Studi di Funzioni Razionali - Esercizi

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 1 y 1

x asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +1

x→-∞ 2 1 y 1

lim x asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +1

x→∞

Asintoti

y 1

=

Studio della continuitá

** **

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2 x

y (1) (x)= 2

2 1

+

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

2

x 2

2 1

x + ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f x

1

( ) (x) = 2

2

x +1

2

2-6

f x

2

( ) (x) = 3

2

x +1

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

2 1

x

3 -

y (2) (x)=- 3

2 1

x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1 1

-

-∞ ∞

3 3

-2 3

2 1

x +

2

3 1

-

x ︵ ︶ ︵

⟷ ⟷

Punti di flesso

1 1

;

-

 

4

3

1 1

; 

 4

3

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

3 3

m = -

1 8

3 3

m =

2 8

Tangenti nei punti di flesso

1

t y 3 1

x

= -3 -

)

1 8

1

t y 3 1

x

= 3 -

)

2 8

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.1347841 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

2 1

x +

y = 2 2 1

x

x - +

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2 1

x +

y = 2

1)

(x -

Studio della seguente funzione:

2 1

x +

y = 2 2 1

x x

- +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 2 1 0

x x

- + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = -{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1

- 1

2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

12 ; 0

0 ; 1 -

( )  

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 0 y 0

x+1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+1

-2

x→-∞ 2 x 1

lim x+1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+1

-2

x→1 - 2 x 1

lim x+1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+1

-2

x→1 + 2 0 y 0

lim x+1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+1

-2

x→∞

Asintoti

y 0

=

x 1

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x+1

Discontinuitá di II specie

=1 = ∞

1 2

x x+1

-2

x→1 - 2

lim x+1 = ∞

2

x x+1

-2

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2 2)

(x +

y (1) (x)=- 3

1)

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

-∞ -2 ∞

-2 ⨯

3

1)

(x - ⨯

2

+

x ↘ ︶ ↗ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

13

;

-2 - Minimo relativo

  →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

13

;

-2 - Minimo relativo

  →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f (x+2)

1

( ) (x) = - 3

(x-1)

2

f x+7)

(2

2

( ) (x) = 4

(x-1)

Passaggi per determinare i punti stazionari 2

x y 0 y

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) =

1 27

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 7)

x

(2 +

y (2) (x)= 4

1)

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

7 1

-

-∞ ∞

2 ⨯

2 ⨯

4

1)

(x - ⨯

2 7

+

x ︵ ︶ ︶

⟷

Punti di flesso

72 8

;

- -

 

27

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

8

m = -

1 243

Tangenti nei punti di flesso

4

t y 25)

x

= - (2 +

)

1 243

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

8

6

4

2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Tempo di elaborazione: 1.1706023 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

2 1

x +

y = 2 9

x -

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 9 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-3[ ⋃ ]-3;3[ ⋃ ]3;∞[

oppure

 = 3}

-{-3,

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 3

-3

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

19

0 ; -

 

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim 1 y 1

x +1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -9

x→-∞ 2 x

lim x +1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -3

2

x -9

x→-3 - 2 x

lim x +1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -3

2

x -9

x→-3 + 2 x 3

lim x +1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

2

x -9

x→3 - 2 x 3

lim x +1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x -9

x→3 + 2 1 y 1

lim x +1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -9

x→∞

Asintoti

y 1

=

x = -3

x 3

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x +1

Discontinuitá di II specie

=-3 = ∞

1 2

x -9

x→-3 - 2

lim x +1 = -∞

2

x -9

x→-3 +

f( -3 ) = ∄

2

x lim x +1

Discontinuitá di II specie

=3 = -∞

2 2

x -9

x→3 - 2

lim x +1 = ∞

2

x -9

x→3 +

f( 3 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

20 x

y (1) (x)=- 2 2

3) 3)

(x - (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 3

-∞ -3 ∞

-20 ⨯ ⨯

2

3)

(x - ⨯

x ⨯ ⨯

2

3)

