Sottospazi vettoriali

Sottospazi vettoriali

Un primo modo per costruire spazi vettoriali non banali è quello di considerare sottoinsiemi di uno spazio vettoriale assegnato, ereditando quindi le operazioni definite nello spazio vettoriale più grande.

Dato uno spazio vettoriale V, si dice che W ⊆ V è un sottospazio vettoriale di V se a sua volta W risulta spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni definite in V, che in modo naturale si restringono a W.

Nel seguito per denotare il fatto che W è sottospazio vettoriale di V verrà anche usata la notazione W ≤ V.

Si osservi che se W ≤ V necessariamente, per definizione, si deve avere:

1. v₁ + v₂ ∈ W per ogni v₁, v₂ ∈ W.
2. Il vettore 0 sta in W.
3. Per ogni v ∈ W si ha −v ∈ W.
4. Per ogni λ ∈ K e per ogni v ∈ W si ha λv ∈ W.

Esempio

Sia V = R² con le operazioni definite componente per componente (vedi esempi precedenti). Sia W = {(x, y) ∈ V: x + y = 1}. Allora W non è sottospazio di V: infatti basta osservare che v₁ = (1, 0) ∈ W, v₂ = (0, 1) ∈ W ma v₁ + v₂ = (1, 1) ∉ W.

Appare naturale la necessità di stabilire dei criteri che consentano di dire quando un sottoinsieme di un dato spazio vettoriale V risulti un sottospazio vettoriale.

Primo criterio

Sia V uno spazio vettoriale; allora W ⊆ V è sottospazio di V se e solo se W ≠ ∅ e

1. Per ogni v₁, v₂ ∈ W si ha v₁ + v₂ ∈ W.
2. Per ogni λ ∈ K e per ogni v ∈ W si ha λv ∈ W.

Dimostrazione

Se W è sottospazio vettoriale allora 1) e 2) sono già state osservate. Siano invece verificate 1) e 2). Allora le operazioni di somma e prodotto per scalare sono interne a W e verificano tutte le proprietà di spazio vettoriale, poiché le verificano in V.

Inoltre il vettore 0 sta in W poiché se v ∈ W allora 0 · v = 0 ∈ W. Infine per ogni v ∈ W si ha (−1) · v = −v ∈ W.

Esempio

Sia V = K²; sia W = {(x, y) ∈ V: x + 2y = 0}. Allora W è sottospazio vettoriale di V.

Infatti siano v₁ = (x₁, x₂) e v₂ = (y₁, y₂) due vettori in W; allora x₁ + 2x₂ = 0 e y₁ + 2y₂ = 0.

Consideriamo v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂); allora si ha x₁ + x₂ + 2(y₁ + y₂) = x₁ + 2x₂ + y₁ + 2y₂ = 0 + 0 = 0.