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Legge binomiale B(n, p) ( n in mathbb{N} , p in [0,1] ) p(k) = {(((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k}, quad "se " k in {0, 1, ldots, n}),(0, quad "altrimenti"):} Densità  ipergeometrica p(k) = {(frac{((b),(k)) c

Definizione Se (Omega, bar{A}, P) è uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria vettoriale X è una funzione X: Omega o mathbb{R}^n X(omega) = (X_1(omega), X_2(omega), ldots, X_n(omega)) dove ogni componente è una variabile al...

Valore atteso Definizione Data una variabile aleatoria discreta X che può assumere i valori x_1, x_2, ldots, x_k, ldots , si dice che X ha speranza matematica finita se e solo se sum_{k} |x_k| p(x_k) < +infty ( p è la den

Calcolare                lim_{n o +infty}{sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}   Razionalizzando il numeratore:   {sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}=1/(n(sqrt{n+1}+sqrt{n})) . Dunque lim_{n o +infty}{sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}= lim_{n o +infty}1/(n(sqrt{n+1}+

Calcolare     lim_{n o +infty}n( n^(-1/n)-1)   Grazie alla nota identità  x=e^(log x) (per x>0 ) si ha n^(-1/n)=e^(log (n^(-1/n)))=e^((-log n)/n) . Sapendo che (log n)/n o 0 se n o +infty          (1) riscrivo il termine generale come

Risolvere la seguente equazione 3^(x+2)-3^(1-x)-26=0 Applicando le note regole delle potenze, possiamo scrivere l'equazione in questo modo 9*3^x-3*3^(-x)-26=0 9*3^x-3/3^x-26=0 Poniamo 3^x=t ricordando t>0 e moltiplichiamo ambo i membri per t 9t^...

Data la parabola di equazione y=x^2-4 trovare l'equazione della retta orizzontale che interseca la conica formando una corda di lunghezza sqrt5 Il ragionamento è questo: anzitutto ricordiamo che una retta orizzontale generica è del tipo...

Studiare la convergenza del seguente integrale int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} dx (1) Dato che lim_{x o pm infty} e^{-x^2} = 0 la condizione necessaria per la convergenza è verificata. La funzione integranda, definita e continua

Si risolva l'equazione cosx-sinx+1-sin2x=0 Intanto è necessario portare il termine con argomento 2x a argomento x sapendo che sin2x=2sinxcosx L'equazione è perciò cosx-sinx+1-2sinxcosx=0 A questo punto possiamo percorrere varie st...

Si consideri una variabile aleatoria X uniformemente distribuita nell'intervallo [5, 10] . Calcolare la densità  di probabilità  della variabile aleatoria Y = 1/X.

Si studino i seguenti fasci di rette (k+1)x+(2k-1)y+k+2=0 (k-3)x-(2k-6)y+k=0 Per prima cosa c'è da stabilire se si tratta di un fascio proprio o improprio.Si ricorda che un fascio si dice proprio se le rette che lo compongono condividono il passaggi...

Si risolva ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1) Innanzitutto imponiamo che gli argomenti siano positivi, per l'esistenza del logaritmo x+1>0 x-2>0 x-1>0 x^2-1>0 il risultato che soddisfa tutte le precedenti diseq

Calcolare il seguente integrale indefinito: int frac{1}{(1+x^2)^2}dx Ponendo t = "arctg"(x) si ottiene dt = frac{1}{1+x^2}dx e x = "tg"(t) , e l'integrale di partenza si può riscrivere come int frac{1}{(1+x^2)^2}dx = in

Una moneta e un dado non truccati vengono lanciati ripetutamente. Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?

Scomporre in fattori la seguente espressione b^2(a-1)+a^2(a-1)+(a-b)(a-1)-2ab(a-1) Appare subito evidente che c'è un immediato fattor comune, la parentesi a-1 Raccogliamola (a-1)[b^2+a^2+(a-b)-2ab] Ora occupiamoci della parentesi quadra, riscriven...

Dato n > 1 , sia alpha:M_{n}(mathbb{C}) ightarrow M_{n}(mathbb{C}) l'applicazione definita come: alpha(M)=M^t (l'esponente t indica la trasposizione, mentre M_{n}(mathbb{C}) indica lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine

Per questo problema si useranno equazioni semplici, per far si che vengano calcoli altrettanto facili e comprensibili. Qualora altri problemi, dello stesso tipo, presentassero calcoli più complessi, non temete: il procedimento rimane tale e quale,...

E' dato il fascio di rette di equazione (k+2)x+(3-k)y+k+1=0 Determinare: 1)La natura del fascio 2) I valore del parametro della retta che intersecando gli assi forma un triangolo di superficie 1. 1) Vediamo se il fascio è propri...

Siano mathcal{V} e mathcal{W} spazi vettoriali sullo stesso campo mathcal{K} e siano phi: mathcal{V} o mathcal{W} , psi: mathcal{W} o mathcal{V} trasformazioni lineari da mathcal{V} a mathcal{W} e, rispettivamente, da mathc

Calcolare lim_{x o 0} frac{sin(ln(1-x))}{sin(x)} (1) Ponendo t = -x , e ricordando che il seno è una funzione dispari, (1) diventa lim_{t o 0} - frac{sin(ln(1 + t))}{sin(t)} = lim_{t o 0} - frac{sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} frac