(x + ↗ ↗ ︵ ↘ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

19

0 ; - Massimo relativo

  →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

19

0 ; - Massimo relativo

  →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

20

f x

1

( ) (x) = - 2

2

x -9

2

60 x +3

f 2

( ) (x) = 3

2

x -9

Passaggi per determinare i punti stazionari 20

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

1 81

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

60 3

x +

y (2) (x)= 3 3

3)

3) (x +

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

3

-∞ -3 ∞

⨯ ⨯

60 ⨯

3

3)

(x - ⨯ ⨯

3

3)

(x + ⨯ ⨯

2 3

+

x ︶ ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 5 2 4

-4 -2 -5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 2 4

-4 -2 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 2 4

-4 -2 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.4927589 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

3

y = 2 4

x +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 4 0

x + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 8

-8

0

-1

-2

-3 0 5 10

-10 -5

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

3

0 ;

 

4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 3

lim 0 y 0 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +4

x→-∞ 3 0 y 0

lim asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +4

x→∞

Asintoti

y 0

=

Studio della continuitá

** **

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

6 x

y (1) (x)=- 2

2 4

+

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

-6

x 2

2 4

x + ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

3

0 ; Massimo relativo

  →

4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

3

0 ; Massimo relativo

  →

4

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

6

f x

1

( ) (x) = - 2

2

x +4

2

6 x

3 -4

f 2

( ) (x) = 3

2

x +4

Passaggi per determinare i punti stazionari 38

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

6 4

x

3 -

y (2) (x)= 3

2 4

x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

2 2

-

-∞ ∞

3 3

6 3

2 4

x +

2

3 4

-

x ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷

Punti di flesso

2 9

;

-

 

16

3

2 9

; 

 16

3

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

9 3

m = -

1 64

9 3

m =

2 64

Tangenti nei punti di flesso

9

t y 3 6

x

= -  -

)

1 64

9

t y 3 6

x

=  +

)

2 64

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 0.0

-0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 0.0

-0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.1006195 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

2 2

x x

- -

y = 2 6 9

x

x - +

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2 2

x x

- -

y = 2

3)

(x -

Studio della seguente funzione:

2 2

x x

- -

y = 2 6 9

x x

- +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 6 9 0

x x

- + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;3[ ⋃ ]3;∞[

oppure

 = -{3}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 2 3

-1

0

-1

-2

-3 0 2 4

-2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

29

0 ; ; 0 2 ; 0

-

  ( -1 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 1 y 1

x -x-2 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+9

-6

x→-∞ 2 x 3

lim x -x-2 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+9

-6

x→3 - 2 x 3

lim x -x-2 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+9

-6

x→3 + 2 1 y 1

lim x -x-2 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+9

-6

x→∞

Asintoti

y 1

=

x 3

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x -x-2

Discontinuitá di II specie

=3 = ∞

1 2

x x+9

-6

x→3 - 2

lim x -x-2 = ∞

2

x x+9

-6

x→3 +

f( 3 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

5 7

x -

y (1) (x)=- 3

3)

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

7 3

-∞ ∞

5

-1 ⨯

3

3)

(x - ⨯

5 7

-

x ↘ ︶ ↗ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

7 9

; - Minimo relativo

  →

5 16

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

7 9

; - Minimo relativo

  →

5 16

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

7-5

f x

1

( ) (x) = 3

(x-3)

2

f x-3)

(5

2

( ) (x) = 4

(x-3)

Passaggi per determinare i punti stazionari

7 7

7 625

x y 0 y

(1) (2)

=   =   =

1 5 5

5 512

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 3)

x

(5 -

y (2) (x)= 4

3)

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

3 3

-∞ ∞

5 ⨯

2 ⨯

4

3)

(x - ⨯

5 3

-

x ︵ ︶ ︶

⟷

Punti di flesso

3 7

; -

 

5 18

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

125

m = -

1 432

Tangenti nei punti di flesso

1

t y 93)

x

= (-125 -

)

1 432

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 15

10

5 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 1 2 3 4

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

2.0

1.5

1.0

0.5 1 2 3 4

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5