Integrali: Calcolare il valore del seguente integrale: [math] \displaystyle \int \frac{x^4 + 1}{x^2 + 2x + 2} dx [/math]

Per la risoluzione dell'integrale è conveniente spezzare la frazione integrando in due parti, ovvero esprimerla nel seguente modo:

Applicando la proprietà di linearità degli integrali possiamo calcolare singolarmente gli integrali delle due frazioni:

Cominciamo dal primo integrale; poiché il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore, occorre effettuare una divisione tra polinomi.

Applicando la regola di divisione, troviamo che il quoziente

Sapendo che il dividendo può essere espresso come somma del resto su dividendo più il quoziente, abbiamo la seguente espressione:

Passiamo all'integrale:

I primi integrali sono di facile risoluzione; abbiamo i seguenti risultati:

Per risolvere l'ultimo integrale proviamo quindi a trovare le radici del polinomio a denominatore della frazione:

Il polinomio ha radici complesse; chiamando le sue radici

Togliamo le parentesi tonde, e cerchiamo di scrivere la soluzione in una forma che può esserci utile:

Notiamo quindi che abbiamo ottenuto un'espressione del tipo prodotto somma per differenza; come sappiamo, tale espressione può essere scritta come il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo, ovvero:

e ricordando le propriet dell'unità immaginaria si ha:

Torniamo quindi all'integrale:

Abbiamo ottenuto un integrale che può essere ricondotto ad una forma notevole, in quanto al denominatore abbiamo un quadrato più il termine 1; il risultato dell'integrazione è quindi il seguente:

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