Sistemici dinamici discreti: mappe di ricorrenza

In questo articolo si toccano in maniera semplice e non specialistica diversi temi di matematica applicata che includono: mappe ed equazioni differenziali, biologia matematica, sistemi dinamici, management e lavoro di squadra. Gli argomenti presentati sono:

• il modello di Lorenz per le previsioni meteorologiche;
• il modello Preda - Predatore di Volterra;
• il modello di competizione per il cibo di Volterra;
• il modello di May e una sua estensione bi-dimensionale;
• il dilemma del prigioniero e l'equilibrio di Nash;
• l'alternativa cooperazione/competizione nelle organizzazioni.

E' disponibile il foglio Excel che permette al lettore di effettuare simulazioni con i propri parametri e le proprie condizioni iniziali.

Abstract

Discrete Dynamic Systems (DDS) : Recurrence Maps (Roberto Chiappi) This article, written in plain style and addressed to non specialist readers, has broadly educational purposes. The issues which are brought up belong to the field of applied mathematics and include:

• mathematic biology;
• dynamic systems;
• management and team work.

The subjects discussed include:

• the Lorenz weather forecast model;
• the Volterra predator / prey model;
• the Volterra competition for food model;
• the May Logistic model and two-dimensional extension;
• the Prisoner's Dilemma and Nash equilibrium;
• the cooperation vs competition alternative in organizations.

Introduzione: Mappe ed Equazioni differenziali

Una mappa di ricorrenza è sostanzialmente una regola che determina lo stato del sistema al tempo a partire dallo stato del sistema al tempo (con ): La discretizzazione non è affatto innaturale, si pensi ad esempio al computo degli interessi finanziari, e alle relative capitalizzazioni, che possono essere annue, semestrali, mensili ecc. Anche se concettualmente nulla lo impedisce, esistono anche tavole per il calcolo continuo degli interessi, nessuno penserebbe però nella realtà odierna ad un tale computo. I sistemi dinamici continui sono invece retti da equazioni differenziali del tipo: Le equazioni differenziali, più complesse da trattare delle mappe, nascono ai tempi di Leibnitz e Newton mentre le mappe, più semplici, nascono negli anni 60-70 dello scorso secolo, soprattutto grazie alla diffusione dei computer digitali (i computer analogici, che trattavano variabili continue, sono presto andati in pensione in quanto i loro risultati potevano essere simulati meglio/più efficientemente sui calcolatori digitali). I due tipi di sistemi dinamici, discreti e continui, non sono completamente slegati come potrebbe sembrare a prima vista. Si può sovente mostrare che le differenze tra i due è più apparente che sostanziale in quanto le caratteristiche essenziali di una equazione differenziale possono essere sovente tradotti in termini di una mappa ricorrente. L'idea di ridurre le equazioni differenziali ad una mappa, per studiarne gli aspetti qualitativi salienti (punti fissi, attrattori periodici o caotici) è dovuta a Poincaré anche se in precedenza Eulero aveva mostrato come approssimare una equazione differenziale mediante equazioni alle differenze finite, che sono del tutto simili alle mappe ricorsive. Aprossimazione di Eulero essendo il passo d'integrazione (numero piccolo, ). Modello di Lorenz Negli anni 50-60 dello scorso secolo un metereologo matematico, Edward Lorenz, studiando l'evoluzione delle condizioni meteo, giunse a formulare il seguente sistema di equazioni differenziali per le previsioni meteorologiche: Si racconta che un giorno Lorenz, volendo riprendere e prolungare una simulazione effettuata nei giorni precedenti, avesse reinserito nel suo computer i valori numerici ottenuti a metà simulazione (all'epoca i computer stampavano/calcolavano al massimo tre/sei cifre decimali). Con grande stupore Lorenz osservò che la nuova simulazione non ripercorreva i valori numerici della precedente, ma al contrario ben presto divergeva inspiegabilmente da essi. All'inizio pensò ad un errore, ma così non era. C'era qualcosa insito nel sistema dinamico in studio (Il meteo). In successive conferenze Lorenz parlò di dipendenza forte dalle condizioni iniziali e dell'effetto farfalla forse ispirato dal diagramma generato dall'attrattore (caotico) di Lorenz, che somiglia proprio a tale insetto. "Può, il batter d'ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?", fu il titolo di una conferenza da lui tenuta nel 1972. Già nel secolo precedente H.Poincaré aveva scritto: "Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di vedere… può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile e si ha un fenomeno fortuito". Le intuizioni ed i lavori di Poincaré furono riscoperti negli anni 50 - 70 dello scorso secolo. Essi, grazie anche ai miglioramenti continui della capacità di memoria e dei tempi di calcolo dei computer digitali, portarono alla nascita di un nuovo paradigma scientifico: "il Caos deterministico". Sino a quel momento si pensava che determinismo (in antitesi ai modelli probabilistici) e predicibilità dei fenomeni, fossero la stessa cosa. Laplace aveva affermato, pensando alle equazioni differenziali, che una mente superiore, in grado di conoscere in un certo istante posizione e velocità di tutte le particelle dell'universo, avrebbe potuto prevederne ogni sviluppo futuro. Così non è; infatti come aveva ben intuito Poincaré, un piccolo errore nella valutazione delle condizioni iniziali può comportare una evoluzione del sistema del tutto imprevedibile (benché esso sia completamente deterministico). Toccheremo con mano questo fenomeno scrivendo, nel seguito, della mappa logistica del biologo evoluzionista Robert May e di una sua possibile generalizzazione bi-dimensionale.

