Matematica dolce - Volume 1 - Edizione 2018

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Testo di matematica in cinque volumi per le scuole di secondo grado a cura di Daniele Zambelli. Matematica dolce è un progetto collaborativo open-source. Trovi tutti i dettagli dell'iniziativa e le istruzioni per partecipare all'indirizzo https://bitbucket.org/zambu/matematicadolce.

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Indice del primo volume
Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefa

…continua

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Matematica C

Matematica dolce 1 - licei

Testo per il primo biennio

della Scuola Secondaria di grado

II

licei

Matematicamente.it

Edizione - 2017

Matematica – Matematica dolce 1 - licei

C

Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione – Condividi allo stesso modo 3.0 Italia (CC BY-SA 3.0) il cui testo integrale è disponibile al sito http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it/legalcode.

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Per maggiori informazioni su questo particolare regime di diritto d’autore si legga il materiale informativo pubblicato su http://www.copyleft-italia.it.

C P Daniele Zambelli.

Coordinatori del progetto

A Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.

Autori

H C Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.

Hanno collaborato

P I L TEX Dimitrios Vrettos.

A

Progettazione e implementazione in

C Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Daniele Zambelli.

Collaboratori

C, Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica - Algebra 1 o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi

Collaborazione, commenti e suggerimenti

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C

daniele.zambelli@istruzione.it

3.0.1

Versione del documento: del 27 giugno 2017.

Stampa 2017: giugno 2017.

ISBN 9788899988005

D ’

Dati tecnici per l’adozione del libro a scuola

Titolo: Matematica, Matematica dolce 1 - licei - 2017.

C

Codice ISBN: 9788899988005

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2017.

Prezzo: 0,00.

Formato: ebook ( ).

PDF Indice

Prefazione v

Prefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Prefazione all’edizione 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Prefazione all’edizione 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

I Aritmetica e Algebra 1

1 Numeri naturali 3

1.1 L’origine dei numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 I numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Cosa sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Rappresentazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Operazioni con i numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 Proprietà delle operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

N

1.5.2 Addizione in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

N

1.5.3 Sottrazione in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

N

1.5.4 Moltiplicazione in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

N

1.5.5 Divisione in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.6 Proprietà distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 Proprietà delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Espressioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1 Soluzione con grafo ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.2 Metodo sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Espressioni con un buco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.1 Soluzione con grafo ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.2 Soluzione sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Divisibilità e numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9.1 Divisori, numeri primi, numeri composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Scomposizione in fattori primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . 26

1.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.12.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

iv Indice

2 Numeri interi relativi 37

2.1 I numeri che precedono lo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 I numeri relativi e la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Confronto di numeri relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Le operazioni con i numeri relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.3 Somma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.5 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4.6 Potenza di un numero relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi . . . . . . 43

2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Numeri razionali 53

3.1 Premessa storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Dalle frazioni ai numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 La scrittura dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.1 Numeri periodici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5 I numeri razionali e la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Confronto tra numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 Le operazioni con i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.2 Sottrazione di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7.4 Operazione inversa e aritmetica dell’orologio . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7.5 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.8 Potenza di una frazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8.1 Potenza con esponente uguale a zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8.2 Potenza con esponente un numero intero negativo . . . . . . . . . . . . . 70

3.9 Notazione scientifica e ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.9.1 Come trasformare un numero in notazione scientifica . . . . . . . . . . . 71

3.9.2 Ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10 Problemi con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10.1 Problemi diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10.2 Problemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.11 Le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.11.1 Problemi con le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.11.2 Problemi con gli sconti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.12 Proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.12.1 Calcolo di un medio o un estremo incognito . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.13 Espressioni con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.14.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Indice v

3.14.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Calcolo letterale 105

4.1 Espressioni letterali e valori numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.1 Lettere per esprimere formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.2 Lettere per descrivere schemi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.3 Lettere per esprimere proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1.4 Valore numerico di un’espressione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1.5 Condizione di esistenza di un’espressione letterale . . . . . . . . . . . . 107

4.2 I monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.2 Valore di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.3 Moltiplicazione di monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.4 Potenza di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.5 Divisione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2.6 Addizione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.7 Espressioni con i monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi . . 116

4.3 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.1 Definizioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3.2 Somma algebrica di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.3 Prodotto di un polinomio per un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.5 Prodotto di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4 Prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4.1 Quadrato di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.4.2 Quadrato di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.4.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza . . . . . . . 124

4.4.4 Cubo di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.5 Potenza n-esima di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

II Geometria 149

5 Nozioni fondamentali 151

5.1 Introduzione alla geometria razionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1.1 Breve nota storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1.2 Lo spazio fisico e la geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.2 Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni . . . . . . . . . . . . 152

5.2.1 I teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.2.2 Postulati e assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.3.1 Semirette e segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.3.2 Semipiani e angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

vi Indice

5.4 Confronto e operazioni tra segmenti e angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.4.1 Premessa intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.4.2 La congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.4.3 Costruzioni riga e compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4.4 Confronto di segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.4.5 Confronto di angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.4.6 Operazioni con i segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.4.7 Operazioni con gli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.4.8 Angoli particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.4.9 Perpendicolari e altre definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.5 Poligoni e poligonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.5.1 Poligono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6 Congruenza nei triangoli 199

6.1 Definizioni relative ai triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2 Criteri di congruenza dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.3 Teoremi del triangolo isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.4.1 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7 Il piano cartesiano 211

7.1 Un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.2 Asse cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.3 Piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.4 Problemi nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.4.1 Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.4.2 Lunghezza di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.4.3 Area sottesa a un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.4.4 Area di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

III Relazioni e funzioni 223

8 Insiemi 225

8.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.1.1 Elementi primitivi della teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.1.2 Insieme vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.1.3 Cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2 Rappresentazione degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2.1 Rappresentazione tabulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.2.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn) . . . . . . . . . . . . . . 229

Indice vii

8.3 Operazioni con gli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.3.1 Sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.3.2 Insieme delle parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.3.3 Insieme unione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.3.4 Insieme intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.3.5 Proprietà distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.6 Insieme differenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.7 Insieme complementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.3.8 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.3.9 Prodotto cartesiano fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.4 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema . . . . . . . . . . . 239

8.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

9 Identità, equazioni 257

9.1 Identità ed equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

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