La Matematica, le sue forme

La matematica e le sue forme

Liceo Scientifico Statale "Isacco Newton", Roma

Esame di Stato A.S. 2006/2007, classe 5ª sez. C

Masserizzi Marco

Materie coinvolte: Matematica, Fisica, Geografia Astronomica, Latino, Inglese, Arte.

Sommario

Le costanti matematiche nel nostro mondo

1. Premessa.

2. Le costanti in matematica.

2.1 La costante e.

2.2 La costante π.

2.3 C’è una relazione tra queste due costanti in matematica?

3. Le costanti in fisica.

La costante del campo elettrico.

3.1 La costante del campo elettrico.

3.2 La costante del campo magnetico.

3.3 Relazione tra le costanti, leggi dell’elettromagnetismo di Maxwell.

4. Come le informazioni nascono, come viaggiano nell’universo, come noi le riceviamo, il loro studio e problemi legati a queste informazioni.

4.1 Come nasce la luce.

4.2 La costante c e lo studio degli spettri.

5. Conclusioni.

6. Altre materie correlate.

6.1 La concezione astronomica nel "Somnium Scipionis".

6.2 The Logic of Nonsense in the work of Lewis Carroll.

6.3 Matematica e arte.

Le costanti matematiche nel nostro mondo

1. Premessa

Le irregolarità dell’esperienza, come l’evento inatteso, catastrofico o di cattivo augurio sono stati a lungo degni di attenzione; ma in seguito si sono incominciate ad apprezzare le meraviglie della regolarità e della predicibilità della natura. Si è cominciato a scoprire così e a interpretare un mondo dotato di coerenza e continuità. Sono state scoperte così delle “leggi” di natura che governano il mondo e sono stati identificati una serie di numeri misteriosi che stanno alla radice dell’assetto coerente dell’esperienza. Questi numeri sono le costanti di natura che conferiscono all’universo il suo carattere distintivo e lo differenziano da altri che potrebbero esistere. Queste costanti rappresentano al tempo stesso la nostra massima conoscenza e la nostra estrema ignoranza dell’universo. Alcune costanti sembrano essere fisse, altre hanno la possibilità di essere diverse da come sono e alcune sembrano addirittura indipendenti da qualsiasi altra cosa dell’universo, queste ultime hanno valori che dipendono dal caso. Universi con costanti leggermente diverse potrebbero non avere il potenziale necessario per sviluppare la vita. Le costanti di natura sono davvero costanti? Studiando la luce proveniente da altre galassie si cerca di appurare la configurazione degli atomi quando la luce cominciò il suo viaggio, cercando di interpretare il valore delle costanti.

2. Le costanti in matematica

2.1 La costante e

Considerate la vostra semenza:

fatti non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza.

(Dante: Inf.-XXVI-118)

Napier o Neper John, latinizzato Neperus, italianizzato Nepero (1550-1617)

Euler Leonhard, italianizzato Eulero (1701-1783)

Introduzione

Il numero "e" è una delle più importanti costanti della Matematica.

Se andiamo con la memoria al primo incontro con questo numero, ci ricorderemo del nostro testo di algebra delle medie superiori, che dopo averci definito il logaritmo e le sue proprietà ci diceva all’incirca:

"… I sistemi di logaritmi di uso comune sono due:

• 1) I logaritmi volgari, o decimali o di Briggs, a base 10, che sono quelli che si adoperano nelle applicazioni pratiche e che sono contenuti nelle Tavole;
• 2) I logaritmi naturali o neperiani, la cui base è un numero irrazionale, indicato con "e", uguale approssimativamente a 2,718…".

In precedenza, il nostro manuale di algebra, ci aveva detto dell’esistenza dei numeri irrazionali: quei numeri nella cui parte decimale le cifre si seguono quasi casualmente, senza nessuna regola se non quella che definisce il numero stesso. Al contrario, i razionali, dopo un certo numero di cifre decimali, hanno tutti zeri o sequenze di cifre che si ripetono periodicamente; possono essere messi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore interi, da cui il nome dal latino ratio, nel significato di rapporto. Ma ratio significa anche ragione; come dire che razionali sono quei numeri sui quali si può ragionare, mentre irrazionali sono numeri non ragionevoli, stravaganti, quasi folli. Come un monito: attenzione a sbarcare su quel pianeta! Nulla vi è di predicibile.

Il nostro numero per un istante ci dà la speranza della razionalità: dopo la prima cifra decimale si ripete la sequenza 1828. La speranza è presto frustrata; dopo la prima ripetizione le cifre riprendono a seguirsi in modo apparentemente casuale:

2,7182818284590 ... Anche di esso è stata dimostrata la natura irrazionale.

