Regressione polinomiale

Regressione Polinomiale

Nel lavoro che segue ci proponiamo di descrivere alcune curve di adattamento con il

metodo dei minimi quadrati e di fornire un metodo iterativo per generalizzare tali

funzioni a polinomi di grado n. Esamineremo il caso semplificato di misure (x ) non

i

affette da incertezze.

Spesso possiamo esprimere una variabile, y, come polinomiale di una seconda varia-

bile x : 2 n

y = A + Bx + Cx + ... + Zx (1)

Supponiamo per esempio di avere una polinomiale di forma quadratica,

2

y = A + Bx + Cx (2)

nota una serie di valori (x , y ), i = 1,..,N per ogni x il valore y si ottiene dalla

i i i i

(2) dove A,B,C sono ancora incognite. Assumiamo che le misure degli y seguano

i

distribuzioni normali (ognuna centrata sul proprio valor medio Y e tutte con la

i

stessa deviazione standard σ ). Possiamo quindi calcolare la probabilità di ottenere

y

i valori y ,...,y come:

1 n 2

χ

−

∝

P (y ,...,y ) e 2

1 n

dove N 2 2

− − −

(y A Bx Cx )

i i i

2 X

χ = 2

σ

y

i=1

La miglior stima per A,B,C è data da quei valori per cui P (y ,...,y ) è massima, o

1 n

2 2

χ è minimo. Differenziamo quindi χ rispetto a A,B,C :

N

2

∂χ 1

2

X −

= 2A 2y + 2Bx + 2Cx

i i i

2

∂A σ

y i=1

N

2

∂χ 1

2 3

X −

= 2Bx 2y x + 2Ax + 2Cx

i i i

i i

2

∂B σ

y i=1 1

N

2

∂χ 1

4 2 2 3

X −

= 2Cx 2y x + 2Ax + 2Bx

i

i i i i

2

∂C σ

y i=1

ponendo uguale a zero, omettendo gli estremi di sommatoria

2

X X X

y = AN + B x + C x

i i i 3

2 X

X X X

x y = A x + B x + C x

i i i i

i

2 2 3 4

X X X X

x y = A x + B x + C x

i

i i i i

si tratta si un sistema 3x3 che in forma matriciale diventa

2

     

P P P

N x x y

A

i i

i

2 3

P P P P

x x x B x y

=

     

i i i

i i

     

2 3 4 2

P P P P

x x x C x y i

i i i i

che è del tipo A B

X =

e si può risolvere diversi modi tra cui (quello matriciale premoltiplicando per l’inversa

A)

di −1

A B

X =

Trovati i valori di A,B,C si sostituiscono in (2) e otteniamo una curva interpo-

lante di grado 2.

In generale volendo ricavare una polinomiale di grado n avremo n+1 equazioni in

A B

n+1 incognite, la matrice sarà (n+1 ) (n+1 ), le matrici e X sar