Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
PROBLEMA1
Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:
3
3
f x 27 x e g x sin x
2
1. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i
grafici e in un conveniente sistema di riferimento cartesiano
G G g
f
Oxy.
2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a
1
Qual è l’ampiezza, in gradi e
G G
e a nel punto di ascissa .
x
g
f 3
primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e s?
G G
3. Sia R la regione del piano delimitata da e . Si calcoli l'area di
g
f
R. ruotando attorno all’asse
4. La regione R, x, genera il solido S e,
ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il
perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi
di S e di T RISOLUZIONE
Punto 1
Una funzione sinusoidale di periodo T può essere scritta come
2 3
sin x ; nel caso in esame la funzione è
g x sin x
2
T
2 4
g x sin x T
equivalente a il cui periodo è .
4 3
3
Alternativamente possiamo sfruttare la definizione di funzione
g x g x T
periodica: una funzione è periodica di periodo T se e
1
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
3 3
nel caso in esame se ; ricordando che una
sin x sin x T
2 2
, l’equazione
funzione seno è periodica di con
2 k k Z
3 3
equivale a imporre
sin x sin x T
2 2
3 3 4
da cui si ricava ; il periodo minimo lo
x T x 2 k T k
2 2 3
4
si ricava ponendo ed è pari a .
T
k 1 3
3
Studiamo la funzione .
f x 27x
3
Il grafico della funzione possiamo ricavarlo da quello
f x 27x
3
della funzione ribaltando verso le ordinate positive la parte
h x 27x
di sotto dell’asse delle ascisse. Pertanto studiamo la
di grafico al
3
funzione h x 27x
Dominio: R;
3
h x 27 x 0 x 0
Intersezione ascisse:
x 0 h 0 0
Intersezioni ordinate: ;
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto
3 3 ;
h x 27 x 27 x h x
3
h x 27x
Positività: la cubica è positiva se ;
x 0
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;
Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;
lim h x
x
h x
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;
lim
x
x 2
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui
h
' x 81
x
all’interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla
x 0
solo in .
h
' ' x 162 x
Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità
verso l’alto in 0
, ,
0
e verso il basso in ; poichè
2
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
F 0
,
0
quindi è un flesso a
h
' 0 0
, h
' ' 0 0
, h
' ' ' 0 162 0
tangente orizzontale di equazione .
y 0
h ' ' x 0 x 0
h ' ' x 0 x 0
x
h ' ' x 0 x 0 - 0
flesso
Il grafico è di seguito
G h
presentato: G
Il grafico , ricavato da
f
quello di , è di seguito
G h
presentato: 3
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
3
g x sin x
Studiamo la a funzione
2
Dominio: R;
Intersezione ascisse:
3 3 2
g x sin x 0 x k x k , k Z
2 2 3
Intersezioni ordinate: ;
x 0 g 0 0
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto
3 3
;
g x sin x sin x g x
2 2
Positività: la funzione è positiva se
3 4 2 4
2 k x 2 k k x k , k Z ;
2 3 3 3
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
3 3
g ' x cos x
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per
2 2
cui la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui
3
e strettamente decrescente negli intervalli in cui
cos x 0
2
3
.
cos x 0
2 4
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Poiché
3 3 3 3
cos x 0 2 k x 2 k 2 k x 2 2 k
2 2 2 2 2
4 1 4 4 4 4
k x k 1 k x k , k Z
3 3 3 3 3 3
e
3 3 3 1 4 4
cos x 0 2 k x 2 k k x 1 k , k Z
2 2 2 2 3 3 3
deduciamo che la funzione è strettamente crescente negli intervalli
4 1 4 4 4 4
con e strettamente
k Z
k , k 1 k , k
3 3 3 3 3 3
1 4 4
decrescente in con ; in conclusione la funzione
k Z
k ,
1 k
3 3 3
1 4
presenta massimi relativi in e minimi relativi in
M k ,
1
k
3 3
4
con .
m 1 k , 1 k Z
k
3
Concavità e convessità: la
derivata seconda è
2
3 3
g ' ' x sin x e
2 2
2
x k , k Z
si annulla in 3
2
per cui i punti sono
k ,
0
3
flessi. 5
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Punto 2
1
3 3
Per . La tangente in alla
x 0
, x
f x 27 x 27 x 3
1 1 1
3
funzione ha equazione dove
f x 27x y f ' x f
3 3 3
1 1
per cui l’equazione della tangente è
2
f 1
, f ' 81
x 9
1
x
3 3 3
1
.
