Le progressioni aritmetiche

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Progressioni aritmetiche

Cominciamo con due esempi:

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 1

3, 7, 11, 15, 19, 23

+4   +4

+4   +4

+4

La successione è tale che si passa da un termine al successivo aggiungendo sempre +4. Si dice anche che la successione precedente è una progressione aritmetica.

‘3’ è il primo termine della progressione, ‘23’ è l’ultimo termine e ‘+4’ (il numero che si aggiunge ad un termine per avere il successivo) si chiama ragione della progressione.

Inoltre, visto che i termini aumentano sempre, la progressione considerata è crescente.

Consideriamo la successione di numeri:

Esempio 2

15, 9, 3, -3

-6   -6   -6

La successione è tale che si passa da un termine al successivo aggiungendo sempre -6. La successione precedente è una progressione aritmetica di ragione -6.

I termini della successione diminuiscono sempre e la progressione considerata è decrescente.

Possiamo generalizzare quanto visto nei due esempi precedenti con la seguente definizione:

Una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tale che la differenza tra due termini consecutivi della successione è costante.

Questa costante si chiama ragione della progressione stessa: se la ragione è positiva la successione è crescente, se la ragione è negativa la successione è decrescente.

Simbolicamente, indicando con a_n il termine n-simo della successione e con d la sua ragione, possiamo scrivere:

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d = a₁ + d + d = a₁ + 2d

a₄ = a₃ + d = a₁ + 2d + d = a₁ + 3d

...

a_n = a_n-1 + d = a₁ + (n-2)d + d = a₁ + (n - 1)d

dove l’ultima espressione: a_n = a₁ + (n - 1)d (1)

fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (a_n) di una progressione aritmetica di cui si conosce il primo termine (a₁) e la ragione (d).

R. SANTORO: Progressioni aritmetiche 2

Esempio 3

Calcolare il 13-mo termine di una progressione aritmetica per cui il primo termine vale 2 e la ragione vale 5.

Applicando la formula precedente, abbiamo subito:

a₁₃ = a₁ + (13-1)d = 2 + 12×5 = 2 + 60 = 62.

La relazione (1) può essere utilizzata per calcolare uno qualunque degli elementi presenti a partire dagli altri.

Così possiamo scrivere anche le relazioni:

a₁ = a_n − (n − 1)d (2)

d = (a_n − a₁) / (n − 1) (3)

n = 1 + (a_n − a₁) / d (4)

Esempio 4

Calcolare la ragione di una progressione aritmetica di cui si conosce il primo termine uguale a 4 ed il 15-mo uguale a 21.