La mappa di Henon

Si tratta di una mappa bidimensionale, proposta nel 1976 dall'\astronomo Henon, con lo scopo di fornire un modello, il più semplice possibile, capace di mostrare le proprietà essenziali dell'attrattore strano presente nel modello di Lorenz. In particolare, la mappa giocò un ruolo fondamentale per capire la struttura geometrica del modello di Lorenz. Henon Assistendo ad una conferenza di Lorenz sugli "attrattori strani", pensò che queste nuove teorie matematiche, potessero spiegare i risultati da lui ottenuti nel 1962 osservando il movimento delle stelle all'interno di una galassia. Studiando il ritratto di fase della sua mappa (ottenuta con 10.000 iterazioni; noi ci fermeremo a 100, ma chi lo desidera può estenderle utilizzando lo stesso foglio Excel) Henon osservò che essa presentava caratteristiche di auto somiglianza (il dettaglio riproduce l'intero insieme) e che pertanto aveva una tipica struttura frattale. Tale figura era un attrattore caotico che venne chiamato "attrattore strano di Henon". Mappa di Henon La mappa, con e (e condizioni iniziali ), genera i seguenti risultati: Valore numerico delle prime 10 Iterazioni

Iteraz [math]n[/math]	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0	0
1	1	0
2	-0.4	0.3
3	1.076	-0.12
4	-0.74089	0.3228
5	0.554322	-0.22227
6	0.347552	0.166297
7	0.997188	0.104265
8	-0.28787	0.299156
9	1.183139	-0.08636
10	-1.0461	0.354942

Grafico delle prime 100 iterazioni: Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Il Modello Preda-Predatore

La nascita della ecologia matematica si fa usualmente coincidere con gli anni 30 dello scorso secolo quando il biologo Umberto D'Ancona, coinvolse il suocero e matematico Vito Volterra, nello studio di alcune fluttuazioni osservate nella popolazione dei pesci in Adriatico. I biologi del tempo cercavano di mettere in relazione tali fluttuazioni con i vari fattori esogeni come il clima, la pesca o la quantità di nutrienti presenti in mare. L'approccio di Volterra fu completamente diverso. Ipotizzò infatti un sistema di prede e predatori viventi nella stessa nicchia ecologica. L'approccio dunque da esogeno divenne endogeno (interno al sistema), ma il successo fu decretato, oltre che dalla semplicità, dalla capacità del modello matematico di descrivere molto bene le fluttuazioni periodiche delle popolazioni di prede e predatori. Il modello ha avuto poi numerose conferme sia in laboratorio (culture batteriche), sia in natura nel rapporto tra Erbivori e Carnivori che condividevano lo stesso territorio. In particolare esso è stato applicato con successo alla analisi dell'andamento delle popolazioni di Lepri e Linci in alcune regioni del Canada. Volterra (e Lotka che era poco prima arrivato alle sue stesse conclusioni) descrisse il modello in termini di equazioni differenziali. La trattazione originale è ben riassunta nell'articolo di Hume, pubblicato su www.skuola.net di cui si riferisce in bibliografia. Nel seguito invece il modello di Volterra è rappresentato in termini discreti (ore, giorni, settimane, mesi, anni…) mediante mappe. Modello di Volterra

[math]X_{n + 1} = X_n\cdot (1 + r) - s\cdot X_n^2 - b\cdot X_n \cdot Y_n[/math]

[math]Y_{n + 1} = Y_n\cdot (-e + c \cdot X_n)[/math]

Siano e le rispettive densità di prede e predatori, vale a dire il numero di prede e predatori per unità di superficie dell'ecosistema nel quale vivono. La densità () delle prede nel periodo successivo dipende da tre fattori: 1) la numerosità della popolazione nel periodo precedente moltiplicata per il tasso nascite-morti . Se ci si fermasse a questo punto avremo la crescita geometrica di una popolazione ipotizzata da Malthus. L'ipotesi di crescita esponenziale non è realistica in quanto la densità degli individui- prede è comunque limitata sia dagli spazi fisici sia dalla disponibilità di cibo. 2) Volterra ha introdotto un termine quadratico negativo per rappresentare questa limitatezza. 3) Inoltre Volterra ha introdotto il termine (negativo sempre per le prede) per rappresentare i contatti preda/predatore che riducono, attraverso appunto la predazione, la densità delle prede poiché esse vengono divorate. La densità dei predatori è più semplice da spiegare in considerazione del fatto che, 1) in assenza di prede , essi sono destinati ad estinguersi infatti il modello assume che le prede siano le uniche fonti di cibo dei predatori, 2) . All'aumentare delle prede aumenta il cibo e dunque la possibilità di sopravvivenza, riproduzione e densità dei predatori. Il Punto Fisso Il concetto di "punto fisso" è trasversale nella matematica applicata e tocca discipline diverse come: il calcolo numerico, la teoria dei giochi, l'ottimizzazione, le equazioni differenziali, i sistemi dinamici discreti, ecc. Un punto fisso può essere un attrattore o un repulsore. Nelle equazioni differenziali un punto fisso coincide con un punto di stazionarietà, dunque, ad esempio, i punti che soddisfano le condizioni: Nelle mappe ricorrenti un punto fisso si ha quando l'iterazione successiva è uguale alla precedente. Vediamone l'applicazione al sistema discreto, tratto dal modello di Volterra, in cui si trovano punti fissi se:

[math]X_{n + 1} = X_n[/math]

[math]Y_{n + 1} = Y_n[/math]

Dunque se:

[math] \displaystyle X_n\cdot (1 + r) - s\cdot X_n^2 - b\cdot X_n\cdot Y_n = X_n [/math]

[math] \displaystyle Y_n\cdot (-e + c\cdot X_n) = Y_n) [/math]

Riscrivendo in forma fattorizzata:

