Analisi I e II università : Successioni in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

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Successioni in Rⁿ

Siano x^(k), x^(k), . . . , x_n^(k) successioni a valori in R. Una successione a valori in Rⁿ è una successione del tipo

x^(k) = (x₁^(k), x₂^(k), . . . , x_n^(k))

in cui ogni componente dà luogo ad una successione di numeri reali. Pertanto una successione a valori in Rⁿ dà luogo ad n successioni a valori in R.

Esempio: (1/k, k²), k ∈ N \ {0}, è una successione a valori in R².

Figura 1: Rappresentazione grafica della successione considerata

Definizione

Sia x^(k) una successione a valori in Rⁿ e sia x ∈ Rⁿ. Si dice che x^(k) converge a x, in simboli x^(k) → x, se

∀ε > 0 ∃k^* ∈ N : ∥x^(k) − x∥ < ε ∀k ≥ k^*

ovvero se comunque si scelga ε > 0, esiste un k^* ∈ N tale che per ogni k ≥ k^* la distanza fra x^(k) e x è minore di ε.

In particolare, sia x^(k) = (x₁^(k), x₂^(k), . . . , x_n^(k)) e sia x = (x₁, x₂, . . . , x_n).

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Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Proposizione

La successione x^(k) converge a x se e solo se ciascuna componente della successione converge alla rispettiva componente del vettore x. Quindi

x^(k) → x ⇔

• x₁^(k) → x₁
• x₂^(k) → x₂
• x₃^(k) → x₃
• ..
• x_n^(k) → x_n

Esempio: Si consideri la successione dell’esempio precedente

x^(k) = (x₁^(k), x₂^(k)) = (1/k, k²), k ∈ N \ {0}.

Risulta x₁^(k) → 0 e x₂^(k) → +∞.

La prima componente converge, la seconda no, pertanto la successione non converge.

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Esempio: Si consideri la seguente successione a valori in R³

x^(k) = (e^−k, cos(k²/(k² + 1)), 1/k).

Visto che

e^−k → 0, cos(k²/(k² + 1)) → cos(1) e 1/k → 0,

allora la successione x^(k) converge a (0, 1, 1).

Punti di accumulazione di un insieme

Sia A ⊂ Rⁿ un sottoinsieme di Rⁿ.

Si dice che x ∈ Rⁿ è un punto di accumulazione di A se ∀R > 0 risulta B(x, R) ∩ A \ {x} ≠ ∅,

• Cioè se ogni intorno sferico aperto di x interseca A in (almeno) un punto diverso da x.
• Se x ∈ A non è di accumulazione per A allora x è un punto isolato di A.