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Sintesi

Svolgimenti Studi di Funzioni Razionali fratte



Il file pdf contiene gli svolgimenti di tutti gli esercizi sullo studio di funzioni in cui sono presenti valori assoluti proposti dal libro di testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5 (Bergamini, Trifone, Barozzi) per i Licei Scientifici.
Gli svolgimenti sono stati eseguiti dal software on-line per la risoluzione on line di esercizi di matematica (Algebra, Geometria Analitica, Analisi)

Le funzioni presenti sono le seguenti:
[math]
f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}\\
f(x) = \frac{1+2 x}{1-2 x+x^2}\\
f(x) = \frac{1+x^2}{-9+x^2}\\
f(x) = \frac{3}{4+x^2}\\
f(x) = \frac{-2-x+x^2}{9-6 x+x^2}\\
f(x) = \frac{3-x}{(1+x)^2}\\
f(x) = \frac{x^4}{-1+x^3}\\
f(x) = \frac{3-4 x+x^2}{-4+x^2}\\
f(x) = \frac{3-4 x+x^2}{x^3}\\
[/math]



Lo studio di funzione comprende i seguenti studi:


  1. Studio del dominio compreso il grafico nel piano cartesiano con lo studio di segno della funzione (per uno svolgimento dettagliato si può utilizzare l'apposita funzione)


  2. Limiti e asintoti


  3. Punti di discontinuità (per uno svolgimento dettagliato si può utilizzare l'apposita funzione)


  4. Studio del segno della derivata prima e crescenza, decrescenza e punti stazionati


  5. Ricerca dei punti stazionari con il metodo delle derivate successive e calcoli necessari per la loro determinazione


  6. Studio di segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso


  7. Grafico della funzione

Estratto del documento

2 Dominio della funzione

oppure

 = x∈

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 1 y 1

x asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +1

x→-∞ 2 1 y 1

lim x asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +1

x→∞

Asintoti

y 1

=

Studio della continuitá

** **

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2 x

y (1) (x)= 2

2 1

+

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

2

x 2

2 1

x + ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f x

1

( ) (x) = 2

2

x +1

2

2-6

f x

2

( ) (x) = 3

2

x +1

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

2 1

x

3 -

y (2) (x)=- 3

2 1

x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1 1

-

-∞ ∞

3 3

-2 3

2 1

x +

2

3 1

-

x ︵ ︶ ︵

⟷ ⟷

Punti di flesso

1 1

;

-

 

4

3

1 1

; 

 4

3

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

3 3

m = -

1 8

3 3

m =

2 8

Tangenti nei punti di flesso

1

t y 3 1

x

= -3 -

)

1 8

1

t y 3 1

x

= 3 -

)

2 8

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.1347841 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

2 1

x +

y = 2 2 1

x

x - +

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2 1

x +

y = 2

1)

(x -

Studio della seguente funzione:

2 1

x +

y = 2 2 1

x x

- +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 2 1 0

x x

- + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = -{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1

- 1

2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

12 ; 0

0 ; 1 -

( )  

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 0 y 0

x+1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+1

-2

x→-∞ 2 x 1

lim x+1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+1

-2

x→1 - 2 x 1

lim x+1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+1

-2

x→1 + 2 0 y 0

lim x+1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+1

-2

x→∞

Asintoti

y 0

=

x 1

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x+1

Discontinuitá di II specie

=1 = ∞

1 2

x x+1

-2

x→1 - 2

lim x+1 = ∞

2

x x+1

-2

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2 2)

(x +

y (1) (x)=- 3

1)

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

-∞ -2 ∞

-2 ⨯

3

1)

(x - ⨯

2

+

x ↘ ︶ ↗ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

13

;

-2 - Minimo relativo

  →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

13

;

-2 - Minimo relativo

  →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f (x+2)

1

( ) (x) = - 3

(x-1)

2

f x+7)

(2

2

( ) (x) = 4

(x-1)

Passaggi per determinare i punti stazionari 2

x y 0 y

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) =

1 27

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 7)

x

(2 +

y (2) (x)= 4

1)

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

7 1

-

-∞ ∞

2 ⨯

2 ⨯

4

1)

(x - ⨯

2 7

+

x ︵ ︶ ︶

Punti di flesso

72 8

;

- -

 

27

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

8

m = -

1 243

Tangenti nei punti di flesso

4

t y 25)

x

= - (2 +

)

1 243

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

8

6

4

2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Tempo di elaborazione: 1.1706023 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

2 1

x +

y = 2 9

x -

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 9 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-3[ ⋃ ]-3;3[ ⋃ ]3;∞[

oppure

 = 3}

-{-3,

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 3

-3

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

19

0 ; -

 