[math] \displaystyle X_n\cdot (r - s\cdot X_n - b\cdot Y_n) = 0 [/math]

[math]\displaystyle Y_n\cdot (-e -1 + c\cdot X_n) = 0 [/math]

Risolvendo si trovano tre Punti Fissi: . Soluzione banale di non esistenza o di estinzione sia delle prede () che dei predatori (). . Rappresenta l'assenza di predatori (), dunque le prede () si assestano al massimo concesso dal cibo e spazio della propria nicchia ecologica. . Rappresenta il punto fisso di coesistenza tra prede e predatori di cui, nella 1° Simulazione, si riporta un esempio numerico. 1° Simulazione: Assumiamo i seguenti parametri per la simulazione:

r =	0.5
s =	0.21
b =	1
e =	0.6
c =	1

e condizioni iniziali di bassa densità sia per le prede () che per i predatori (): . Si può osservare che i punti delle traiettorie convergono, oscillando in modo smorzato, verso il punto fisso . Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	1	0.5
1	0.79	0.2
2	0.895939	0.038
3	1.141294	0.011246
4	1.425571	0.006087
5	1.702906	0.005025
6	1.936824	0.005543
7	2.106731	0.007409
8	2.21244	0.011164
9	2.266033	0.018001
10	2.279928	0.029991

Grafico delle prime 100 iterazioni: All'inizio, si osservi, i predatori () tendono ad estinguersi a causa della scarsità delle prede (unico cibo per loro). Questo consente alle prede di crescere indisturbate. Quando le prede si avvicinano al loro picco massimo, anche i predatori cominciano a crescere grazie alla facile ed abbondante disponibilità di cibo. La crescita dei predatori implica una dr\astica diminuzione delle prede sino a raggiungere il loro minimo. Si osservi che la simulazione mostra, oscillando, un picco dei predatori che anticipa il minimo nel numero delle prede. I valori numerici alla 100° iterazione sono già molto vicini al punto fisso . Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni: Il grafico mostra chiaramente come, partendo dalla condizione iniziale si giunge, attraverso una spirale convergente al punto fisso . 2° Simulazione: Cambiando leggermente il parametro e riducendolo da 0.21 a 0.18 il comportamento del sistema cambia radicalmente. Le oscillazioni, prima smorzate diventano persistenti, il punto fisso sembra sparire, ed il ritratto di fase presenta una forma circolare: si parla in questo caso di un attrattore periodico.

r =	0.5
s =	0.18
b =	1
e =	0.6
c =	1

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	1	0.5
1	0.82	0.2
2	0.944968	0.044
3	1.21514	0.015179
4	1.538484	0.009337
5	1.867313	0.008763
6	2.156973	0.011105
7	2.37405	0.01729
8	2.505527	0.030673
9	2.551458	0.058449
10	2.506267	0.114061

Grafico delle prime 100 iterazioni: Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni: 3° Simulazione Effettuiamo un terza simulazione per comprendere meglio il significato della scomparsa dell'attrattore punto fisso e del nuovo attrattore periodico. I parametri sono ovviamente identici a quelli della seconda simulazione.

r =	0.5
s =	0.18
b =	1
e =	0.6
c =	1

Con questi valori dei parametri il punto fisso diviene: . Esso però è divenuto instabile. Ce se ne può convincere iniziando la simulazione da un punto vicino ad esso . Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	(X_n)	(Y_n)
0	1.5	0.3
1	1.395	0.27
2	1.365566	0.21465
3	1.419571	0.164329
4	1.533348	0.134679
5	1.670304	0.125702
6	1.79331	0.13454
7	1.869821	0.160548
8	1.875215	0.203867

Grafico delle prime 100 iterazioni: Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni: Le oscillazioni si ampliano progressivamente sino a raggiungere l'ampiezza di quelle della simulazione precedente (la 2°) per poi restare stazionarie. Il ritratto di fase mostra una spirale crescente che dal punto iniziale aumenta sino ad addensarsi attorno all'attrattore periodico. Anche se partissimo dal punto , assai prossimo al punto Fisso , le oscillazioni (vedi sotto), prima o poi, comincerebbero ad innescarsi. Una storiella dello scorso secolo: Nel 1985 sull'Economist comparve questa breve storia diretta al mondo del business e poi diffusasi anche in Italia all'interno di alcune grandi aziende: "Ogni mattina, in Africa, si svegliano un leone ed una gazzella. Il leone sa che deve correre più veloce della gazzella, altrimenti morirà di fame. La gazzella sa che deve correre più veloce del leone, altrimenti sarà mangiata. Che tu sia leone o gazzella, impara comunque a correre!". Il sociologo Domenico De Masi, nel suo libro "Il futuro del lavoro" (Rizzoli, Milano 1999) si divertì, con una provocazione diretta al mondo del business, a rovesciare la storia: "Appena sorgerà il sole, il leone e la gazzella diventeranno amici e non fu più necessario che, ai primi raggi, l'uno e l'altra comincino a correre. Perché, nella società postindustriale, se la gazzella non correrà più del leone, non verrà sbranata. Né il leone, se non correrà più della gazzella, morirà di fame". Raccontando al contrario la storiella, che alcuni manager avevano incorniciato dietro la loro scrivania, De Masi criticava taluni eccessi della competizione che trascurano i benefici della cooperazione all'interno delle organizzazioni: "nella società postindustriale noi dobbiamo sostituire la competitività distruttiva che si fa in nome del mercato e della carriera con l'emulazione solidale, che è cosa completamente diversa".

