Enigma del linguaggio tesina

EVIDENZA VERITÀ COERENZA

necessariamente

Questo schema entrò in crisi con la scoperta delle geometrie non euclidee. Infatti, in un contesto in

cui si possono costruire molteplici teorie riferite agli stessi oggetti, il ruolo della verità doveva essere

riconsiderato. Per risolvere il problema, i matematici del XIX e XX secolo adottarono un punto di

vista radicalmente nuovo. Nella moderna assiomatica gli assiomi non dovevano più essere scelti in

base alla loro presunta evidenza, ma in modo arbitrario, purché non contradditorio. Essi non erano

altro che enunciati, né veri né falsi scelti liberamente come base dell’intero edificio. Il problema della

verità, quindi, diventava qualcosa di esterno alla matematica, mentre quello della coerenza, che era

in quanto conseguenza dell’evidenza,

sempre stato considerato secondario divenne il problema

principale della speculazione metamatematica. Una volta dimostrata la possibilità di costruire teorie

egualmente coerenti, sorse il problema di cercare una base dell’intera costruzione matematica che

fosse dotata di una coerenza non relativa ma assoluta, la cui dimostrazione non facesse cioè

riferimento a qualcosa di esterno a essa. 13

Il programma di Hilbert

Le teorie formali Il matematico che influenzò maggiormente le ricerche in questa

direzione fu David Hilbert (1862-1943). Sulla base della moderna

concezione del ruolo degli assiomi, Hilbert elaborò un ambizioso

programma che si prefiggeva di individuare il fondamento dell’intera

conoscenza matematica. La teoria che egli ritenne essere adeguata a

elevarsi a fondamento della matematica fu l’aritmetica elementare. Nella

sua visione le teorie matematiche (aritmetica innanzitutto) devono essere

considerate in modo puramente formale, devono essere sottoposte ad un

processo di formalizzazione. Attraverso questa formalizzazione, egli

mirava a dimostrare che l’aritmetica è dotata di proprietà intrinseche tali

da renderla il fondamento dell’edificio matematico.

Secondo le teorie di Hilbert una teoria matematica T può essere considerata formalizzata quando sono

L e l’universo U

definiti il suo linguaggio a cui si riferisce. La teoria, simbolicamente rappresentata

L

U),

come T = (L, si dice allora teoria formale. Il linguaggio deve specificare:

 I simboli con cui vengono espressi gli enunciati;

 I criteri di formazione delle espressioni (le regole con cui i simboli si possono combinare tra

loro per produrre espressioni corrette all’interno del linguaggio);

 Le espressioni scelte come assiomi;

 Le regole di inferenza con cui, a partire dagli assiomi, si deducono altre espressioni.

Le espressioni che, attraverso una sequenza di deduzioni, possono essere ricavate a partire dagli

assiomi si dicono teoremi. La sequenza logica attraverso cui un teorema viene dedotto si chiama

dimostrazione.

Una teoria formale può possedere tre caratteristiche principali:

 Una teoria T si dice coerente se non esiste, in essa, alcun enunciato A tale che A e non-A

siano entrambi teoremi di T;

 Una teoria T si dice completa se, per ogni enunciato A, essa è capace di dimostrare A oppure

non-A;

 Una teoria T si dice decidibile se esiste un procedimento meccanico per dimostrare, in un

numero finito di passi, se un qualsiasi enunciato A è un teorema oppure no, cioè se esiste una

sua dimostrazione a partire dagli assiomi.

Coerenza, completezza e decidibilità sono caratteristiche desiderabili delle teorie formali. Le prime

due, in particolare, sono essenziali per una teoria che voglia costruire la basse dell’intera conoscenza

matematica. 14

La metateoria tra sintassi e semantica

Una teoria formale che permette di affermare qualcosa relativamente alle proprietà di determinati

oggetti matematici può essere a sua volta studiata per mezzo di una seconda teoria detta metateoria,

ML

la metamatematica appunto, indicata con MT. MT è dotata di un proprio linguaggio e studia le

L,

proprietà di che rappresenta quindi il suo universo e viene detto per questo linguaggio-oggetto. Si

L). L ML

scrive quindi MT = (ML, Linguaggio oggetto e metalinguaggio possono essere coincidenti

oppure diversi.

Per comprendere la novità dello studio di Hilbert è necessario rendersi conto che lo studio metateorico

può svilupparsi in due direzioni diverse:

 L U

dall’universo

Se si analizza il linguaggio indipendentemente di riferimento, occupandosi

solo della sua struttura e delle regole cui obbedisce, si studia la sintassi di T;

 L U,

Se si analizza in rapporto con considerando quindi la verità o la falsità dei suoi enunciati

rispetto al mondo di cui parla, si studia, invece, la semantica di T.