Come se non bastasse, il numero viene detto anche trascendente perché non c’è un’equazione a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione: si sfiora la teologia.

Più avanti negli studi il nostro numero, indicato con e, viene introdotto come limite della successione:

(1 + 1/1), (1 + 1/2), (1 + 1/3), …, (1 + 1/n), …

1 2 3 n

Ci viene dimostrato che essa è crescente essendo ogni termine maggiore del precedente, limitata superiormente essendo ogni termine minore di 3 e quindi, per un noto teorema sulle successioni, convergente cioè che esiste un numero al quale la successione tende ad avvicinarsi sempre di più. Più tecnicamente, in numero la cui differenza con un elemento della serie può essere reso minore di qualsivoglia quantità (una volta si diceva piccolo a piacere) scegliendo opportunamente n; questo numero è proprio il nostro e.

Il numero "e" è profondamente legato a problemi reali; è continuamente sotto i nostri occhi, scritto nel meraviglioso libro della natura nel quale la matematica dovrebbe insegnarci a leggere. Esso infatti è presente ogni qual volta un fenomeno di crescita (o di decrescita) dipende dal tempo e dalla grandezza che cresce (o decresce). Facciamo qualche esempio: una popolazione di batteri in un terreno illimitato di cultura: più batteri sono presenti più velocemente cresce la popolazione. Più cresce la popolazione, più batteri hanno la possibilità di generare, più rapidamente di prima cresce la popolazione.

Presenze di e si riscontrano in ogni campo delle scienze. Propongo solo alcuni casi:

In Fisica Nucleare il decadimento radioattivo: Se al tempo t = 0 sono presenti N₀ atomi instabili al tempo t ne rimarranno N, dato da:

dove la lettera greca tau è una costante temporale caratteristica del tipo di atomo detta "vita media" o "emivalore" di quell’atomo.

In Geometria Analitica: una "innocente" iperbole equilatera di equazione y = 1/x:

Sappiamo che passa per il punto (1, 1). Ma partendo da x = 1 quale base dobbiamo considerare perché l’area sotto la curva (tratteggiata) abbia valore unitario?

Ebbene, manco a dirlo, proprio il tratto di ascissa tra 1 ed e.

In Analisi Combinatoria il numero di "dislocazioni": Sia dato un insieme di n oggetti distinti.

È noto che il numero delle disposizioni (combinazioni ordinate senza ripetizione) degli n oggetti è dato da n!. Tra queste disposizioni molte hanno in comune almeno un oggetto nella stessa posizione; altre invece non ne hanno alcuno in comune.

Facciamo un esempio: dato un insieme di tre oggetti: a1, a2 e a3, le disposizioni possibili sono 3! = 6:

(a1, a2, a3), (a1, a3, a2), (a2, a1, a3), (a2, a3, a1), (a3, a1, a2) e (a3, a2, a1).

Di queste solo due: (a2, a3, a1) e (a3, a1, a2) non hanno alcun oggetto nella stessa posizione. Quindi avremo 2 disposizioni di questo tipo su 6; il rapporto disposizioni/dislocazioni è 6/2=3.

Se gli oggetti fossero quattro, avremmo 4! = 24 disposizioni, ma di queste solo 9 del nostro tipo; il rapporto disposizioni/dislocazioni è 24/9 = 2,666…. Per n = 5 questo rapporto vale 5! / 44 = 120 / 44 = 2,7676….

Nel caso di n oggetti ci viene in aiuto un teorema di Eulero che afferma che il numero di dislocazioni è:

Dn = n! × [ 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + . . . + (-1)n × (1/n!)],

ed essendo n! il numero delle disposizioni si ha che il rapporto tra disposizioni e dislocazioni è:

R = 1 / [1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + . . . + (-1)n × (1/n!)].

Ma quanto vale questo rapporto quando n tende all’infinito? Ebbene, vale proprio e.

In Analisi matematica la funzione esponenziale a^x: la sua derivata è a^x × lna, dove con ln si è indicato il logaritmo naturale (quello con base e). Pertanto la derivata della funzione esponenziale e^x è la funzione e^x stessa, e questo è l’unico caso in matematica di una funzione che ha per derivata se stessa. Analogamente per la funzione logaritmo log_ax: la derivata è la funzione.

Ne segue che la derivata di ln x è semplicemente 1/x.

2.2 La costante π

Pi greco

"Il numero pi greco, correttamente interpretato, contiene l’intera storia dell’umanità."