Competizione per il cibo tra due Specie

Nel 1927 Volterra, aveva proposto, sempre usando le equazioni differenziali, un altro fondamentale modello della ecologia matematica, che descrive la dinamica di due popolazioni appartenenti alla stessa nicchia ecologica che competono anche per lo stesso cibo. Per intendersi non esiste, in questo caso, alcun rapporto preda-predatore, semplicemente le due specie si nutrono dello stesso cibo. Possono essere due erbivori, due carnivori, ecc. L'interazione tra le due popolazioni prevede un termine negativo delle due densità : infatti la presenza di ciascuna specie provoca una diminuzione del cibo comune e quindi ha un effetto inibitore sulla crescita dell'altra. Ecco il modello, in termini di mappa, che si ottiene (si osservi che esso, diversamente dal precedente, è perfettamente simmetrico rispetto alle due specie):

X	Densita Popolazione 1
Y	Densità Popolazione 2

[math]X_{n + 1} = X_n \cdot (a - s \cdot X_n - b \cdot Y_n)[/math]

[math]Y_{n + 1} = Y_n \cdot (e - d \cdot Y_n - c \cdot X_n)[/math]

Si vedrà che l'evoluzione dinamica delle due specie porta a confermare l'ipotesi di G.F. Gause, discussa poi da Darwin, secondo il quale due specie non possono convivere a lungo nella stessa nicchia ecologica, se hanno le stesse esigenze di cibo: in questo caso quella minoritaria, come numerosità iniziale, o più debole (nella capacità di riproduzione-mortalità) è destinata a scomparire. Si tratta del famoso principio della sopravvivenza della specie più adatta. 1° Simulazione Essendo il modello simmetrico per le due specie se i rispettivi parametri sono uguali (2,2,3)

a =	2
s =	2
b =	3
e =	2
d =	2
c =	3

e se le condizioni iniziali sono le stesse (sotto ) allora le due specie resteranno in equilibrio mantenendo nel tempo la densità iniziale:

Iteraz. n	(X_n)	(Y_n)
0	0.2	0.2
1	0.2	0.2
2	0.2	0.2
3	0.2	0.2
4	0.2	0.2
5	0.2	0.2
6	0.2	0.2
7	0.2	0.2
8	0.2	0.2
9	0.2	0.2
10	0.2	0.2

Questa situazione di equilibrio tra le due specie si ottiene anche per valori iniziali inferiori (Es. 0.1) o superiori (Es. 0.3) a 0.2. Per valori di densità elevati il modello perde di validità mostrando presto valori negativi o infiniti nello sviluppo della densità delle specie. Il lettore interessato può facilmente verificare, con il foglio Excel, quanto scritto. Possiamo rappresentare la situazione nello spazio X,Y riportato sotto. Finché restiamo sulla bisettrice tracciata in nero (uguali densità iniziali per le due specie) abbiamo una situazione di equilibrio. Il grafico vuole però anche indicare che, se ci scostiamo anche di poco dalla situazione di equilibrio, la specie che parte svantaggiata è destinata, più o meno rapidamente, ad estinguersi. Dunque l'equilibrio è da intendersi come instabile e la bisettrice va pensata come uno stretto crinale scostandosi dal quale si finisce nel burrone. Si parla, più propriamente, del luogo dei punti di biforcazione nel comportamento del sistema: da un lato estinzione della specie X, dall'altro estinzione della specie Y. 2° Simulazione Per mostrare questa tendenza all'estinzione della popolazione minoritaria assumiamo che, a parità di tutti gli altri parametri, sia di poco inferiore a .

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0.19	0.2
1	0.1938	0.206
2	0.192715	0.20736
3	0.191268	0.208839
4	0.189536	0.210618
5	0.187465	0.212757
6	0.18499	0.21533
7	0.182036	0.218424
8	0.178515	0.222147
9	0.174325	0.226626
10	0.169352	0.232013

Si può osservare che già alla decima iterazione vi sia una significativa divergenza tra l'entità delle due popolazioni: . Inoltre dal grafico sottostante si vede che alla 30° iterazione la popolazione X è praticamente estinta mentre la specie Y occupa l'intera nicchia attestandosi ad un valore . Il ritratto di fase mostra sostanzialmente la stessa cosa: partendo dal punto ; la traiettoria va a sbattere, estinzione della specie X, contro l'asse delle ordinate () nel punto . 3° Simulazione Vogliamo ora mostrare che, cambiando i valori dei parametri, si possono ottenere situazioni in cui una specie vince la competizione pur partendo da condizioni iniziali svantaggiate (nell'esempio ; , partenza svantaggiata) Ad esempio se aumentiamo da 3 a 4.5 il parametro b significa che la specie X riceverà, nel suo tasso di riproduzione - mortalità, un maggior danno in seguito alla interazione con la specie Y, di quanto avvenga al contrario, e dunque sarà più vulnerabile. Si noti che i parametri di interazione tra le due specie hanno, nelle equazioni segno negativo. Avremo dunque: (X risulta svantaggiata). Parametri della simulazione:

a =	2
s =	2
b =	4.5
e =	2
d =	2
c =	3

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0.4	0.2
1	0.12	0.08
2	0.168	0.1184
3	0.190042	0.149089
4	0.180352	0.168724
5	0.158717	0.189223
6	0.131904	0.216737
7	0.100363	0.253759
8	0.065974	0.302327
9	0.033487	0.362013
10	0.010179	0.425551

Già alla decima iterazione la numerosità delle due specie è quasi rovesciata: X da 0.4 a 0.01; Y da 0.2 ad oltre 0.4. Il grafico delle prime 100 iterazioni ed il Ritratto di fase confermano che, con questi dati, la specie X, pur partendo avvantaggiata, è destinata ad estinguersi e la specie Y ad occupare l'intera nicchia ecologica con un valore di densità Y = 0.5. Ancora una volta il modello è in accordo con il principio della sopravvivenza del più adatto, che è uno dei punti centrali di discussione nella teoria della evoluzione di Darwin. Grafico delle prime 100 iterazioni: Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni: Il risultato ottenuto è riferito ad un ecosistema, assunto implicitamente come dato e costante, nel quale vivono le due specie. Tuttavia una cambiamento dell'ecosistema può cambiare la posizione relativa delle due specie nella competizione per la sopravvivenza. Quella che prima era più adatta può divenire ora meno adatta e quindi essere destinata all'estinzione.

