivamente e .

1+ 5 1− 5

−

− 2

2

Pagina giù Esse vengono indicate con e , e la loro somma e il loro prodotto

Φ Φ’

bibliografia valgono rispettivamente 1 e -1.

Fine La sequenza di Fibonacci è senz'altro la più conosciuta

successione ricorsiva, ponendo F(0) = 0 e F(1) = 1 è data dalla

formula F(n) = F(n-1) + F(n-2) .

La successione prende il nome da Leonardo da Pisa, detto

Fibonacci, che nel 1201, la introdusse in Europa nel Libro

Mappa concettuale , come soluzione di problemi che spaziavano dalla

dell’abaco