Regressione polinomiale

N

2

∂χ 1

2

X −

= 2A 2y + 2Bx + 2Cx

i i i

2

∂A σ

y i=1

N

2

∂χ 1

2 3

X −

= 2Bx 2y x + 2Ax + 2Cx

i i i

i i

2

∂B σ

y i=1 1

N

2

∂χ 1

4 2 2 3

X −

= 2Cx 2y x + 2Ax + 2Bx

i

i i i i

2

∂C σ

y i=1

ponendo uguale a zero, omettendo gli estremi di sommatoria

2

X X X

y = AN + B x + C x

i i i 3

2 X

X X X

x y = A x + B x + C x

i i i i

i

2 2 3 4

X X X X

x y = A x + B x + C x

i

i i i i

si tratta si un sistema 3x3 che in forma matriciale diventa

2

     

P P P

N x x y

A

i i

i

2 3

P P P P

x x x B x y

=

     

i i i

i i

     

2 3 4 2

P P P P

x x x C x y i

i i i i

che è del tipo A B

X =

e si può risolvere diversi modi tra cui (quello matriciale premoltiplicando per l’inversa

A)

di −1

A B

X =

Trovati i valori di A,B,C si sostituiscono in (2) e otteniamo una curva interpo-

lante di grado 2.

In generale volendo ricavare una polinomiale di grado n avremo n+1 equazioni in

A B

n+1 incognite, la matrice sarà (n+1 ) (n+1 ), le matrici e X saranno (n+1 ) (1 ).

x x

Le componenti di tali matrici saranno: 



  

 2 ni

··· P

P P

P y

N x x A

x i

i i n+1

2 ··· ··· P

P P P B x y

x x x  



   i i

i i

i 

  



 n+2 2

2 3 



  

 ··· ··· P

P P P x y

x x x C =  



   i

i i

i i 

  



 ..

.. .. .. .. ..

...  

    .

.

. . . .    

     

 

n+1 ni

ni 2n

··· ··· P

P P P Z x y

x x x i

i i

2

Risolvendo tale sistema si ottengono i valori A,B,C,...,Z da sostituire in (1), ques-

ta equazione rappresenta la regressione polinomiale di adattamento ai dati (x ,y ).

i i

Vediamo ora alcuni esempi grafici:

ecco i dati da interpolare Equazione del Tempo: ritardo di sovrarotazione cumulato

20 reale

15

10

ritardo 5

di

Minuti 0

-5

-10

-15 0 50 100 150 200 250 300 350 400

giorni dal 1/1

3

Equazione del Tempo: ritardo di sovrarotazione cumulato

20 reale

interp 3°

15

10

ritardo 5

di

Minuti 0

-5

-10

-15 0 50 100 150 200 250 300 350 400

giorni dal 1/1

Equazione del Tempo: ritardo di sovrarotazione cumulato

20 reale

interp 3°

interp 5°

15

10

ritardo 5

di

Minuti 0

-5

-10

-15 0 50 100 150 200 250 300 350 400

giorni dal 1/1

4

Equazione del Tempo: ritardo di sovrarotazione cumulato

20 reale

interp 3°

interp 5°

15 interp 7°

10

5

ritardo 0

di

Minuti -5

-10

-15

-20 0 50 100 150 200 250 300 350 400

giorni dal 1/1

Equazione del Tempo: ritardo di sovrarotazione cumulato

20

15 feb Un ritardo negativo = anticipo

gen

10 mar

5 lug ago

ritardo apr giu

0

di

Minuti dic

mag

-5 set

reale

-10 interp 3°

interp 5° ott

interp 7° nov

interp 9°

-15

-20 0 50 100 150 200 250 300 350 400

giorni dal 1/1

5

Equazione del Tempo: ritardo di sovrarotazione cumulato

17

16

15 feb

14

13

ritardo 12

di

Minuti gen

11

10 mar

reale

9 interp 3°

interp 5°

interp 7°

8 interp 9°

7 20 30 40 50 60 70 80

giorni dal 1/1

o

Considerando l’interpolazione di 9 grado abbiamo:

2 3 4 5 6 7 8 9

y = A + Bx + Cx + Dx + Ex + F x + Gx + Hx + Ix + Jx

dove

• −

A = 6.064440205052961e + 000 B = 4.883440707490081e 001

• −5.697999782569241e − −

C = 003 D = 3.686031917027322e 005

• −1.825141488165372e − −

E = 006 F = 2.847366603955792e 008

• − −

G = 2.847366603955792e 008 H = 6.164566509312907e 013

• −1.002026362553123e − −

I = 015 J = 6.447688942780012e 019

6

Vediamo ancora un esempio: ecco i dati da interpolare

Evoluzione dell"angolo giornaliero sul piano dell"Eclittica(II legge Keplero)

1.03

1.02

1.01

1

Gradi 0.99

0.98

0.97

0.96

0.95 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Giorni dal Solstizio d"Estate (21-6)

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