Analisi I e II università : Massimi e minimi relativi in R^n

Massimi e minimi relativi in Rⁿ

Gianni Sammito, Appunti di Analisi II

Si consideri una funzione f: A → R, con A ⊆ Rⁿ, e sia x ∈ A un punto interno ad A.

Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se ∃B(x, r) ⊂ A tale che f(y) ≤ f(x) ∀ y ∈ B(x, r).

Si dice invece che x è un punto di minimo relativo per f se ∃B(x, r) ⊂ A tale che f(y) ≥ f(x) ∀ y ∈ B(x, r).

Data una funzione, per trovare i punti di massimo e/o minimo relativo si può sfruttare il seguente teorema.

Teorema

Se f: A → R, con A ⊂ Rⁿ aperto, è derivabile in un punto x ∈ A interno ad A e x è un punto di massimo o minimo relativo, allora

∇f(x) = (0, 0, . . . , 0).

Dunque, in prima battuta, per cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di f, si calcolano le derivate parziali e si risolve il sistema in cui tutte tali derivate si azzerano:

∂f/∂x₁(x₁, x₂, . . . , x_n) = 0

∂f/∂x₂(x₁, x₂, . . . , x_n) = 0

..

∂f/∂x_n(x₁, x₂, . . . , x_n) = 0.

Esempio

Calcolare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni R² → R così definite:

f(x, y) = x² + y²,   g(x, y) = 1 − x² − y²,   h(x, y) = y² − x².

∇f(x, y) = (2x, 2y).

∇f(x, y) = (0, 0) ⇒ x = y = 0.

∇g(x, y) = (−2x, −2y).

∇g(x, y) = (0, 0) ⇒ x = y = 0.

∇h(x, y) = (−2x, 2y).

∇h(x, y) = (0, 0) ⇒ x = y = 0.

Quindi (0, 0) è un punto critico per le tre funzioni.

f(x, y) = x² + y² ≥ 0 ∀ (x, y) ∈ R².

Perciò (0, 0) è un punto di minimo assoluto (quindi anche relativo) per f.

g(x, y) = 1 − (x² + y²) ≤ 1 ∀ (x, y) ∈ R².

Dato che g(0, 0) = 1, allora (0, 0) è un punto di massimo assoluto (quindi anche relativo) per g.

Per quanto riguarda h, la restrizione h(x, 0) = −x² equivale ad una parabola concava con vertice nell’origine, per questo il punto (0, 0), relativamente a questa restrizione, rappresenterebbe un massimo.

Invece la restrizione h(0, y) = y² rappresenta una parabola convessa con vertice nell’origine, pertanto, relativamente a questa restrizione, il punto (0, 0) rappresenterebbe un minimo.

Pertanto (0, 0) per h non è né un punto di massimo né un punto di minimo, ma è un punto di sella.

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Teorema di Fermat

Sia f: A → R, con A ⊂ Rⁿ aperto e f ∈ C¹(A), sia x ∈ A un punto interno ad A, e supponiamo inoltre che x sia un punto di massimo o minimo relativo.

Allora ∇f(x) = O, dove con O si intende il vettore nullo di Rⁿ.

Definizione: i punti in cui il gradiente si annulla sono detti punti critici. Sia f definita come sopra, allora l’insieme dei punti critici è dato da

{x ∈ A: ∇f(x) = O}.

Definizione: un punto critico che non è né un massimo né un minimo è un punto di sella. Più precisamente, se x è un punto critico, e in ogni intorno di x esistono due punti y e z tali che f(y) > f(x) e f(z) < f(x), allora x è un punto di sella.

Quindi, per capire se un punto critico x di f è un punto di massimo, di minimo o di sella, si deve studiare la disequazione f(y) − f(x) ≥ 0 per y appartenente ad un intorno di x.

Massimi e minimi relativi di una funzione

Esempio: trovare massimi e minimi relativi di f: R² → R: (x, y) → x² + y³ − xy.

Dato che f ∈ C¹(R²), per il Teorema di Fermat i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo sono punti critici.

∂f/∂x (x, y) = 2x − y.

∂f/∂y (x, y) = 3y² − x.

∇f(x, y) = (2x − y, 3y² − x).

2x − y = 0

3y² − x = 0.

x = 3y²

6y² − y = 0

y(6y − 1) = 0.

Le soluzioni del sistema sono (x, y) = (0, 0) e (x, y) = (1/6, 1/12).

Se (0, 0) fosse un punto di minimo, allora, per ogni (x, y) in un intorno di (0, 0), risulterebbe, osservando che f(0, 0) = 0:

f(x, y) − f(0, 0) ≥ 0 ⇒ x² + y³ − xy ≥ 0.

Osserviamo come si comporta la f lungo la retta x = 0, studiamo cioè la restrizione f(0, y) = y³, rappresentata in Figura 1.

Tale restrizione è positiva per y > 0, negativa per f(0, y) < 0, così come evidenziato in Figura 2.

Comunque si comporti ogni altra restrizione di f, esisteranno punti appartenenti all’intorno di (0, 0) per cui f(x, y) > f(0, 0), altri appartenenti allo stesso intorno per cui f(x, y) < f(0, 0).