L'irrazionale

L’irrazionale

Mappa concettuale

Esame di Stato a.s. 2007/2008

Liceo scientifico E. Fermi

Martone Giuseppe

Dimostrazione e applicazione dell’irrazionale in ambito scientifico

Da Ippaso di Metaponto ai circuiti RC.

L’irrazionale letterario

Evoluzione dell’illogicità nella cultura occidentale.

L’irrazionale nella storia

Voler sterminare un’intera etnia: la Shoah.

Matematica

La dimostrazione matematica dell’esistenza dell’irrazionale si presuppone sia stata fatta prima del 410 a.C. e si attribuisce al pitagorico Ippaso di Metaponto.

La risonanza di questa scoperta è di facile intuizione dato che Pitagora aveva posto alla base della sua scuola la convinzione dell’assolutezza dei numeri.

Nel tentativo di esprimere sotto forma di numero razionale e, quindi, come una frazione, Ippaso studiò la lunghezza della diagonale di un quadrato generico di lato l e diagonale d, come in figura.

Il teorema procede con una dimostrazione per assurdo come di seguito:

• Per il teorema di Pitagora si avrà quindi: l² + l² = d², d² = 2l².
• Si ottiene così la frazione che, ridotta ai minimi termini, si può esprimere come p/q, con p e q numeri primi tra loro.
• Si avrà quindi p² = 2q²; dunque p sarà pari, essendo necessariamente dato dal prodotto di due numeri pari e, quindi, si può scrivere p = 2k con k numero intero; 2q² = 4k².
• Sostituendo otterremo l’assurdo in quanto q² sarà pari e quindi anche q sarà pari, il che, però, è impossibile dato che abbiamo ipotizzato p e q primi tra loro e, invece, risultano essere entrambi multipli di 2.

La particolarità dei numeri irrazionali, e a questa si riferisce l’immagine della copertina, è che la loro espansione, in qualsiasi base venga scritta, non termina mai e non presenta periodicità, il che significa che abbiamo solamente valori approssimativi dei valori decimali di numeri come √2, (1 + √5)/2, π e e. (il rapporto aureo).

Questi due ultimi numeri scritti fanno parte di una particolare tipo di numeri irrazionali: i numeri trascendenti, che hanno la particolarità di non poter essere soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali del tipo: a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0, con n ≥ 1 e a_i razionali e non tutti nulli.

Fisica

Un’importante applicazione di un numero irrazionale trascendente quale il numero di Nepero (e), per quanto riguarda la fisica, è quella del circuito RC.

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Come si vede in figura esso è composto da un generatore, un tasto (S), un resistore (R) e un condensatore (C).

Collegando S ad A, nel circuito c’è una differenza di potenziale data dal generatore, quindi, una corrente elettrica.

Spostandoci sul circuito secondo il verso della corrente incontriamo una caduta di tensione in corrispondenza del resistore.

Successivamente la corrente incontra il condensatore, che si oppone al passaggio della corrente.

Infatti la carica va ad accumularsi sulle due armature secondo la legge:

q = C f (1 − e^−t/τ)

Questa formula spiega come la carica (q), che di norma è pari a q = C f, e cioè alla capacità del condensatore per la forza elettromotrice, venga ad accumularsi con un certo ritardo, infatti per t → ∞ q = C f, mentre solo per t pari a circa quattro volte τ la carica si avvicina asintoticamente al valore di regime.

Subito dopo, collegando S a B, si nota che l’intensità di corrente, nonostante si levi il collegamento al generatore, non diventi immediatamente nulla, bensì il condensatore si sostituisca ad esso e che, quindi, l’intensità varia secondo la legge:

i = f e^−t/τ

R

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Il problema dell’irrazionale esula, però, da un discorso prettamente matematico, anzi!

Questa sensazione di inspiegabilità, d’incommensurabilità, di sproporzione intellettiva si era diffusa già nella società tardo antica, soggetta a un processo di orientalizzazione e ad un sempre maggior distacco dalla vita pubblica che la portò alla ricerca di conforto nelle nascenti religioni.