Analisi I e II università : Derivate seconde in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Derivate seconde in Rⁿ

Si consideri una funzione f: A → R, con A ⊂ Rⁿ aperto. Sotto opportune condizioni, vale la seguente uguaglianza:

∂²f / ∂x_i∂x_j = ∂²f / ∂x_j∂x_i.

Come mostra l’esempio successivo, ci sono casi in cui questa uguaglianza non è rispettata.

Esempio

Si consideri una funzione f: R² → R così definita:

f(x, y) = y² arctg(x/y) se y ≠ 0;

f(x, y) = 0 se y = 0.

Nei punti tali che y ≠ 0 la f è continua, perché ottenuta per composizione di funzioni continue.

Fissato x₀ ∈ R, la f è continua in (x₀, 0) se:

lim_{(x,y)→(x0,0)} f(x, y) = 0.

Dato che |y²| = y² ∀y ∈ R, e considerando che arctg(·) è una funzione limitata fra −π/2 e π/2, risulta:

0 ≤ |y² arctg(x/y)| ≤ π/2 · y².

Se (x, y) → (x₀, 0), allora y² · π/2 → 0; pertanto, per il Teorema del confronto, si può affermare che:

lim_{(x,y)→(x0,0)} f(x, y) = 0.

Sfruttando le regole di derivazione e ricorrendo alla definizione di derivata per i punti di R² tali che y = 0, si arriva a questi risultati:

∂f/∂x (x, y) = y³/(x² + y²)² se y ≠ 0;

∂f/∂x (x, y) = 0 se y = 0.

∂f/∂y (x, y) = 2y arctg(x/y) − xy²/(x² + y²) se y ≠ 0;

∂f/∂y (x, y) = 0 se y = 0.

Considerando che arctg(·) è una funzione limitata e passando in coordinate polari, in virtù del Teorema del confronto in entrambi i casi si dimostra che le derivate prime sono continue in tutto R², pertanto, per il Teorema del differenziale totale, la f è differenziabile in R².

Se si vanno a calcolare le derivate seconde miste, con le solite regole di derivazione e sfruttando in alcuni casi la definizione, si trovano questi risultati:

∂²f/∂y∂x (x, y) = (3x²y² + y⁴)/(x² + y²)² se (x, y) ≠ (0, 0);

∂²f/∂y∂x (x, y) = 1 se (x, y) = (0, 0).

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