Problema di simulazione di un duopolio
(Autore Smith)
Mr. Smith vuole capire come funziona il duopolio di Cournot e decide di rivolgersi all'amico Hume (anche lui scozzese) che ha appena pubblicato, su matematicamente.it nella sezione problem solving avanzato, il caso denominato "Mono Vs Oligo". Il caso è veramente completo perché tratta il monopolio, il duopolio, il tripolio e l'oligopolio.
Smith si concentra sul duopolio e trova risposta a tutti i suoi dubbi e alle sue domande: massimizzazione dei profitti, curve di reazione, calcolo delle quantità da produrre q1 e q2 di equilibrio.
In particolare Hume, nel suo esempio, mostra che le quantità di equilibrio si calcolano risolvendo il sistema lineare di due equazioni nelle 2 incognite q1 e q2.
q1 = (a - MC1 - kq2)/2kq2 = (a - MC2 - kq1)/2k
Essendo:
k = 4a = 170MC1 = 58MC2 = 61
Si trova facilmente:
q1 = 9.6q2 = 8.8
Cosa altro può voler sapere Mr. Smith? Il fatto è che ha letto un bel libro: "Sulle Orme del Caos" messo in rete dalla università di Urbino dove si trova scritto (http://www.econ.uniurb.it/materiale/5664_SulleOrmedelCaos.pdf):
a) L'ipotesi di Cournot è la seguente: Il produttore 1 assume che il produttore 2 produrrà nel periodo attuale (n+1) quanto ha prodotto in quello precedente (n). Analogo ragionamento fa il produttore 2.
b) L'equilibrio di Cournot è un punto fisso (alcuni lo hanno ribattezzato di Cournot-Nash) che è indipendente dalle produzioni (q1 e q2), relative al periodo iniziale (n = 0), delle due aziende.
Soluzione: simulazione di un duopolio
(Autore Smith)
Per prima cosa (punto a) Smith riscrive le equazioni di Hume nella seguente forma ricorsiva (dove q1 e q2 si intendono calcolati al periodo n):
q1n+1 = (a - MC1 - kq2)/2k
q2n+1 = (a - MC2 - kq1)/2k
Dunque entrambe le aziende assumono, in mancanza di altre e più precise informazioni, che la produzione del concorrente nel periodo n+1 sia uguale a quella del periodo precedente (n).
La produzione iniziale (q1 e q2 calcolata per n = 0, quadratino verde nel modello) viene generata casualmente (funzione Casuale() di Excel) entro ragionevoli limiti.
Si è assunto: 0 < q1, q2 < 30.
Il ritratto di fase mostra che, indipendentemente dalle condizioni iniziali, il punto fisso risultante è sempre: q1 = 9.6 e q2 = 8.8 (visivamente dove si addensano i quadratini neri).
L'andamento temporale delle variabili q1 e q2 mostra che, dopo circa 10 periodi, esse si stabilizzano. Forse a questo ci si riferiva scrivendo che l'equilibrio è asintoticamente stabile.
Il foglio Mod. Simul. presenta il modello di simulazione discreta di Smith: premendo F9 si possono variare le condizioni/produzioni iniziali. Il punto fisso finale (in nero) è sempre lo stesso.
Trasformazioni iterate affini - frattali
n q1 q2
- 0 9,17960009 8,2843951
- 1 9,8578024 9,0351995
- 2 9,4824002 8,6960987
- 3 9,6519506 8,8837998
- 4 9,5581000 8,7990246
- 5 9,6004876 8,8459499
- 6 9,5770250 8,8247561
- 7 9,5876219 8,8364874
- 8 9,5817562 8,8311890
- 9 9,5844054 8,8341218
- 10 9,5829390 8,8327972
- 11 9,5836013 8,8335304
- 12 9,5832347 8,8331993
- 13 9,5834003 8,8333826
- 14 9,5833086 8,8332998
- 15 9,5833500 8,8333456
- 16 9,5833271 8,8333249
- 17 9,5833375 8,8333364
- 18 9,5833317 8,8333312
- 19 9,5833343 8,8333341
- 20 9,5833329 8,8333328
- 21 9,5833335 8,8333335
- 22 9,5833332 8,8333332
- 23 9,5833333 8,8333333
- 24 9,5833333 8,8333333
- 25 9,5833333 8,8333333
- 26 9,5833333 8,8333333
- 27 9,5833333 8,8333333
- 28 9,5833333 8,8333333
- 29 9,5833333 8,8333333
- 30 9,5833333 8,8333333
- 31 9,5833333 8,8333333
- 32 9,5833333 8,8333333
- 33 9,5833333 8,8333333
- 34 9,5833333 8,8333333
- 35 9,5833333 8,8333333
- 36 9,5833333 8,8333333
- 37 9,5833333 8,8333333
- 38 9,5833333 8,8333333
- 39 9,5833333 8,8333333
- 40 9,5833333 8,8333333
q1n+1 = (a - MC1 - k*q2)/2k
q2n+1 = (a - MC2 - k*q1)/2k
minq = 0
Maxq = 30
k = 4
a = 170
MC1 = 58
MC2 = 61
Istruzioni
Per cambiare random (entro minq e Maxq) le produzioni iniziali (n=0) q1 e q2 premere F9.
