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L’IPERBOLE

Definizione: l’Iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

L'equazione che descrive l'iperbole è:

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

L’iperbole è una curva simmetrica rispetto all’asse delle x, rispetto all’asse delle y e all’origine, O(0; 0).

Se consideriamo l’equazione che rappresenta una coppia di rette passanti per l’origine O(0; 0):

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0[/math]

man mano che ci si sposta verso valori più grandi, queste due rette si comportano come l’iperbole. Questo avviene perchè aumentando i valori delle variabili x e y, il fattore 1 dopo l’uguale influisce sempre di meno e quindi le due equazioni, dell’iperbole e delle due rette, tenderanno ad assumere gli stessi valori. Scomponendo l’equazione delle due rette come differenza di quadrati si ottengono le due rette:

[math]y=±\frac{b}{a}x[/math]


Queste rette sono i due asintoti dell’iperbole. Man mano aumenta il valore della x, la distanza tra un punto della curva e l’asintoto diminuisce, ma non arrivano mai a intersecarsi. La curva all’infinito si comporta come una retta, essendo distante dall’asintoto circa 0.

Se i fuochi, F1 e F2, sono sull’asse delle x, essi hanno coordinate

[math]F_{1,2}=(±c; O)[/math]
, dove
[math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math]


Il Vertice è il punto dove l’iperbole interseca l’asse. Se i fuochi sono sull’asse delle x, b è il semiasse non traverso perchè l’iperbole non interseca l’asse delle y e a è l’asse traverso.
Se i fuochi sono sull’asse delle y , l’iperbole è

[math]\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1[/math]
, a è l’asse non traverso e b è l’asse traverso.


L'iperbole equilatera si ha quando a = b. L'equazione diventa:

[math]x^2-y^2=a^2[/math]
e gli asintoti sono
[math]y=±x[/math]
.


L’iperbole equilatera è riferita ai propri asintoti: se facciamo ruotrare il tutto di 45° in senso antiorario, notiamo che gli asintoti vengono a coincidere con gli assi, e gli assi cartesiani quindi sono asintoti dell’iperbole. In questo caso

[math]xy=K[/math]
. K è un valore costante: se è positivo,
[math]K>0[/math]
, l’iperbole si trova nel I e III quadrante. Se invece è negativo,
[math]K<0[/math]
, l’iperbole si trova nel II e IV quadrante. Se
[math]K=0[/math]
l’iperbole non esiste, rimane solo il punto O(0; 0).

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