L'elettrocardiogramma: tra medicina e matematica

Maria Paola Sarobba V A

A.S. 2008/2009

Liceo Scientifico Antonio Segni

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Sommario

• Interazioni fra le scienze della vita e la Matematica
• Un po’ di storia
• Modellizzazione
• Analisi dei dati
• Il sistema cardiocircolatorio
• Sangue
• Cuore
• Vasi sanguigni
• Circolazione sanguigna: grande e piccola circolazione
• Ciclo cardiaco
• Frequenza cardiaca
• L’elettrocardiogramma
• Origine dell’attività elettrica
• Refrattarietà assoluta e relativa
• Trasmissione dell’impulso elettrico (conducibilità)
• La membrana: circuito elettrico equivalente
• Il tracciato dell’E.C.G.
• Fondamenti fisici dell’elettrocardiografia
• Linea di corrente
• Volume conduttore
• Linee isopotenziale
• Dipolo elettrico equivalente in un volume conduttore
• Derivazioni bipolari
• Derivazioni unipolari

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Interazioni fra le scienze della vita e la matematica

Nelle scienze della vita, ossia le scienze ambientali, biologiche, biochimiche, mediche, la matematica è tradizionalmente considerata un valido strumento per quantificare e razionalizzare nozioni e ipotesi formulate sulla base di osservazioni sperimentali.

Da alcuni anni, comunque, anche nello studio del vivente, come peraltro da sempre nel campo della fisica e dell’ingegneria, si assiste ad un utilizzo di tipo nuovo dello strumento matematico: i modelli.

Attraverso la costruzione di modelli, la matematica, pur conservando le sue funzioni tradizionali, va assumendo sempre più anche le caratteristiche di uno strumento investigativo.

In maniera del tutto schematica, il fenomeno reale che è oggetto di indagine viene rappresentato da quantità tipiche della matematica: variabili, funzioni, equazioni, che vengono relazionate tra di loro sulla base delle nozioni e ipotesi biologiche, chimiche, note per tale fenomeno. In questa maniera la realtà diventa un modello matematico.

Un po’ di storia

Presso gli antichi Babilonesi la Matematica e la Medicina sono fortemente legate.

Per capire il futuro del proprio paziente, il medico si rivolge alle stelle, infatti le diagnosi e le terapie sono vincolate al moto degli astri.

Nell’antica Grecia, nel V secolo a.C., con Ippocrate, nasce e si sviluppa la medicina occidentale. Appare sin dall’inizio che la “Medicina non è matematica, né filosofia”: essa trova la sua nobiltà di scienza nel suo rapportarsi concreto con l’uomo.

È una scienza che ha un rapporto difficile con i numeri, ma che si basa sugli stessi processi logico-deduttivi che regolano tutte le altre scienze.

Nel XVI secolo, Gerolamo Cardano (1501-1576), personalità dotata di grandissimo talento, ha vissuto portando avanti la pratica medica e quella matematica contemporaneamente!

La prima utilizzazione diffusa di metodi quantitativi nell’analisi dei fenomeni biologici ha luogo nel Seicento con la compilazione delle tavole di mortalità.

L’interesse per queste tavole era stato stimolato dalle problematiche di carattere assicurativo che avevano conosciuto un grande sviluppo nel Seicento.

I dati quantitativi, che si fecero sempre più precisi, stimolarono la domanda se fosse possibile determinare delle leggi scientifiche, espresse in termini matematici, che descrivessero l’andamento della mortalità delle popolazioni umane. Questo ha portato a ciò che costituì il primo sviluppo di quel che oggi chiamiamo la “dinamica di una popolazione”, vale a dire lo studio delle variazioni quantitative di una popolazione nel tempo.

Nel corso del Settecento, l’interesse per l’uso della matematica nello studio dei fenomeni biologici viene stimolato da considerazioni di carattere concettuale, e soprattutto dal diffondersi del pensiero illuminista, il quale vede nella fisica matematica newtoniana un modello di pensiero razionale universale che può e deve essere applicato a ogni ramo della conoscenza.

È nel corso del Settecento, nell’ambito del contesto culturale e scientifico cui abbiamo accennato, che prende corpo il primo tentativo di trattazione sistematica di un problema biologico con strumenti matematici: come combattere il vaiolo, la malattia più devastante del secolo.

Nel 1760, il celebre matematico Bernoulli affrontò la questione in una memoria (Bernoulli 1766) che può essere considerata come una delle prime forme di matematizzazione di un problema di dinamica delle popolazioni e, al contempo, di epidemiologia. In questa memoria, egli applicava il calcolo delle probabilità alle tavole di mortalità disponibili e calcolava il numero di individui che sarebbero dovuti morire per infezione da vaiolo e l’aspettativa di vita derivante dall’inoculazione del vaccino per le varie fasce d’età.

