In questo appunto andremo ad analizzare alcuni concetti fondamentali dell'insiemistica. Dando già per buono il concetto di insieme, verrà approfondito il concetto di sottoinsieme e di insieme delle parti.
Sottoinsieme
Sia dato un insieme[math] A [/math]
. Diciamo che [math] B [/math]
è un sottoinsieme di [math] A [/math]
(e si scrive [math] B \subseteq A [/math]
) se ogni elemento di [math] B [/math]
compare anche in [math] A [/math]
.In altre parole, si dice che
[math] B [/math]
è un sottoinsieme di [math] A [/math]
se "si ottiene l'insieme [math] B [/math]
togliendo degli elementi di [math] A [/math]
, senza aggiungerne altri."
Ad esempio, se [math] A = \{3, 7\}, \ \ B = \{3, 4, 7\} [/math]
si ha che [math] A \subseteq B [/math]
poiché [math] 3 \in B, 7 \in B [/math]
. Si ricorda che il simbolo [math] \in [/math]
vuol dire appartiene a. Si osserva che
[math] 4 \not \in A [/math]
, ma questo non è un problema perché serve solo che tutti gli elementi del primo insieme siano nel secondo, non è necessario il viceversa.Un ulteriore controesempio è costituito da
[math] A = \{2, 4\}, \ \ B = \{3, 4\} [/math]
, qui non è possibile dire che [math] A \subseteq B [/math]
poiché [math] 2 \in A, 2 \not \in B [/math]
.Passiamo ora al concetto di insieme delle parti.
Insieme delle parti di un insieme
L'insieme delle parti di un insieme è costituito da tutti i sottoinsiemi di un dato insieme.Si può dimostrare che se
[math] A [/math]
è un insieme di cardinalità (ovvero: numero di elementi) [math] n [/math]
, allora la cardinalità dell'insieme delle parti [math] P(A) [/math]
vale [math] 2^n [/math]
. In altre parole, sono [math] 2^n [/math]
tutti i sottoinsiemi possibili di un insieme di [math] n [/math]
elementi, è incluso l'insieme vuoto.Come esempio, consideriamo il seguente esercizio:
Dato l'insieme
[math] A = \{a, b, c\}[/math]
determinare tutti i sottoinsiemi di [math] A [/math]
.Si osserva che
[math] A [/math]
contiene [math] 3 [/math]
elementi, quindi ha senso aspettarci [math] 2^3 = 8 [/math]
sottoinsiemi.Suddividiamoli in gruppi:
- Insiemi a cardinalità 0: [math] \emptyset [/math]
- Insiemi a cardinalità 1: [math] \{a\}, \{b\}, \{c\} [/math]
- Insiemi a cardinalità 2: [math] \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\} [/math]
- Insiemi a cardinalità 3: [math] \{a, b, c\} [/math]
[math] 1 + 3 + 3 + 2 = 8 [/math]
sottoinsiemi.
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