La mappa logistica

La biologia evoluzionistica aveva, nel secondo dopoguerra, bisogno di nuovi paradigmi e modelli, e le equazioni differenziali, continue per natura, erano spesso troppo complicate, quindi irrisolvibili. Mediante l'uso di metodi numerici a queste si sostituirono equazioni discrete, chiamate anche equazioni alle differenze finite, risolubili spesso in maniera ricorsiva. Esse possono essere usate per modellare sistemi che evolvono in maniera discreta. Un esempio semplice può essere quello di voler calcolare il numero di individui presenti negli anni, partendo da un dato anno, dove la dipendenza dell'anno corrente deriva solamente dal numero di individui dell'anno precedente (mappe del primo ordine). Se… … è il numero di individui al tempo n allora, il numero al tempo è dato dalla equazione ricorrente: . La più semplice delle relazioni funzionali è quella lineare dove lo stato futuro è calcolato da una semplice proporzionalità con lo stato attuale. Cioè dove K è un parametro dipendente dal tasso di crescita al netto di quello di mortalità. Come scritto all'inizio, questo è il modello maltusiano di crescita esponenziale di una popolazione, con cibo infinito e senza alcun altro vincolo dovuto agli spazi e ad altre risorse limitate. Secondo questo modello, analogo a quello di crescita degli interessi in matematica finanziaria, la popolazione è destinata, se K è maggiore di 1, ad aumentare indefinitamente. E' facile comprendere che le popolazioni, nel mondo reale non si possono comportare in questa maniera. Vi sono infatti molti fenomeni che possono modificare la evoluzione di una popolazione, facendola anche decrescere, dopo un certo tempo. Le cause potrebbero essere, la scarsità di cibo, le malattie, la diminuzione della fertilità, l'interazione con altre specie, ecc.. Più realistica appare una funzione che fa crescere la popolazione fino ad un determinato limite per poi assestarsi, eventualmente anche con oscillazioni, attorno ad un determinato valore di equilibrio. Una tale funzione, denominata modello logistico (da non confondere con la funzione continua logistica di Verhulst risalente al 1838), è stata studiata dal biologo e matematico Robert May negli anni 70 dello scorso secolo. Si tratta di una mappa monodimensionale. Chiamando X la percentuale (compresa tra 0 ed 1) numerica di una popolazione, rappresenterà la percentuale di sviluppo rimanente per la popolazione. Secondo il modello logistico (che può valere anche per lo sviluppo dei mercati ed altri fenomeni di crescita) la percentuale della popolazione al tempo può essere assunta come proporzionale (mediante un parametro K) sia alla numerosità degli individui viventi (X) che alla numerosità rimanente possibile: . Quando la nicchia è satura e la popolazione non può più crescere. Il parametro K rappresenta il tasso di riproduzione al netto del tasso di mortalità della specie.

[math] X_{n+1} = X_n\cdot (X_n - 1)\cdot K \, \, \, \, (\mbox{con } 0 \lt X_n \lt 1 \mbox{ ed il parametro } 0 \lt K \lt 4)[/math]

Punti fissi: Nel caso delle mappe monodimensionali i punti fissi sono dati dalla soluzione dell'equazione: dunque nel caso della logistica da: Un punto fisso banale si trova per ; la popolazione è inesistente e tale è destinata a restare. Vedremo però che anche per diverso da zero e per (K \lt 1), resta un punto fisso attrattore. Se è diverso da zero possiamo dividere entrambi i membri della per , dunque: da cui: che è il punto fisso significativo e dipendente dal valore di K. Andamenti della popolazione al variare di K:

1. Se:
   [math] K \lt 1 [/math]
   la popolazione, partendo da
   [math]X_o[/math]
   tende ad estinguersi.
2. Se:
   [math] 1 \lt K \lt 2 [/math]
   si tende al punto fisso attrattore
   [math](K - 1)/K[/math]
   , indipendentemente da
   [math]X_o[/math]
   
3. Se:
   [math] 2 \lt K \lt 3 [/math]
   si hanno oscillazioni smorzate tra valori inferiori e superiori a
   [math](K -1)/K[/math]
   
4. Se:
   [math] 3 \lt K \lt 3.45 [/math]
   la popolazione continua ad oscillare permanentemente tra un massimo ed un minimo. E' come se il punto fisso si fosse sdoppiato.
5. Se:
   [math] 3.45 \lt K \lt 3.57 [/math]
   si hanno dei continui sdoppiamenti di periodo.
6. Se:
   [math] 3.57 \lt K \lt 4 [/math]
   il sistema diventa caotico ed imprevedibile. Il punto fisso non esiste più.
7. Se: K > 4 il sistema diverge, si distrugge o quantomeno perde significato fisico, biologico od economico.1

