Una scatola contiene delle schede contenenti i dati personali dei dipendenti di una ditta. Di questi dipendenti, il 20% sono uomini e l80% sono donne. Estraiamo una scheda a caso e annotiamo se si tratta di un uomo o di una donna. Prima di scegliere un'a

di _stan

Ominide

3 min

Vota

Consideriamo una variabile aleatoria X bernoulliana che assume i valori 0 e 1 nel seguente modo:

[math]X_i = 1[/math]

se la i-esima scheda scelta riguarda un uomo, mentre

[math]X_i = 0[/math]

se la i-esima scheda scelta riguarda una donna. Sapendo che il 20% dei dipendenti sono uomini, possiamo a?ermare che la probabilit di successo di ogni variabile

[math]p = 0,2[/math]

. Ricordando le propriet delle variabili aleatorie di Bernoulli, possiamo anche a?ermare che:

[math]E[X_i] = p = 0,2[/math]

e che

[math]Var(X_i) = p(1-p) = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16[/math]

La proporzione di schede corrispondenti a dipendenti uomini pu essere scritta come la media campionaria

[math]ar X_n[/math]

, in quanto abbiamo scelto di attribuire il successo al fatto che vengano estratte schede riguardanti uomini.

Per risolvere il problema, quindi, dobbiamo calcolare la seguente probabilità:

[math] P(0,18

e trovare il valore minimo di n che renda vera la disuguaglianza precedente.

Cominciamo calcolando la probabilit:

[math] P(0,18

[math]P(0,18

[math]P(0,18 n

Possiamo risolvere la probabilit ricordando come si e?ettua lapprossimazione normale; in questo caso, sottraendo a

[math]S_n[/math]

la media (np) e dividendo per il valore

[math]sigma \cdot \sqrt{n}[/math]

, otteniamo una variabile aleatoria che pu essere approssimata con una normale standard, che indichiamo con W:

[math] P(0,18 n

[math]P \left( \frac{0.18n - np}{\sigma \cdot \sqrt{n}}

[math] P \left( \frac{0.18n - np}{\sigma \cdot \sqrt{n}}

Sostituiamo i valori della probabilità e della deviazione standard:

[math] P \left( \frac{0.18n - 0.2n}{0.4 \cdot \sqrt{n}}

[math] P \left( \frac{-0.02n}{0.4 \cdot \sqrt{n}}

Possiamo procedere semplificando ulteriormente la scrittura:

[math] P \left( W

Applicando le proprietà della normale standard si ottiene:

[math] P \left( W

[math] 2 \cdot P \left( W

La quantità che abbiamo ottenuto deve essere maggiore di 0,95, ovvero:

[math] 2 \cdot P \left( W

[math]P \left( W

[math] P \left( W

Sapendo che il quantile della v.a di ordine 0,975 1,96 (si ricava dalle tavole della Normale Standard), possiamo scrivere:

[math] P \left( W

e sapendo che la funzione di distribuzione non decrescente, si ottiene che:

[math] \frac{0.02n}{0.4 \cdot \sqrt{n}} ? 1.96 [/math]

Risolviamo quindi la disuguaglianza per trovare il valore di n:

[math] 0,02 n ? 1,96 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{n}[/math]

[math] (0,02 n)^2 ? (1,96 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{n})^2[/math]

[math] 0,0004 n^2 ? 0,614656 n[/math]

[math] 0,0004 n^2 - 0,614656 n ? 0[/math]

[math] n ? \frac{0,614656}{0,0004} = 1536,64 [/math]

Quindi possiamo concludere che occorre un n maggiore di 1536.

Una scatola contiene delle schede contenenti i dati personali dei dipendenti di una ditta. Di questi dipendenti, il 20% sono uomini e l80% sono donne. Estraiamo una scheda a caso e annotiamo se si tratta di un uomo o di una donna. Prima di scegliere un'a

Consideriamo una variabile aleatoria X bernoulliana che assume i valori 0 e 1 nel seguente modo: X_i = 1 se la i-esima scheda scelta riguarda un uomo, mentre X_i = 0 se la i-esima scheda scel...

Recensioni

Domande e risposte

I migliori insegnanti di Matematica

Giovanni C.

Salvatore F.

Appunti correlati

Una scatola contiene due schede: una di esse ha entrambi i lati rossi, mentre l'altra ha un lato rosso e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è rosso. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia rosso?

In un esame di calcolo delle probabilità ogni studenti sceglie a caso una di 3 buste. Ogni busta contiene un quesito su un argomenti diverso: la prima busta contiene una domanda sulla probabilità condizionale, la seconda busta sul teorema delle probabilit

Un'urna contiene 100 biglie, di cui 8 sono nere e le rimanenti sono bianche. Vengono estratte casualmente 3 biglie. Sia A l'evento "le 3 biglie estratte sono nere" e B l'evento "delle biglie estratte, 2 sono bianche e una è nera".

In una classe di 20 studenti si devono formare una squadra di calcio da 11 e una da basket da 5 giocatori...

Recensioni

Domande e risposte

I migliori insegnanti di Matematica

Giovanni C.

Salvatore F.