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim 1 y 1

x +1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -9

x→-∞ 2 x

lim x +1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -3

2

x -9

x→-3 - 2 x

lim x +1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -3

2

x -9

x→-3 + 2 x 3

lim x +1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

2

x -9

x→3 - 2 x 3

lim x +1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x -9

x→3 + 2 1 y 1

lim x +1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -9

x→∞

Asintoti

y 1

=

x = -3

x 3

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x +1

Discontinuitá di II specie

=-3 = ∞

1 2

x -9

x→-3 - 2

lim x +1 = -∞

2

x -9

x→-3 +

f( -3 ) = ∄

2

x lim x +1

Discontinuitá di II specie

=3 = -∞

2 2

x -9

x→3 - 2

lim x +1 = ∞

2

x -9

x→3 +

f( 3 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

20 x

y (1) (x)=- 2 2

3) 3)

(x - (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 3

-∞ -3 ∞

-20 ⨯ ⨯

2

3)

(x - ⨯

x ⨯ ⨯

2

3)

(x + ↗ ↗ ︵ ↘ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

19

0 ; - Massimo relativo

  →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

19

0 ; - Massimo relativo

  →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

20

f x

1

( ) (x) = - 2

2

x -9

2

60 x +3

f 2

( ) (x) = 3

2

x -9

Passaggi per determinare i punti stazionari 20

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

1 81

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

60 3

x +

y (2) (x)= 3 3

3)

3) (x +

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

3

-∞ -3 ∞

⨯ ⨯

60 ⨯

3

3)

(x - ⨯ ⨯

3

3)

(x + ⨯ ⨯

2 3

+

x ︶ ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 5 2 4

-4 -2 -5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 2 4

-4 -2 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 2 4

-4 -2 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.4927589 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

3

y = 2 4

x +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 4 0

x + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

oppure

 = x∈

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 8

-8

0

-1

-2

-3 0 5 10

-10 -5

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

3

0 ;

 

4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 3

lim 0 y 0 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +4

x→-∞ 3 0 y 0

lim asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +4

x→∞

Asintoti

y 0

=

Studio della continuitá

** **

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

6 x

y (1) (x)=- 2

2 4

+

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

-6

x 2

2 4

x + ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

3

0 ; Massimo relativo

  →

4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

3

0 ; Massimo relativo

  →

4

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

6

f x

1

( ) (x) = - 2

2

x +4

2

6 x

3 -4

f 2

( ) (x) = 3

2

x +4

Passaggi per determinare i punti stazionari 38

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

6 4

x

3 -

y (2) (x)= 3

2 4

x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

2 2

-

-∞ ∞

3 3

6 3

2 4

x +

2

3 4

-

x ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷

Punti di flesso

2 9

;

-

 

16

3

2 9

; 

 16

3

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

9 3

m = -

1 64

9 3

m =

2 64

Tangenti nei punti di flesso

9

t y 3 6

x

= -  -

)

1 64

9

t y 3 6

x

=  +

)

2 64

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 0.0

-0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 0.0

-0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.1006195 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

2 2

x x

- -

y = 2 6 9

x

x - +

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2 2

x x

- -

y = 2

3)

(x -

Studio della seguente funzione:

2 2

x x

- -

y = 2 6 9

x x

- +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 6 9 0

x x

- + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;3[ ⋃ ]3;∞[

oppure

 = -{3}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 2 3

-1

0

-1

-2

-3 0 2 4

-2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

29

0 ; ; 0 2 ; 0

-

  ( -1 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 1 y 1

x -x-2 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+9

-6

x→-∞ 2 x 3

lim x -x-2 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+9

-6

x→3 - 2 x 3

lim x -x-2 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+9

-6

x→3 + 2 1 y 1

lim x -x-2 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+9

-6

x→∞

Asintoti

y 1

=

x 3

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x -x-2

Discontinuitá di II specie

=3 = ∞

1 2

x x+9

-6

x→3 - 2

lim x -x-2 = ∞

2

x x+9

-6

x→3 +

f( 3 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

5 7

x -

y (1) (x)=- 3

3)

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

7 3

-∞ ∞

5

-1 ⨯

3

3)

(x - ⨯

5 7

-

x ↘ ︶ ↗ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

7 9

; - Minimo relativo

  →

5 16

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

7 9

; - Minimo relativo

  →

5 16

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

7-5

f x

1

( ) (x) = 3

(x-3)

2

f x-3)

(5

2

( ) (x) = 4

(x-3)

Passaggi per determinare i punti stazionari

7 7

7 625

x y 0 y

(1) (2)

=   =   =

1 5 5

5 512

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 3)

x

(5 -

y (2) (x)= 4

3)

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

3 3

-∞ ∞

5 ⨯

2 ⨯

4

3)

(x - ⨯

5 3

-

x ︵ ︶ ︶

Punti di flesso

3 7

; -

 

5 18

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

125

m = -

1 432

Tangenti nei punti di flesso

1

t y 93)

x

= (-125 -

)

1 432

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 15

10

5 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 1 2 3 4

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

2.0

1.5

1.0

0.5 1 2 3 4

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

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