Coesistenza tra due Specie

Pensate alle tigri e agli elefanti. Non competono per il cibo, le tigri sono carnivore e gli elefanti no, ne sono uno preda dell'altro. Difficilmente una tigre osa aggredire un elefante, a meno che non si tratti di un cucciolo o di un individuo malato isolato dal branco. L'elefante è molto più lento della tigre nei movimenti, ma è dotato di una spessa corazza a prova degli artigli e dei denti della tigre; inoltre se la tigre arriva alla portata della sua proboscide può facilmente avere spezzata la sua colonna vertebrale. Insomma se una tigre assetata vede in riva ad un fiume un branco di elefanti, che si fanno la doccia, preferisce spostarsi in un'altra ansa dello stesso fiume dove, magari può incontrare un branco di zebre. Da ragazzino avevo in casa un gatto e una tartaruga. Il gatto aveva la sua ciotola con carne o pesce e la tartaruga gli avanzi di vari tipi di insalate. Mangiavano insieme senza problemi. Ogni tanto, soprattutto quando era stata messa la cera sul pavimento, il gatto si divertiva con le zampate a far scivolare, e poi con un balzo dall'altro lato, a intercettare la tartaruga. La tartaruga ritirava zampe e testa nella sua casa e aspettava pazientemente che il gioco finisse. Molti altri esempi si potrebbero fare: mosche e api che, soprattutto in campagna, condividono lo stesso habitat, ma non sono né nel rapporto preda-predatore né in competizione per il cibo. Nel seguito si è provato a modellare, con una mappa logistica bi-dimensionale, la coesistenza di due specie che sono in interazione per l'habitat.

0 < X < 1	% di Numerosità della popolazione X rispetto al Max
0 < Y < 1	% di Numerosità della popolazione Y rispetto al Max
1 - X	% di espansione rimanente per la popolazione X
1 - Y	% di espansione rimanente per la popolazione Y
Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa):
[math]X_{n + 1} = X_n \cdot (1 - X_n) \cdot (C_1 - Y_n)[/math]	[math]K_1 = C_1 - Y_n[/math]
[math]Y_{n + 1} = Y_n \cdot (1 - Y_n) \cdot (C_2 - X_n)[/math]	[math]K_2 = C_2 - X_n[/math]

Si può osservare che anche in questo caso le due specie, come nel caso di competizione per il cibo, sono in posizione simmetrica. Inoltre, rispetto alla mappa di May, dove K è una costante, qui si hanno due coefficienti e (riproduzione - mortalità) che decrescono linearmente con la numerosità dell'altra popolazione; questo è dovuto al fatto che, condividendo lo stesso habitat, la numerosità di ciascuna specie influisce negativamente sul K dell'altra specie. Anche in questo caso si hanno dei punti fissi significativi (a parte quello banale ), se (1 \lt C1, C2 \lt 3). Questi punti fissi dipendono dai valore di e . 1° Simulazione: Si vuole mostrare come in questa situazione, diversa dalla precedente (competizione per il cibo), anche se le due popolazioni partono da condizioni iniziali molto diverse non vi è alcuna estinzione, al contrario, sempre che abbiano , dopo un breve transitorio iniziale, la numerosità delle due popolazioni diventa identica. Nell'esempio numerico si è assunto e condizioni iniziali ; (quindi valori molto diversi). Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0.98	0.01
1	0.072324	0.026928
2	0.246438	0.095056
3	0.669461	0.297075
4	0.753009	0.632842
5	0.57045	0.684742
6	0.738849	0.675577
7	0.583566	0.649004
8	0.741443	0.709917
9	0.573215	0.60927
10	0.756115	0.744363

Già alla decima iterazione la numerosità delle due popolazioni è divenuta molto simile (0.75 contro 0.74). Il grafico sottostante mostra inoltre che dopo la ventesima iterazione l'andamento e appaiono sovrapposti. Possiamo concludere che il sistema delle due specie che condividono lo stesso habitat, ma senza competizione per il cibo, è, dopo un breve transitorio, sostanzialmente indipendente dalle condizioni iniziali (). Grafico delle prime 100 iterazioni: Ritaratto di fase delle prime 100 iterazioni: Si vede quindi che dopo qualche decina di iterazioni i valori di e coincidono e ad ogni iterazioni oscillano tra due punti estremi situati sulla bisettrice del piano X,Y. I ritratti di fase inducono spesso a suggestioni visive. In questo caso non si può non pensare ad un aereo che dopo il decollo fa una stretta virata a destra e poi un ampia virata a sinistra. 2° Simulazione: In questa seconda simulazione si mostra che pur essendo la specie X in vantaggio iniziale (; ) e pur avendo la specie X il vantaggio riproduttivo (; ) non vi è alcuna estinzione della specie svantaggiata, si trova infatti per Y una tendenza ad attestarsi sul valore contro un valore di della specie più avvantaggiata sia dalle condizioni iniziali che dalle costanti e . Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0.6	0.4
1	0.624	0.336
2	0.625038	0.306991
3	0.631148	0.29252
4	0.630302	0.283287
5	0.633052	0.278097
6	0.63229	0.274427
7	0.633694	0.272334
8	0.633162	0.270758
9	0.633915	0.26988
10	0.63357	0.26918

Grafico delle prime 100 iterazioni: Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni: 3° Simulazione: Rispetto alla seconda simulazione abbiamo lasciato invariate le condizioni iniziali (; ), ma abbiamo aumentato il parametro della specie X lasciando invariato il parametro della specie X: e . Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:

Iteraz. n	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0.6	0.4
1	0.72	0.336
2	0.617702	0.285573
3	0.73546	0.282018
4	0.60663	0.256049
5	0.750241	0.26542
6	0.587356	0.243668
7	0.764997	0.260342
8	0.564437	0.237817
9	0.777416	0.26021
10	0.543311	0.235349