minq e Maxq possono essere variati manualmente.
I 4 parametri k, a, MC1, MC2 possono essere modificati manualmente.
Spazio delle fasi
q2
q1
n
Duopolio di Cournot
Mr. Smith vuole capire come funziona il duopolio di Cournot e decide di rivolgersi all'amico Hume, anche lui scozzese, che ha appena pubblicato su matematicamente.it, nella sezione problem solving avanzato, il Caso denominato "Mono Vs Oligo". Il Caso è veramente completo perché tratta il monopolio, il duopolio, il tripolio e l'oligopolio. Smith si concentra sul duopolio e trova risposta a tutti i suoi dubbi e alle sue domande: massimizzazione dei profitti, curve di reazione, calcolo delle quantità da produrre q1 e q2 di equilibrio.
In particolare Hume, nel suo esempio, mostra che le quantità di equilibrio si calcolano risolvendo il sistema lineare di due equazioni nelle 2 incognite q1 e q2.
q1 = (a - MC1 - kq2)/2k
q2 = (a - MC2 - kq1)/2k
Essendo:
k = 4
a = 170
MC1 = 58
MC2 = 61
Si trova facilmente: q1 = 9.6 q2 = 8.8
Cosa altro può voler sapere Mr. Smith? Il fatto è che ha letto un bel libro: "Sulle Orme del Caos", messo in rete dall'università di Urbino, dove si trova scritto ( ):
- a) L'ipotesi di Cournot è la seguente: Il produttore 1 assume che il produttore 2 produrrà nel periodo attuale (n+1) quanto ha prodotto in quello precedente (n). Analogo ragionamento fa il produttore 2.
- b) L'equilibrio di Cournot è un punto fisso, alcuni lo hanno ribattezzato di Cournot-Nash, che è indipendente dalle produzioni (q1 e q2), relative al periodo iniziale (n = 0), delle due aziende.
- c) L'equilibrio di Cournot risulta essere asintoticamente stabile.
Smith è peggio di San Tommaso, che non ci crede se non lo vede. Riuscirà a costruire un semplice modello di simulazione dinamica discreta che gli consenta di verificare/vedere/comprendere i punti a, b, c elencati sopra?
Soluzione (Smith)
Per prima cosa, punto a, Smith riscrive le equazioni di Hume nella seguente forma ricorsiva, dove q1 e q2 si intendono calcolati al periodo n:
q1n+1 = (a - MC1 - kq2)/2k
q2n+1 = (a - MC2 - kq1)/2k
Dunque entrambe le aziende assumono, in mancanza di altre e più precise informazioni, che la produzione del concorrente nel periodo n+1 sia uguale a quella del periodo precedente (n).
La produzione iniziale, q1 e q2 calcolata per n = 0, quadratino verde nel modello, viene generata casualmente, funzione Casuale() di Excel, entro ragionevoli limiti.
Si è assunto: 0 < q1, q2 < 30.
Il ritratto di fase mostra che, indipendentemente dalle condizioni iniziali, il punto fisso risultante è sempre: q1 = 9.6 e q2 = 8.8, visivamente dove si addensano i quadratini neri.
L'andamento temporale delle variabili q1 e q2 mostra che, dopo circa 10 periodi, esse si stabilizzano. Forse a questo ci si riferiva scrivendo che l'equilibrio è asintoticamente stabile.
Il foglio Mod. Simul. presenta il modello di simulazione discreta di Smith: premendo F9 si possono variare le condizioni/produzioni iniziali. Il punto fisso finale, in nero, è sempre lo stesso.
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