Analisi I e II università : Curve in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

n

Curve in Rⁿ

Generalmente ci sono due modi per descrivere una curva in Rⁿ, ovvero è possibile scrivere un’equazione parametrica o un’equazione cartesiana.

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Esempio: una retta in R² può essere descritta in due modi.

Supponiamo che tale retta passi per P = (1, 2) e sia parallela al vettore (3, 1), allora

p(t) = (1, 2) + t(3, 1) ⇒ p(t) = (1 + 3t, 2 + t), t ∈ R

Ponendo x(t) = 1 + 3t, y(t) = 2 + t è possibile scrivere l’equazione parametrica della retta

{

x(t) = 1 + 3t

y(t) = 2 + t

Ricavando t = y − 2 dalla seconda equazione e sostituendo tale valore nella prima si arriva a

x − 3y + 5 = 0

che rappresenta l’equazione cartesiana della retta in forma implicita.

Esempi

Si consideri una circonferenza di centro (x₀, y₀) e raggio R > 0.

L’equazione parametrica di tale circonferenza è

{

x(t) = x₀ + R cos(t)

t ∈ [0, 2π]

y(t) = y₀ + R sin(t)

Invece l’equazione cartesiana della circonferenza è (x − x₀)² + (y − y₀)² = R².

0 0

Curve parametrizzate

n

Una curva in Rⁿ è parametrizzabile se si può esprimere tramite una funzione che ha come dominio un sottointervallo di R e come codominio Rⁿ.

Definizione: sia C ⊂ Rⁿ. C si dice curva parametrizzabile se esiste una funzione r : I → C (I ⊂ R è un intervallo) tale che

1. r è continua
2. r è suriettiva

Se r è iniettiva la curva si dice semplice. Supponiamo che I = [a, b], se r(a) = r(b), ovvero se il punto iniziale e quello finale coincidono, allora la curva si dice chiusa.

Esempio: le traiettorie di punti in cinematica sono curve la cui parametrizzazione è data dalla legge oraria.

Esempi

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1. Si consideri la seguente parametrizzazione

{

x(t) = a cos(t) +

t ∈ [0, π], a, b ∈ R

y(t) = b sin(t)

x²/a² + y²/b² = 1

Dato che b

a

e b. Figura 1: Rappresentazione grafica della curva parametrizzata

La parametrizzazione proposta copre solo la semiellisse superiore perché il parametro t varia fra 0 e π.

Un altro esempio di curva parametrizzabile è l’elica cilindrica, che ha equazione

2.

 x(t) = R cos(t)

 y(t) = R sin(t)

r(t) = (R cos(t), R sin(t), t) = t ∈ R

 z(t) = t

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Figura 2: Elica cilindrica