Lo studio sintattico pone l’accento sul problema della correttezza e quindi sulla coerenza di T, mentre

ovvero sull’aderenza delle sue

lo studio semantico concentra la propria attenzione sulla verità di T,

U.

affermazioni alle proprietà degli oggetti di È chiaro allora che, mentre la prospettiva classica di

intendere gli assiomi era basata su un approccio semantico, la prospettiva moderna sorta dopo la

nascita delle geometrie non euclidee e sviluppata da Hilbert, ha rivolto la propria attenzione allo

studio sintattico delle teorie.

Lo studio del linguaggio matematico attraverso le teorie formali

Il nucleo più elementare del linguaggio matematico è costituito dalle proposizioni ovvero da quegli

enunciati a cui si può attribuire un valore vero o falso e di cui non si analizza la struttura interna. Al

contempo la teoria formale più semplice è quella del calcolo delle proposizioni, che può essere

impostata in modo tale da risultare coerente, completa e decidibile. Il calcolo proposizionale, pur

essendo dotato di tutte le proprietà desiderabili per una teoria formale, è troppo elementare per

costituire la base dell’aritmetica e della matematica in generale. Se si vuole raggiungere tale obiettivo

occorre costruire teorie formali più ricche. Un primo passo nello sviluppo di una teoria formale dei

numeri naturali consiste nell’introduzione di nuovi elementi linguistici che permettono, innanzitutto,

di analizzare la struttura interna delle proposizioni. Tali elementi sono: quantificatori, variabili

individuali, costanti, lettere predicative e lettere funzionali. La teoria più elementare che si ottiene

facendo uso di predicati e quantificatori viene denominata calcolo dei predicati del primo ordine.

Tuttavia neanche le teorie del primo ordine così strutturate sono sufficienti per la costruzione di una

teoria formale dell’aritmetica. Se si vuole costruire una teoria formale per l’aritmetica occorre

aggiungere a una teoria del primo ordine tutti quegli elementi non logici che servono a caratterizzare

le proprietà dei numeri naturali, vale a dire lo zero, il successore di un numero, le operazioni di

addizione e moltiplicazione e il principio di induzione.

La maggior potenza dei linguaggi che si possono costruire con il calcolo dei predicati ha però riflessi

negativi sulle proprietà delle teorie formali. Il programma di Hilbert di ottenere una teoria T coerente

e completa, abbastanza potente da esprimere l’aritmetica elementare, fu totalmente distrutto dal

lavoro di Kurt Gödel. 15

I teoremi di Gödel

Il matematico Kurt Gödel (1906-1978) riuscì a dimostrare due teoremi che fanno crollare tutto il

programma di Hilbert. Il primo di essi enuncia che:

In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste

una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T .

Con qualche semplificazione, il primo teorema afferma che in ogni formalizzazione coerente della

matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri

naturali è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né

dello stesso sistema. Tale proposizione è l’enunciato G che

dimostrata né confutata all'interno

afferma: “l’enunciato G è indimostrabile in T”.

 Se supponiamo di poter dimostrare G allora G è dimostrabile. Da ciò nasce una contraddizione

in quanto l’enunciato afferma di essere indimostrabile. T risulta dunque incoerente.

 Se supponiamo di non poter dimostrare G allora G è veramente indimostrabile. Ciò implica

che la teoria T è incompleta, in quanto in essa esiste un enunciato vero ma non dimostrabile.

Da queste considerazioni deriva che la teoria T è incoerente oppure è incompleta. La dimostrazione

di Gödel rivelò quindi che la coerenza di una teoria non può essere provata dall’interno, ma solo

a una teoria più potente, anch’essa soggetta alle stesse limitazioni. Questo concetto viene

ricorrendo

espresso dal secondo teorema di Gödel che afferma che:

Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente,

non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T.

Ciò significa che nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.

L’enunciato G di Gödel può sembrare uguale al famoso paradosso del mentitore in cui un uomo

afferma: “Io sto mentendo”. Questo paradosso, noto sin dall’antichità, non contiene errori logici e

rivela l’esistenza di problemi profondi legati all’uso di espressioni che contengono autoriferimenti,

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cioè espressioni che affermano qualcosa a proposito di se stesse. Affermazioni come quella del

mentitore hanno la struttura logica di una proposizione:

P: P è falsa

Nella dimostrazione del teorema di Gödel ci si imbatte in un’espressione G che afferma di essere

indimostrabile. La sua struttura è quindi:

G: G è indimostrabile

È evidente l’analogia esistente tra le due situazioni la differenza sostanziale tra il paradosso del

mentitore e il risultato di Gödel sta nel fatto che il primo concerne la nozione di verità (e quindi si

riferisce al livello semantico), mentre il secondo verte sulla nozione di dimostrabilità (e quindi opera

a livello sintattico).

Per concludere si può affermare che i teoremi di Gödel sono la conclusione di una speculazione che,

avendo eliminato già dal punto di partenza qualsiasi pretesa di verità da parte della matematica,

giunge a dimostrare l’impossibilità di fondare la matematica su basi formalmente coerenti. Infatti,

risulta impossibile riuscire a dimostrare la coerenza della matematica senza ricorrere a una

innescando così un processo in