y 9 x 1 9 x 2
3
3
1
g x sin x
La tangente in alla funzione ha equazione
x
2
3
1 1 1
y g ' x g dove
3 3 3
1 1 3 3
per cui l’equazione della
g 1
, g ' cos x 0
3 3 2 2 1
x 3 1
D’altronde l’ascissa
tangente è . è ascissa di massimo per
x
y 1 3
1
cui la tangente in è orizzontale e pari al valore massimo che può
x 3
assumere una funzione sinusoidale, cioè 1. , l’angolo acuto formato
Date due rette di coefficienti angolari tra
m
, m
'
m m
'
le due può essere ricavato dalla formula da cui,
tan
1 mm
'
m m
'
sapendo che , ricaviamo per cui
m 9
, m
' 0 tan 9
1 mm
'
arctan 9 1
, 46 rad 83 40
' 6
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Punto 3
3
3
Le due funzioni si intersecano
f x 27 x e g x sin x
2
1 1
. Nell’intervallo
solamente nei punti di ascisse la
x 0
, x 0
,
3 3
3
funzione sta al di sopra di
g x sin x
2
3 3 3
e in questo intervallo . La regione R
f x 27x f x 27 x 27 x
di cui calcolare l’area è di seguito raffigurata in grigio:
richiesta vale
L’area 1 1
3 3
3
3
S R g x f x dx sin x 27 x dx
2
0 0 1
4
2 3 27 x 1 2 8
3
cos x
3 2 4 12 3 12
0 7
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Punto 4
Il volume S del solido generato dalla rotazione della regione R attorno
all’asse delle x può essere ottenuto come differenza tra il volume del
V
1
solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla
1
3
e dall’asse attorno all’asse
curva , dalla retta x
x
g x sin x
3
2
x, e il volume del solido generato dalla rotazione della parte di piano
V 2 1
dall’asse
3
delimitata dalla curva , dalla retta e x
x
f x 27x 3
attorno all’asse x . Pertanto si ha:
1 1
2
3 3
3
2
3
V S V V sin x dx 27 x dx
1 2
2
0 0
Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a
l’integrale definito soprastante:
risolvere 1 1 1
2
3 3 3
3 1 cos 3 x
2
3 6
V S sin x dx 27 x dx 729 x dx
2 2
0 0 0
1
x sin 3 x 729 1 1 5
3
7
x
2 6 7 6 21 42
0
Il volume T del solido generato dalla rotazione della regione R attorno
all’asse delle V
y può essere ottenuto come differenza tra il volume del
3
solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla
y
3
e dall’asse attorno all’asse
1
f y y 1
curva , dalla retta y y, e
3
V
il volume del solido generato dalla rotazione della parte di piano
4
2 arcsin y
1
g y
delimitata dalla curva , dalla retta e
y 1
3
dall’asse attorno all’asse
y y . Pertanto si ha:
8
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
2
2
1 1
y
3
2 arcsin y
V T V V dy dy
3 4 3 3
0 0
Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a
definito soprastante iniziando
risolvere l’integrale a calcolare
2
1 y
3
; esso è pari a
dy
3
0
2
2 1
5
1 1
y
3 3
y 3
3
dy dy y ;
3 9 9 5 15
0 0 0
applicando l’integrazione per parti si ha
2
1 1
2 arcsin y 4
2
dy arcsin y dy
3 9
0 0 1
4
2 2
2 1 y arcsin y 2 y y arcsin y
9 0
2 2
4 8
2
9 4 9
In conclusione
2 2
1 1 2
2 arcsin y
y
3 8
V T V V dy dy
3 4
3 3 15 9
0 0
2
40 2
45
V T
Alternativamente, il calcolo del volume può essere effettuato
attraverso l’applicazione del metodo dei gusci cilindrici. Il solido
generato dalla rotazione attorno all’asse y di una regione piana può
essere visto come somma di tanti “gusci cilindrici”, cioè cilindri cavi di
f x
raggio interno x, raggio esterno ed altezza . Consideriamo
x x
di un “guscio” come volume infinitesimo
il volume finito ,
V dV
9
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
quindi trattiamo come infinitesimo dx ; esso può essere espresso
x
nella forma:
2 2
2
dV x dx x f x 2 x dx f x dx f x
2
Poiché è un infinitesimo di ordine superiore a , allora il
dx
dx
2
termine è trascurabile rispetto a , pertanto
2 x dx f x
dx f x
2 2
dV x dx x f x 2 x dx f x
Il volume del solido dovuto alla rotazione intorno all’asse delle
ordinate, pensato come somma di tanti volumetti relativi
dV
b b
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
