Una scatola contiene delle schede contenenti i dati personali dei dipendenti di una ditta. Di questi dipendenti, il 20% sono uomini e l80% sono donne. Estraiamo una scheda a caso e annotiamo se si tratta di un uomo o di una donna. Prima di scegliere un'a

di _stan

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Consideriamo una variabile aleatoria X bernoulliana che assume i valori 0 e 1 nel seguente modo:

[math]X_i = 1[/math]

se la i-esima scheda scelta riguarda un uomo, mentre

[math]X_i = 0[/math]

se la i-esima scheda scelta riguarda una donna. Sapendo che il 20% dei dipendenti sono uomini, possiamo a?ermare che la probabilit di successo di ogni variabile

[math]p = 0,2[/math]

. Ricordando le propriet delle variabili aleatorie di Bernoulli, possiamo anche a?ermare che:

[math]E[X_i] = p = 0,2[/math]

e che

[math]Var(X_i) = p(1-p) = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16[/math]

La proporzione di schede corrispondenti a dipendenti uomini pu essere scritta come la media campionaria

[math]ar X_n[/math]

, in quanto abbiamo scelto di attribuire il successo al fatto che vengano estratte schede riguardanti uomini.

Per risolvere il problema, quindi, dobbiamo calcolare la seguente probabilit:

[math] P(0,18 ar X_n

e trovare il valore minimo di n che renda vera la disuguaglianza precedente.

Cominciamo calcolando la probabilit:

[math] P(0,18 ar X_n

[math]P(0,18

[math]P(0,18 n

Possiamo risolvere la probabilit ricordando come si e?ettua lapprossimazione normale; in questo caso, sottraendo a

[math]S_n[/math]

la media (np) e dividendo per il valore

[math]sigma \cdot \sqrt{n}[/math]

, otteniamo una variabile aleatoria che pu essere approssimata con una normale standard, che indichiamo con W:

[math] P(0,18 n

[math]P(frac(0,18 n - np)(sigma \cdot \sqrt{n})

[math] P(frac(0,18 n - np)(sigma \cdot \sqrt{n})

Sostituiamo i valori della probabilit e della deviazione standard:

[math] P(frac(0,18 n - 0,2 n)(0,4 \cdot \sqrt{n})

[math] P(frac(- 0,02 n)(0,4 \cdot \sqrt{n})

Possiamo procedere sempli?cando ulteriormente la scrittura:

[math] P(W

Applicando le propriet della normale standard si ottiene:

[math] P(W

[math] 2 P(W

La quantit che abbiamo ottenuto deve essere maggiore di 0,95, ovvero:

[math] 2 P(W

[math]P(W

[math] P(W

Sapendo che il quantile della v.a di ordine 0,975 1,96 (si ricava dalle tavole della Normale Standard), possiamo scrivere:

[math] P(W

e sapendo che la funzione di distribuzione non decrescente, si ottiene che:

[math] frac(0,02 n)(0,4 \cdot \sqrt{n} ) ? 1,96[/math]

Risolviamo quindi la disuguaglianza per trovare il valore di n:

[math] 0,02 n ? 1,96 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{n}[/math]

[math] (0,02 n)^2 ? (1,96 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{n})^2[/math]

[math] 0,0004 n^2 ? 0,614656 n[/math]

[math] 0,0004 n^2 - 0,614656 n ? 0[/math]

[math] n ? frac(0,614656)(0,0004) = 1536,64 [/math]

Quindi possiamo concludere che occorre un n maggiore di 1536.

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