Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Definizioni

Definizione 1. Matrice estratta. Sia una matrice qualsiasi di ordine . Una matrice di ordine , con ed , si dice estratta da allorché, scelte in modo opportuno righe ed colonne di , risulta formata ordinatamente da quegli elementi di che appartengono contemporaneamente alle linee prescelte.
Matrice estratta

Definizione 2.

Minore d’ordine

. Sia una matrice, e sia una matrice quadrata da essa estratta. Se ha ordine , ovvero se ha righe e colonne, allora è detto minore di ordine della matrice .

Definizione 3. Rango di una matrice. Sia

una matrice; si chiama rango di e si indica con il massimo ordine dei suoi minori non nulli.

Osservazione 1. La definizione 3 può essere resa meno rigorosa, ma più chiara, nel modo che segue. Consideriamo la matrice quadrata di ordine più alto tra tutte quelle estratte da

aventi determinante non nullo: il suo ordine è il rango di . Ciò equivale ad affermare non solo che esiste una sottomatrice di di ordine il cui determinante è non nullo, ma anche che tutte le altre matrici quadrate estratte da aventi ordine maggiore di hanno determinante nullo.

Osservazione 2: Per quanto la definizione sia semplice, l’effettivo calcolo del rango di una matrice può rivelarsi complicato. A questo scopo introduciamo la definizione seguente:

Definizione 4. Matrice orlata. Sia data una matrice

qualsiasi. Una matrice ricavata da aggiungendole esattamente una riga ed una colonna viene detta matrice orlata di o orlato di , ed il passare in tal modo da a si dice orlare.

Osservazione 3. Com’è chiaro, se

è un orlato di , allora è una sottomatrice di e si può considerare come una sua particolare matrice estratta.

Teorema di Kronecker

Teorema di Kronecker. Sia data una matrice . Essa ha rango se e soltanto se esiste un minore di ordine di non nullo e tutte le matrici che si ottengono da orlandolo con righe e colonne di hanno determinante nullo.

Osservazione 4. In virtù del Teorema di Kronecker, che non dimostriamo, la procedura che è necessario seguire per determinare il rango della matrice

è notevolmente semplificata, e si può riassumere nell’algoritmo seguente:

1. Scegliere un elemento di
   [math]A[/math]
   non nullo (se
   [math]A[/math]
   è la matrice nulla, il suo rango è
   [math]r=0[/math]
   ).


2. Orlarlo in tutti i modi possibili con righe e colonne di
   [math]A[/math]
   , calcolando tutti i determinanti.


3. Se tutti i determinanti sono nulli, allora
   [math]r=1[/math]
   . Se così non è, abbiamo trovato una matrice estratta da
   [math]A[/math]
   avente ordine 2 il cui determinante è non nullo.


4. Orlare tale matrice in tutti i modi possibili con righe e colonne di
   [math]A[/math]
   .


5. Se tutti i determinanti delle matrici risultanti sono nulli, allora
   [math]r=2[/math]
   . Altrimenti abbiamo una matrice estratta da
   [math]A[/math]
   avente ordine 3 e determinante non nullo.

Continuando così fino a che non è più possibile orlare il minore in esame, o fermandosi prima se tutti i determinanti esaminati sono nulli, si determina il rango di .

Esempi

Esempio 1. Calcolare il rango della matrice 
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 
\end{pmatrix}
\]
Per risolvere questo esercizio vogliamo adoperare il Teorema di Kronecker, in particolare nella forma fornitaci dall’osservazione 4. A questo proposito osserviamo subito che la matrice è non nulla, e quindi il suo rango non può essere 0; nello scegliere un suo qualsiasi elemento non nullo, tipicamente si preferisce prendere il primo elemento della prima riga, quindi 
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & -1 & 3 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 
\end{pmatrix}, & |1|=1 \Rightarrow & r \ge 1
\end{array}
\]
Adesso occorre orlare il minore prescelto. Per fare ciò, scegliamo una riga e una colonna cui tale elemento non appartenga, e consideriamo la matrice formata da esse:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & \color{green}-1 & 3 \\
\color{green}-1 & \color{green}1 & -1 \\
2 & 1 & 0 
\end{pmatrix}, & \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 
\end{vmatrix}=0 
\end{array}
\]
Il determinante di questa matrice è 0. Ciò non aggiunge nulla alla nostra conoscenza del rango della matrice , perché solo se tutti gli orlati della matrice rossa hanno determinante nullo allora potremo concludere che . Orliamo dunque il primo elemento con una differente combinazione di righe e colonne:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & -1 & \color{green}3 \\
\color{green}-1 & 1 & \color{green}-1 \\
2 & 1 & 0 
\end{pmatrix}, & \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
-1 & -1 
\end{vmatrix}=1+3=4 \Rightarrow r \ge 2 
\end{array}
\]
Questa volta abbiamo trovato un minore non nullo. Ciò ci consente di dire che non tutti i minori di di ordine 2 sono nulli, e che quindi il rango è per lo meno 2. Per accertarcene non resta che orlare il minore di ordine 2 trovato nell’unico modo possibile:
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & \color{green}-1 & \color{red}3 \\
\color{red}-1 & \color{green}1 & \color{red}-1 \\
\color{green}2 & \color{green}1 & \color{green}0 
\end{pmatrix}, & 
\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 
\end{vmatrix} = -6 \neq 0 \Rightarrow & 
r = 3
\end{array}
\]
Poiché tale determinante non è nullo, il rango di è .