Progressioni geometriche
Cominciamo con due esempi.
Consideriamo la successione di numeri:
Esempio 1
3, 6, 12, 24, 48, 96
3 × 2 = 6; 6 × 2 = 12; 12 × 2 = 24; 24 × 2 = 48; 48 × 2 = 96.
La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando il precedente per 2. Si dice anche che la successione precedente è una progressione geometrica.
«3» è il primo termine della progressione, «96» è l’ultimo termine e «2» (il numero che moltiplica un termine per avere il successivo) si chiama ragione della progressione. Inoltre, visto che i termini aumentano sempre, la progressione considerata è crescente.
Consideriamo la successione di numeri:
Esempio 2
36, 24, 12, 6
36 × ½ = 18; 18 × ½ = 9; 9 × ½ = 4,5; 4,5 × ½ = 2,25.
La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando il precedente per ½. La successione precedente è una progressione geometrica di ragione ½. I termini della successione diminuiscono sempre e la progressione considerata è decrescente.
Possiamo generalizzare quanto visto negli esempi con la seguente definizione:
Una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra due termini consecutivi della successione è costante.
Questa costante si chiama ragione della progressione stessa: se la ragione è positiva e maggiore di 1, la successione è crescente; se la ragione è compresa tra zero e 1 (1 escluso), la successione è decrescente; se la ragione è uguale a 1 la successione è costante (tutti i suoi termini sono uguali); se la ragione è negativa la successione è oscillante (i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi).
Simbolicamente, indicando con an il termine n-simo della successione e con q la sua ragione, possiamo scrivere:
a2 = a1q
a3 = a2q = a1qq = a1q2
a4 = a3q = a1qqq = a1q3
...
an = an-1q = a1qq...q = a1qn-1
dove l’ultima espressione:
an = a1qn − 1 (1)
fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (an) di una progressione geometrica di cui si conosce il primo termine (a1) e la ragione (q).
Esempio 3
Calcolare il quinto termine di una progressione geometrica per cui il primo termine vale 2 e la ragione vale ¾.
Applicando la formula precedente, abbiamo subito:
a5 = a1q4 = 2 × (¾)4 = 2 × 81/256 = 162/256 = 81/128.
Esempio 4
Calcoliamo l’interesse composto di un capitale C0 depositato in banca per n anni con un interesse percentuale annuo uguale a i.
Alla fine di ogni anno abbiamo la seguente situazione:
| Anno | Capitale |
|---|---|
| 1 | C0 + i C0 = C0(1+i) = C1 |
| 2 | C1 + i C1 = C0(1+i)+i C0(1+i) = C0(1+i)(1+i) = C0(1+i)2 = C2 |
| 3 | C2 + i C2 = C0(1+i)2 + i C0(1+i)2 = C0(1+i)2(1+i) = C0(1+i)3 = C3 |
| ... | ... |
| n | C0(1+i)n = Cn |
Possiamo allora notare che
- La successione: C0, C1, C2, C3,..., Cn è una progressione geometrica il cui primo termine è C0 e la cui ragione è 1+i;
- Alla fine dell’n-simo anno di deposito il capitale Cn è dato da Cn = C0(1+i)n.
Allora se C0 = 1 ML (un milione di lire) e i = 7%, dopo 10 anni il capitale sarà uguale a:
C10 = 1 ML × (1 + 7/100)10 = 1 ML × (107/100)10 ≈ 1967,15 ML,
cioè quasi raddoppiato.
R. SANTORO: Progressioni geometriche 2
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