Grafico delle prime 100 iterazioni: L'aumento del parametro della specie X comporta che si inneschino delle oscillazioni, che presto diventano permanenti, comprese tra il limite superiore 0.8 ed il limite inferiore 0.5. Pur non essendo nulla cambiato (né le condizioni iniziali, né il parametro ) per la specie Y si può osservare che in essa vengono indotte, dalla specie coesistente X, delle piccole oscillazioni. Risulta comunque, a parte il transitorio iniziale, . Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni: 4° Simulazione: In questa simulazione più che confrontare l'evoluzione di due specie vogliamo toccare con mano quanto intuito da Poincaré: "…può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali…" ed osservato da Lorenz, sul suo primitivo computer, che lo ha portato a titolare la sua conferenza: "Può, il batter d'ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?". Abbiamo visto che normalmente, nel modello riportato sopra (1° Simulazione), gli andamenti a regime, a parte un breve transitorio iniziale, sono indipendenti dalle condizioni iniziali. Assumiamo eguali i parametri delle equazioni che descrivono l'andamento di ed . Poniamo le due costanti e al livello caotico: . Assumiamo poi le stesse condizioni iniziali . Infine, come suggerisce Poincaré, introduciamo una piccola differenza nella condizione iniziale di aggiungendo un miliardesimo. Dunque Valore numerico delle prime e ultime 10 Iterazioni:

Iteraz. N	[math]X_n[/math]	[math]Y_n[/math]
0	0.6	0.6
1	0.816	0.816
2	0.478058	0.478058
3	0.87879	0.87879
4	0.332466	0.332466
5	0.813944	0.813944
6	0.482493	0.482493
7	0.878299	0.878299
8	0.333679	0.333679
9	0.81516	0.81516
10	0.479873	0.479873
…	…	…
90	0.522222	0.426411
91	0.891633	0.850611
92	0.304306	0.394986
93	0.763196	0.883167
94	0.563299	0.333983
95	0.901816	0.764454
96	0.286489	0.557872
97	0.703615	0.915941
98	0.643152	0.2538
99	0.859781	0.635738
100	0.405587	0.727197

Grafico delle prime 100 iterazioni I valori numerici ed il grafico delle prime 100 iterazioni ci mostrano che all'inizio gli andamenti di ed sono perfettamente sovrapposti, ma dopo la 80° iterazione divergono sostanzialmente come previsto da Poincaré. Effettivamente determinismo e predicibilità dei fenomeni non sempre coincidono. Da un punto di vista dell'immagine, il ritratto di fase riportato sotto fa pensare ad una libellula. Il corpo dell'insetto corrisponde alle prime iterazioni periodiche, dove X e Y si sovrappongono, e le ali alle ultime, caotiche, dove X e Y si differenziano (nel grafico si può individuare il 100° punto X=0.40; Y=0.72), ma questa suggestione poco ha a che vedere con l'attrattore di Lorenz che assomiglia ad una farfalla. Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni

Conclusioni

Tutti avranno osservato le fotografie di uccelli, neanche troppo piccoli, tranquillamente posati a becchettare sulla schiena di un ippopotamo o di un rinoceronte, oppure quelle, ancor più stupefacenti, di uccelli posati nella bocca aperta di un coccodrillo, che si guarda bene dal divorare l'uccello come facilmente potrebbe fare. Si tratta di esempi di cooperazione tra specie. Nel primo caso il volatile si nutre dei parassiti presenti sulla schiena dei pachidermi. La cooperazione consiste nel fatto che l'uccello si nutre ed il pachiderma si libera dei parassiti. Nel caso del coccodrillo il volatile, nutrendosi, svolge il ruolo benefico di igienista dentale per l'alligatore. Un altro esempio di cooperazione tra specie è quello tra gli umani e i cani o i gatti. Gli animali ricevono cibo, cure e un ricovero sicuro; gli umani compagnia, affetto e fedeltà; per non parlare della pet-therapy , oggi assai diffusa, in alcune cure psicologiche. Un altro esempio clamoroso di cooperazione tra specie molto lontane è quello tra gli umani e la propria flora batterica intestinale senza la quale il nostro metabolismo non potrebbe funzionare. Pare che circa 2 Kg del nostro peso corporeo sia dovuto ai batteri, indispensabili e residenti del nostro intestino. Dunque tra specie diverse, oltre ad avere diversi livelli di competizione, come visto nei paragrafi precedenti, possiamo avere anche diversi livelli di cooperazione. Non possiamo qui entrare nei dettagli di quello che accade invece all'interno della stessa specie, salvo effettuare la generica osservazione che molto spesso, negli animali le competizioni per il cibo, gli accoppiamenti, il territorio si risolvono in combattimenti rituali in cui il perdente riconosce la superiorità del vincente e si allontana dal territorio o dal branco. Infine, per concludere, vogliamo fare cenno a come si è tentato di modellare l'alternativa cooperazione/competizione all'interno delle organizzazioni umane.

