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Teorema di Eulero Fermat - Esercizi

Esercizio 1
Determinare le ultime due cifre di
[math]7^{84539}[/math]
.
Svolgimento
Determinare le ultime due cifre di
[math]7^{84539}[/math]
vuol dire determinare
[math]7^{84539} mod 100[/math]
Siccome
[math]MCD(7, 100) = 1[/math]
, per il Teorema di Eulero - Fermat, allora:
7φ(100) ≡ 1 (mod 100). Siccome φ (100) vale 40:
740 ≡ 1 (mod 100).
Ora non ci resta che determinare 84539 modulo 40, con una semplice divisione. Risulta 19.
Di conseguenza, ci resta da determinare 719 mod 100, facendo un po' di calcoli, notiamo che c'è una ripetizione periodo 4: 7, 49, 43, 1.
Siccome 19 ≡ 3 (mod 4), allora la risposta è 43.
Esercizio 2
Qual è il resto della divisione di
[math]8213745^{987}[/math]
per 37?
Svolgimento
Ricaviamo anzitutto 8213745 modulo 37: 4.
Ora dobbiamo risolvere
[math]4^{987}[/math]
mod 37.
Ora, siccome 37 è primo, φ (37) = 36
Allora 436 ≡ 1 (mod 37)
Ora determiniamo 987 modulo 36 con una semplice divisione: 15.
Ora non ci resta altro che determinare
[math]4^{15} mod 37[/math]
. Sfruttando le proprietà delle potenze (senza calcolare direttamente 415, e si determina esattamente 11.
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