L’Ottocento rappresenta un secolo di stasi pressoché totale dei tentativi di matematizzare i fenomeni biologici.

Alla fine dell’Ottocento si rinnovò interesse per la matematica, grazie al contributo di Ronald Ross, premio Nobel per la medicina per le sue ricerche sulla malaria, che formulò un modello matematico sulle dinamiche di diffusione della malattia.

Il ventennio 1920-1940 è stato definito “l’età d’oro della biologia teorica” (Scudo 1978). In questo periodo si verifica una vera e propria esplosione delle ricerche in biologia, matematica, le quali si diramano in quattro direzioni principali:

• La dinamica delle popolazioni
• La diffusione delle epidemie
• La genetica delle popolazioni

e una vasta pleide di modelli che mirano ad analizzare gli aspetti più disparati della fisiologia e della patologia del corpo umano.

Fra essi si distingue il modello matematico del battito cardiaco dovuto all’ingegnere olandese Balthasar Van der Pol, in collaborazione con J. Van der Mark (Van der Pol 1928), per l’approccio matematico originale che diede un contributo fondamentale allo sviluppo dell’analisi matematica non lineare e della moderna teoria dei sistemi dinamici.

Nel 1926, Van der Pol aveva osservato che i circuiti elettrici utilizzati nella costruzione delle radio, in particolare, i circuiti contenenti triodi, ma anche quelli contenenti tubi a neon, oscillavano in una forma che non poteva essere ricondotta ai classici oscillatori (smorzato e forzato).

Difatti, appariva evidente la presenza di una sorgente di energia di segno positivo al di sotto di un dato valore soglia e negativa al di sopra di questo valore.

Per descrivere questi oscillatori egli introdusse l’“equazione di Van der Pol”:

̈ 2

( 1) ( 0)

+ − + = 0 >

(dove x è l’intensità di corrente) che rappresenta un sistema le cui oscillazioni tendono tutte a un’unica oscillazione stabile (ciclo limite), per questa ragione, detto “auto-oscillante”.

Le analogie fra questo fenomeno e il battito cardiaco suggerirono a Van der Pol di rappresentare l’andamento del potenziale elettrico generato dal battito cardiaco come un fenomeno di auto-oscillazione e di costruire un modello fisico per verificare questa ipotesi.

Il modello di Van der Pol mostrava un elettrocardiogramma del cuore artificiale assai simile a quello del cuore umano e permise di rappresentare molti disturbi di conduzione del battito, come extrasistole e i blocchi atrioventricolare.

Il modello di Van der Pol, oltre ad avere un’importanza storica dal punto di vista matematico, in quanto rappresentava il primo caso di oscillatore non lineare assieme a quello di Volterra-Lotka, fu il prototipo di una lunga serie di modelli del battito cardiaco che hanno condotto ad una classificazione completa di tutti i disturbi di conduzione e quindi alla possibilità di diagnosi automatica dei medesimi.

Gli argomenti sopracitati sono da considerarsi esempi fondamentali di quelli che sono due fondamentali punti di confronto tra la Medicina e la Matematica:

• Modellizzazione
• Analisi dei dati

Modellizzazione

La Modellizzazione è quel procedimento, di uso comune nella fisica e nell’ingegneria, che si applica per cercare di capire certi aspetti, per così dire “formali”, di un fenomeno.

Si parte da un fenomeno biologico (la propagazione di un virus nella popolazione, il flusso nel sangue, la crescita di cellule cancerogene) e si cerca di matematizzare il problema.

In sostanza si individuano le variabili, si formalizzano, e si cerca di individuare le equazioni che descrivono il loro comportamento e le loro interazioni.

Infine si confrontano i risultati ottenuti dal modello con i dati dell’esperienza.

In realtà è il metodo Galileiano, con il quale è sancita la nascita della scienza moderna, che possiamo sintetizzare in questo modo:

• Osservazione dei fenomeni
• Misurazione matematica dei dati
• Ipotesi
• Verifica
• Legge

Il metodo analitico consiste nell’analizzare il fenomeno spogliandolo di tutti gli elementi in eccesso come quelli qualitativi, considerando invece quelli quantitativi per poi inquadrarlo in una determinata legge; metodo sintetico che consiste nel verificare tale ipotesi per poi essere formulata in legge.

Alcuni esempi di particolare interesse e grande attualità sono i seguenti:

• Il cuore e il sistema cardiocircolatorio (esistono modelli ormai comunemente accettati capaci di descrivere il funzionamento del cuore e modelli relativi al flusso sanguigno, che però per sua natura è molto viscoso e non può essere paragonato a nessun altro liquido, e complica molto le equazioni.)
• Lo sviluppo di alcuni tipi di tumore (si cerca di capire come un tumore si evolve, ed in particolare come le cellule sane sono influenzate dalle cellule cancerose loro adiacenti)
• Analisi epidemiologica e immunologica (si studia lo sviluppo di una popolazione e l’efficacia di un programma di vaccinazione)
• Farmacocinetica (si cerca di capire con adeguata tempestività se una terapia farmacologica sta avendo un effetto positivo su un paziente)
• Diagnostica per immagini (si cercano metodi per ottimizzare la rappresentazione per immagini dei dati ottenuti mediante la TAC al fine di evidenziare al meglio eventuali patologie)

Analisi dei dati

Nella vita quotidiana e soprattutto nella pratica medica siamo sommersi da una grande quantità di numeri.

