Dimostra che se un parallelogramma ha quattro lati congruenti allora le diagonali sono perpendicolari.

Dimostra che se un parallelogramma ha quattro lati congruenti allora le diagonali sono perpendicolari.

Risoluzione

Sappiamo che in ogni parallelogramma le diagonali si tagliano a metà; possiamo allora affermare che:

Inoltre, sappiamo per ipotesi che:

Consideriamo ora i quattro triangoli che si formano dalle diagonali:

,

,

,

.

Ciascuno di essi ha un lato che è il lato del parallelogramma, e due lati in comune con altri due triangoli, cosicché tutti hanno tre lati congruenti agli altri tre triangoli.

Quindi, per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, essi sono tutti e quattro congruenti. Possiamo quindi affermare che gli angoli

,

,

,

.

sono congruenti.

Poiché essi sono angoli che formano un angolo giro (360°), e sono quattro, ciascuno di essi misurerà 90°.

Le diagonali del parallelogramma sono quindi perpendicolari.