Martin Gardner

"Esplorare pi greco è come esplorare l’universo."

David Chudnovsky

Che cosa è π?

π, costante matematica, è un numero irrazionale (non può cioè essere scritto come quoziente di due interi) e trascendente (ovvero non è un numero algebrico). Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.

Prima definizione geometrica di π

In uno spazio euclideo, π è il rapporto tra la circonferenza C di un cerchio e il suo diametro d (che corrisponde al doppio del raggio r), qualunque sia la grandezza del cerchio considerato. Ovvero:

π è quindi la misura in metri della circonferenza di un cerchio il cui diametro è lungo 1 metro.

Seconda definizione geometrica di π

In uno spazio euclideo, π è il rapporto tra la superficie di un cerchio e il quadrato del suo raggio. Ovvero:

Æ

Quindi, π è la superficie in metri quadrati di un cerchio di raggio 1 metro.

Altre definizioni geometriche di π

Dalle prime due definizioni si ricava che:

• Dato dove V è il volume di una sfera di raggio r, π = 3/4 del volume di una sfera di raggio 1.
• Dato dove S è la superficie di una sfera di raggio r, π = 1/4 della superficie di una sfera di raggio 1.

Come trovare π

Il metodo Montecarlo

Se si traccia un cerchio inscritto esattamente in un quadrato e si lanciano delle freccette sul bersaglio, tra quelle che toccano il bersaglio una quantità pari a π /4 si troverà nel cerchio. Lanciando una grande quantità di freccette, si troverà quindi un’approssimazione di π /4 e quindi anche di π.

Simulazione: http://polymer.bu.edu/java/java/montepi/MontePi.html

Storia di π

Il simbolo "π" per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 da William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di perimetros, che significa ‘misura attorno’ in greco.

Cronologia di π:

• 20º secolo AC: I Babilonesi usavano 3+1/8 per π.
• 20º secolo AC: Gli Egizi (Papiro di Rhind) usano π = (16/9)².
• 12º secolo AC: I Cinesi usano 3 per π.
• 434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso.
• 3º secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < π < 22/7, e trova inoltre l’approssimazione π = 211875/67441.
• 20 AC: Vitruvio usa 25/8.
• Bibbia: π = 3 (Antico Testamento).
• 2º secolo: Tolomeo usa π = 377/120.
• 5º secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < π < 3.1415927.
• 9º secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416.
• 1220: Fibonacci usa il valore 3.141818.
• 1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di π.
• 1706: Machin, 100 cifre.
• 1734: Adottato da Eulero, l’uso del simbolo π si diffonde.
• 1761: Johann Heinrich Lambert prova che π è un numero irrazionale.
• 1775: Eulero ipotizza che π possa essere trascendente.
• 1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre.
• 1853: Rutherford, 440 cifre.
• 1874: Shanks, 707 cifre, di cui 527 sono corrette.
• 1882: Ferdinand von Lindemann dimostra che π è trascendente.
• 1999: Kanada e Takahashi, 206.158.430.000 cifre (record più recente).

Formule che riguardano π

Geometria

• La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2πr.
• L’area di un cerchio di raggio r: A = πr².
• L’area di un’ellisse di semiassi a e b: A = πb.
• Il volume di una sfera di raggio r: V = (4/3)πr³.
• La superficie di una sfera di raggio r: A = 4πr².
• Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r: V = (πr²)h.
• L’area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r: A = ([πr²] 2) + ([2πr] h).
• Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti.

Analisi

Formula di Leibniz:

Il problema di Basel:

La funzione di Riemann:

Teoria dei numeri

• La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di.
• Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è.
• Il numero di primi presenti nell’intervallo compreso tra 0 e n è denotato con π(n).

Fisica

Forza di Coulomb =

Legge di Biot-Savart: B =

2.3 C’è una relazione tra queste due costanti in matematica?

Abbiamo analizzato le due costanti, come nascono, da cosa derivano e che uso ne facciamo nella matematica e nelle scienze. Ma esiste una relazione tra queste due costanti fondamentali?

i = costante =

= - 1

y = vale π:

Quando la

Conclusione

Questa è una relazione tra numeri fondamentali il cui significato intrinseco non è di immediato percepibile ma è comunque dimostrato che c’è una relazione. Tutta da interpretare!

3. Le costanti in fisica

3.1 La costante del campo elettrico

Il flusso (indicato con il simbolo Φ) è una proprietà di ogni campo vettoriale; si riferisce ad una ipotetica superficie che può essere chiusa o aperta. Per un campo elettrico il flusso è il numero di linee di forza che attraversano la superficie.