Ogni lato dell'angolo retto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa
Sia ABC un triangolo rettangolo in cui BÂC = 90°. Disegnamo un quadrato su AB e sia H il piede dell'altezza tirata dal vertice A. Disegnamo quindi un rettangolo avente come lati HD=BC e BH. Se prolunghiamo i due segmenti BE e HD e il segmento FG otteniamo un parallelogramma BALI (perché ha i lati opposti paralleli) e un triangolo BFI uguale al triangolo ABC.
Infatti abbiamo:
- FB = AB poiché lati di uno stesso quadrato
-
, l'angolo 
perché è l'angolo di un quadrato e BÂC per ipotesi, -
perché sono due angoli complementari dello stesso angolo 
.
Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli FBI e ABC sono uguali. Di conseguenza BI=BC, e poiché BC=HD, per transitività BI=HD. Ora, se consideriamo il parallelogramma P e il rettangolo R, osserviamo che hanno la stessa base BI=HD e la stessa altezza BH, dunque hanno la stessa area (P≡R).
La stessa cosa vale per il quadrato Q e il parallelogramma P, dato che hanno la stessa base AB e la stessa altezza BF, cioè Q≡P; per transitività, se Q≡P e P≡R, segue che Q≡R.
Passiamo ora alle relazioni metriche.
Area del quadrato = AB2, area del rettangolo = BH BC , AB2 = BH BC e infine la tesi:
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