Il Dilemma del Prigioniero

Questo celebre gioco a due persone e a somma non nulla, è stato proposto per la prima volta da Merrill Flood e Melvin Dresher della RAND Corporation nel 1950. Successivamente è stato formalizzato dal matematico Albert W. Tucker, a cui dobbiamo anche il nome del dilemma. Il gioco suppone che due presunti ladri siano stati catturati e messi in carcerazione preventiva. Se entrambi coprono il compagno, negando il fatto, avranno uno sconto di pena di tre anni. Se entrambi accusano il compagno avranno entrambi uno sconto di pena di un anno. Il gioco può essere rappresentato con la tabella riportata sotto. Entrambi i giocatori possono scegliere tra cooperazione con il compagno o defezione. Nelle celle della tabella il primo numero rappresenta il risultato del giocatore di Riga ed il secondo numero (in Corsivo) rappresenta il risultato del giocatore di Colonna. I valori numerici indicano gli sconti di pena che avranno i due giocatori in ognuna delle 4 situazioni possibili (ad esempio, se il giocatore di Riga sceglie Cooperazione ed il giocatore di colonna sceglie Defezione, Il giocatore di Riga non avrà alcuno sconto di pena (0), mentre l'altro, che ha tradito il compagno, avrà 5 anni di sconto. Questo gioco ha un punto di equilibrio stabile nella defezione di entrambi i giocatori, se infatti uno solo di essi proverà a scostarsi dal punto di equilibrio, cooperando, cadrà nella situazione peggiore in cui non si ha nessuno sconto di pena. Nel 1950 Nash, dottorando a Princeton in un breve articolo, aveva dimostrato l'esistenza di punti di equilibrio nei giochi non cooperativi ricorrendo ai risultati di Kakutani, che sono una generalizzazione del metodo di Browuer, per la ricerca del punto fisso alle funzioni con più valori. L'aspetto inquietante del dilemma del prigioniero è dato dal fatto che proprio il punto di equilibrio è l'unico del gioco a non essere Pareto - ottimale cioè è l'unico ad essere dominato (infatti il risultato 3,3, cooperazione, che non è un punto di equilibrio, è migliore per entrambi i giocatori del punto di equilibrio di Nash 1,1 defezione). Il Gioco iterato è stato simulato al computer da Axelrod nel 1984. Egli ha mostrato che la strategia migliore, che tende a pareggiare con la migliore fra tutte le altre, non è ne quella di Defezione ad oltranza (punteggio1,1) ne quella di Cooperazione ad oltranza (punteggio 3,3) ma è quella denominata "Tit for Tat" ovvero "Occhio per occhio, dente per dente": alla prima mossa collabora alle successive copia la precedente del tuo avversario. Il dilemma del prigioniero fa riflettere profondamente sulle molte situazioni in cui le alternative tra cooperazione e competizione/defezione si presentano in ogni organizzazione.

Vincete più che potete

Questo gioco, in uso in diverse business school, mette insieme la morra cinese, con il dilemma del prigioniero. L'aula viene divisa in tavoli di 4 giocatori ed ogni tavolo gioca 10 partite con le seguenti regole.

• Ognuno dei 4 giocatori può scegliere se giocare cooperazione (mano tesa) o defezione (indice puntato). I punti di ogni giocatore sono cosi computati:
• Tutti hanno giocato indice puntato, 6 punti ciascuno.
• Tutti hanno giocato mano tesa, 9 punti ciascuno.
• Giocata mista: 10 punti agli indici puntati e 0 punti alle mani tese.

Le regole del gioco, i punteggi previsti, la suddivisione dei giocatori in tavoli di 4 persone vengono distribuite ai partecipanti su un foglio di carta titolato: "Vincete più che potete". Durante le prime 4 partite i giocatori non possono discutere tra loro, nelle successive 6 giocate possono farlo. Alla fine del gioco i risultati di ciascuna persona e di ciascun tavolo vengono sommati per le 10 partite e commentati in aula. Solitamente i risultati oscillano tra due situazioni estreme: i tavoli dove uno o più giocatori conoscono il dilemma del prigioniero e sanno che, il comportamento razionale per massimizzare il proprio punteggio individuale, è quello di giocare principalmente defezione. All'altro estremo vi sono i tavoli dove l'esortazione "Vincete più che potete" viene interpretata come rivolta non al singolo giocatore, ma al tavolo intero pensato come squadra. In questo tipo di tavolo, dopo le prime giocate di assestamento, tutti giocano mano tesa (Si parla di emergere della cooperazione all'interno della squadra). Se per le 10 partite, in un tavolo, tutti giocassero sempre mano tesa si avrebbe il punteggio massimo possibile della squadra pari a: (9*4)*10 = 360). Il gioco vuole focalizzare l'attenzione sulle realtà molteplici e sul grado in cui ciascun individuo si sente, o propende a sentirsi, partecipe di un gruppo più o meno esteso (la squadra, il gruppo di progetto, gli amici del caffè, l'ufficio di appartenenza, l'area di business, l'azienda, la nazionalità, ecc.). Da un punto di vista macroeconomico alcuni (vedi ad esempio Wikipedia "Equilibrio di Nash") hanno interpretato, la superiorità sociale indiscutibile dell'ottimo paretiano rispetto all'equilibrio di Nash, come una falsificazione della liberale "Mano invisibile" (sia essa provvidenza, o compensazione automatica dei mercati) di Adam Smith. Forse hanno supposto che le "Mani visibili" e gli "Aiuti di stato" delle pubbliche amministrazioni, spesso inefficienti e talora corrotte, siano sempre migliori della libera competizione dei mercati, che invece porta sovente, anche se non sempre, a premiare i più meritevoli (o adatti/efficienti).

Riferimenti

1. A. Vulpio, "Determinismo e Caos", Carocci Roma 1999;
2. Bertuglia, Vaio, "Non linearità, Caos, Complessità", Bollati Boringheri Torino 2003;
3. Bischi, Carini,… "Sulle Orme del Caos", Bruno Mondadori Milano 2004;
4. R.Chiappi, "Il foglio elettronico come strumento per il Problem Solving", F.Angeli Milano 2008;
5. R.Chiappi, "P. Management, P. Solving, D. Making"
6. Hume, "Il modello preda-predatore di Volterra"
7. V. Franceschini, "Sistemi Dinamici e Caos", Università di Modena 2006
8. E. De Sanctis: Come nasce il Caos
9. M. Impedovo: Sistemi dinamici Discreti
10. F. Ruini: Appunto sulla mappa logistica
11. Wikipedia, Equilibrio di Nash