Matematica (PNI) - Traccia

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2011

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione dell’Università e della Ricerca

Y557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE

PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Indirizzo: MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1 2

4 + e sia Г la sua

Sia f la funzione definita sull’insieme dei numeri reali da ƒ(x)= x + ln

R +

x

e 1

rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oxy.

∞ ∞

1. Si determini il limite di ƒ(x) per x che tende a + e a – . Si calcoli ƒ(x) + ƒ(–x) e si spieghi

perchè dal risultato si può dedurre che il punto A(0; 1 + ln4) è centro di simmetria di Г.

2. Si provi che, per tutti i reali m, l’equazione ƒ(x) = m ammette una e una sola soluzione in R.

α α

Sia la soluzione dell’equazione ƒ(x) = 3; per quale valore di m il numero – è soluzione

dell’equazione ƒ(x ) = m? x

2 e

3. Si provi che, per tutti gli x reali, è: ƒ(x) = x + 2+ ln 4 – . Si provi altresì che la retta r di

x +

e 1

equazione y = x + ln4 e la retta s di equazione y = x + 2 + ln 4 sono asintoti di Г e che Г è

interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s.

β

∫ [ ]

β β

= − −

I ( ) f ( x ) x ln 4 dx

4. Posto , si calcoli: lim I ( ) . Qual è il significato geometrico del

β → +∞

0

risultato ottenuto?

PROBLEMA 2

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali,

da: π

ƒ(x) = x – 16x e g(x)= sen x

3 2

1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di

riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui

ascissa è compresa nell’intervallo [–10; 10] e se ne indichino le coordinate.

2. L’architetto rappresenta la superficie libera dell’acqua nella piscina con la regione R delimitata

dai grafici di f e di g sull’intervallo [0; 4]. Si calcoli l’area di R.

3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y = – 15 e y = – 5,

l’architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell’acqua. Si calcolino le

ascisse di tali punti (è sufficiente un’approssimazione a meno di 10 ).

-1

4. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y, la misura della profondità dell’acqua nella piscina è

data da h(x) = 5 – x. Quale sarà il volume d’acqua nella piscina? Quanti litri d’acqua saranno

necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?