Una delle principali responsabilità di un medico consiste nel capire il significato di un dato numerico, individuarne l’eventuale segnale di gravità e i medici capaci si rivelano essere quelli in grado di relazionare tali valori numerici con il loro paziente.

Un altro aspetto è quello di mettere ordine tra questi numeri.

In questo contesto fondamentali sono le capacità di analisi statistica dei dati e la capacità di individuare correlazioni ed eventuali rapporti causa-effetto tra un valore numerico ed un altro.

Un ultimo aspetto consiste nell’abilità di analizzare l’evoluzione temporale di un determinato valore numerico.

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Sistema cardiocircolatorio

Il sistema cardiocircolatorio è un sistema di trasporto, le funzioni sono:

• Trasporto di ossigeno dai polmoni ai tessuti e di anidride carbonica dai tessuti ai polmoni
• Il trasporto di rifiuti e prodotti tossici al fegato per la disintossicazione e ai reni per l’escrezione
• La distribuzione di ormoni dagli organi che li secernono ai tessuti sui quali agiscono
• La regolazione della temperatura corporea
• Il controllo delle perdite di sangue per mezzo della coagulazione
• La difesa contro batteri e virus ad opera di anticorpi e globuli bianchi presenti nel flusso circolatorio

Le sue componenti principali sono:

• Il sangue, tessuto che circola all’interno dei vasi sanguigni
• Il cuore, organo che svolge la funzione di pompaggio del sangue all’interno dei vasi sanguigni verso le cellule di tutto il corpo

Sangue

È un tessuto fluido che serve per il trasporto di sostanze nutritive, gas, ormoni e prodotti di rifiuto.

Un uomo adulto ne contiene 5 6 litri, ossia esso rappresenta l’8% del peso corporeo totale.

Le sue componenti principali sono:

• Il plasma che ne costituisce il 55%. È una parte liquida costituita dal 90% di acqua nella quale sono disciolte numerose sostanze tra cui proteine (albumine importanti per le funzioni osmotiche; le globuline con funzione di trasporto dei grassi e fondamentali nei processi immunitari; il fibrinogeno, che collabora assieme ai 12 fattori nella coagulazione, e deve essere attivato in fibrina da enzimi tessutali che agiscono sulla protrombina attivandola in trombina, la quale agisce sul fibrinogeno), sali minerali (cloro, magnesio, calcio, ecc.), gas (anidride carbonica e ossigeno), vitamine e sostanze di rifiuto (urea).
• I globuli rossi o eritrociti, cellule sprovviste di nucleo prodotte dal midollo osseo rosso, adibite al trasporto di ossigeno che si fissa all’emoglobina (molecola proteica contenente ferro).

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• I globuli bianchi o leucociti, cellule provviste di nucleo prodotte dal midollo osseo, con funzione difensiva.
• Le piastrine, frammenti di megacariociti (grosse cellule presenti nel midollo osseo), fondamentali nel processo di coagulazione del sangue.

Cuore

È un muscolo cavo di forma triangolare con l’apice rivolto verso il basso, della grandezza di un pugno, situato nel mediastino tra i polmoni e il diaframma.

È rivestito con tre membrane: miocardio, ricoperto dal pericardio (parietale e viscerale) e endocardio che avvolge le cavità interne.

Al suo interno è costituito da quattro cavità: atrio sinistro e atrio destro nella parte superiore, collegati ai rispettivi ventricoli da due valvole dette bicuspide o mitrale (per la parte sinistra) e tricuspide o atrioventricolare (per la parte destra).

Le due parti sono separate dal setto atrioventricolare.

Vasi sanguigni

Sono dei condotti adibiti al trasporto di ossigeno, anidride carbonica, sostanze di rifiuto e nutritive.

A seconda del compito che svolgono vengono classificati in:

• Arterie: partono dal cuore e trasportano ossigeno e sostanze nutritive a tutte le cellule del corpo. Sono costituite da tonache muscolari più grosse formate da fibre elastiche che mantengono la pressione costante in tutto il corpo. Non emergono in superficie eccetto alcune.
• Vene: partono dalla periferia e trasportano il sangue (carico di anidride carbonica e sostanze di rifiuto prodotte dal metabolismo cellulare) al cuore. Non contengono tonache muscolari in quanto trasportano il sangue per attrazione gravitazionale.