2012 - Liceo della comunicazione, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

Punto2

Notiamo subito che il grafico della funzione

   

2 2 può essere ricavato da quello di

f ( x ) ln ( x ) ln x 1

   a seguito di simmetria rispetto all’asse delle

2 2

g ( x ) ln ( x ) ln x 1  

 

ordinate in quanto .

f ( x ) g x   

2 2

Studiamo quindi il grafico di . Innanzitutto,

g ( x ) ln ( x ) ln x 1

 

 

       2

2 2 2

poiché , possiamo

ln ( x ) ln x 1 ln ( x ) 2 ln x 1 ln x 1

riscrivere

  

2 2

g ( x ) ln ( x ) ln x 1 come

   



ln x 1 se x e

 

   

g ( x ) ln x 1 .

 

  



1 ln x se 0 x e 

x e

Notiamo innanzitutto che la funzione è continua in in quanto

   

   

   

lim ln x 1 lim 1 ln x 0 .

 

 

x e x e    

 

g x ln x 1

Studiamo un ramo alla volta, partendo da 1

 



nell’intervallo . Tale funzione interseca l’asse delle ascisse in

e

,  

  

e

,

e

,

0 , è positiva nel dominio , non presenta asintoti né verticali

né orizzontali né obliqui, ed è strettamente crescente in tutto il dominio

 



e

, .      

  nell’intervallo

g x 1 ln x 0

, e

Studiamo il ramo . Tale funzione

2 

non interseca l’asse delle ascisse in quanto x e non appartiene al

  

0

, e

dominio, è positiva nel dominio , presenta come asintoto

x 0

 

 

  

lim 1 ln x

verticale in quanto , non presenta asintoti orizzontali





x 0

né obliqui visto il dominio limitato, ed è strettamente decrescente in

 

0

, e

tutto il dominio .



x e

Notiamo che in la funzione presenta un punto angoloso in quanto

   

1 1 1 1

      

lim g ' x lim lim g ' x lim .

   

   

x e x e

x e x e x e x e

2

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  

2 2

Di seguito il grafico di .

g ( x ) ln ( x ) ln x 1

Il grafico di  

   



ln x 1 se x e

    

2 2 

f ( x ) ln ( x ) ln x 1 si ricava

 

    



1 ln x se e x 0

simmetria intorno all’asse delle ordinate:

da quello soprastante per 3

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Punto 3   

2 2

g ( x ) ln ( x ) ln x 1

La funzione è continua in tutto il dominio

  

  x e

D : x 0

, e non è derivabile in in cui presenta un punto

g

angoloso in quanto

1 1

   

lim g ' x lim

 

  x e

x e x e  

1 1

     

 

lim g ' x lim  

 

  x e

x e x e    

2 2

f ( x ) ln ( x ) ln x 1

Analogo ragionamento per la funzione

 

  

D : x ,

0

continua in tutto il dominio e non è derivabile in

f

 

x e in cui presenta un punto angoloso in quanto

   

1 1 1 1

      

lim f ' x lim lim f ' x lim .

   

       

x e x e

x e x e x e x e

4

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Punto 4 2 e  

 



 

L’area richiesta è pari a . Applicando l’integrazione

S ln x 1 dx

e

per parti si ha:

2 e      

       



        

2 e

S ln x 1 dx x ln x 2 2

e ln 2

e 2 e ln e 2

e

e

   

       

          

2

e ln 2 ln e 2 e ln e 2 2

e ln 2 1 2 e 1 2

 

    4

      

e 2 ln 2 1 e ln 4 1 e ln  

e

5

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PROBLEMA 2

Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

3

  

e

f ( x ) | 8 x | g ( x ) sen

( x )

1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si

studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici e .

G G

f g

2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a

1



e nel punto di ascissa . Quale è la misura, in gradi e

G G x

f g 2

primi sessagesimali, dell’angolo acuto individuato da r e da s?

Si calcoli l’area della regione R racchiusa, G G

3. tra e .

f g

4. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali

definiti che forniscono i volumi dei solidi K e W ottenuti dalle rotazioni

  

di R, attorno alle rette e , rispettivamente.

y 0 y 1

RISOLUZIONE

_____ _____

Punto 1    3

Studiamo la funzione .

f x 8x

   3

Il grafico della funzione possiamo ricavarlo da quello della

f x 8x

   3

h x 8x

funzione ribaltando verso le ordinate positive la parte di

grafico al di sotto dell’asse delle ascisse. Pertanto studiamo la funzione

   3

h x 8x

Dominio: R;      

3

h x 8 x 0 x 0

Intersezione ascisse:  

  

x 0 h 0 0

Intersezioni ordinate: ;

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

     

      

3 3 ;

h x 8 x 8 x h x

   

3

h x 8x

Positività: la cubica è positiva se ;

x 0

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Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

   

Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;

lim h x

 

x  

h x  

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;

lim

  x

x    2

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui

h

' x 24 x

all’interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla



solo in x 0   

h

' ' x 48 x

Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità

   

  

verso l’alto in 0

, ,

0

e verso il basso in ; poiché

 

     

    F 0

,

0

quindi è un flesso a tangente

h

' 0 0

, h

' ' 0 0

, h

' ' ' 0 48 0



orizzontale di equazione .

y 0

    

h ' ' x 0 x 0

    

h ' ' x 0 x 0 x

  - 0

  

h ' ' x 0 x 0 flesso

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Il grafico è di seguito presentato:

G h

Il grafico , ricavato da quello di , è di seguito presentato:

G G

f h

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   





g x sin x

Studiamo la a funzione

Dominio: R;    

  

      

g x sin x 0 x k x k , k Z

Intersezione ascisse:  

  

Intersezioni ordinate: ;

x 0 g 0 0

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

       

 

       ;

g x sin x sin x g x

Positività: la funzione è positiva se

   

       

2

k x 2

k 2

k x 1 2

k , k Z ;

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

   

 



g ' x cos x

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui

 

 

cos x 0

la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui e

 

 

strettamente decrescente negli intervalli in cui .

cos x 0

Poiché 

  3

        

          

cos x 0 2 k x 2 k 2 k x 2 2 k

2 2

1 3

         

2 k x 2 k 2 k x 2 2 k , k Z

2 2

e  

  3 1 3

   

           

cos x 0 2 k x 2

k 2 k x 2 k , k Z ,

2 2 2 2

deduciamo che la funzione è strettamente crescente negli intervalli

   

1 3

    

    con e strettamente decrescente

k Z

2 k , 2 k 2 k , 2 2 k

   

2 2

 

1 3

  

 

in con ; in conclusione la funzione presenta

k Z

2 k , 2 k

 

2 2 9

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   

1 3

  

 

 

massimi relativi in e minimi relativi in

M 2 k ,

1 m 2 k , 1

k

k  

  2

2



con .

k Z    

 

  2

g ' ' x sin x

Concavità e convessità: la derivata seconda è e si

 

 

annulla in per cui i punti sono flessi.

2k ,

0

x 2

k , k Z

Il grafico è di seguito presentato:

G g

Punto 2

    1

  

 

3 3

x 0

,

Per . La tangente in alla funzione

x

f x 8 x 8 x 2

 

   

  1 1 1

  

  

   

3 ha equazione dove

y f ' x f

f x 8x  

   

2 2 2

 

   

1 1

  

    per cui l’equazione della tangente è

2

f 1

, f ' 24 x 6

1



x

   

2 2 2

 

1

    

  .

y 6 x 1 6 x 2

 

2 10

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   

1 



 g x sin x

La tangente in alla funzione ha equazione

x 2

 

         

1 1 1  

1 1  

     

 

       

y g ' x g dove g 1

, g ' cos x 0

1



x

 

       

3 3 3 2 2 2 1





l’equazione della tangente è D’altronde l’ascissa

per cui . è

x

y 1 2

1



ascissa di massimo per cui la tangente in è orizzontale e pari al

x 2

valore massimo che può assumere una funzione sinusoidale, cioè 1.

, l’angolo acuto formato tra

Date due rette di coefficienti angolari m

, m

' 

  m m

'

 

le due può essere ricavato dalla formula da cui,

tan 

1 mm

'



m m '

 



   

sapendo che , ricaviamo per cui

m 6, m ' 0 tan 6



1 mm '

 

    

arctan 6 1

, 406 rad 80 32

'

Punto 3      



 

3

Le due funzioni si intersecano solamente

f x 8 x e g x sin x  

1 1

  . Nell’intervallo

x 0

, x

nei punti di ascisse la funzione

0

,

 

2 2

     



  3

g x sin x sta al di sopra di e in questo intervallo

f x 8x

    regione R di cui calcolare l’area

3 3 . La è di seguito

f x 8 x 8 x

raffigurata in grigio: 11

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richiesta vale

L’area 1 1 1

 

2 2 1

          2

   

 

       

  3 4

S R g x f x dx sin x 8 x dx cos x 2 x

     



  0

0 0





 

1 1 8

   

 

 

 

8 8

Punto 4

Il volume del solido K ottenuto dalla rotazione della regione R attorno

all’asse V

delle x può essere ottenuto come differenza tra il volume del

1

solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla

    1



  e dall’asse attorno all’asse

g x sin x x

curva , dalla retta x x, e

2

V

il volume del solido generato dalla rotazione della parte di piano

2   1



 dall’asse

3 x

f x 8x

delimitata dalla curva , dalla retta e x

2

attorno all’asse x . Pertanto si ha:

1 1  

2 2

 

   

 

   2

   

2 3

V K V V sin x dx 8 x dx

1 2 0 0

12

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Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a

risolvere l’integrale definito soprastante:

1 1 1  





   

2 2 2

 

    1 cos 2 x

  

   

2

    

2 3 6

V K sin x dx 8 x dx 64 x dx

 

 2

0 0 0

1

 



   

x sin 2 x 64 1 1 5

2

  

     

 

7

x

 



   

2 4 7 4 14 28

0

Il volume W del solido generato dalla rotazione della regione R attorno

 

alla retta può essere ottenuto applicando il Principio di

y 1

Cavalieri, cioè immaginando il solido di rotazione come insieme delle

sue sezioni con piani perpendicolari all'asse x; tali sezioni sono corone

   

3

circolari di raggio interno pari a , e raggio esterno pari

R x 8 x 1

int

   



 

a . Pertanto il volume richiesto è pari a

R x sin x 1

est 1 1  

   

2 2

         

 

   2

     

2

2 2 3

V W R x R x dx sin x 1 8 x 1 dx

est int

0 0

Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a

risolvere l’integrale definito soprastante: