Sottospazi vettoriali

2 Sottospazi vettoriali

Un primo modo per costruire spazi vettoriali non banali è quello di considerare

sottoinsiemi di uno spazio vettoriale assegnato, ereditando quindi le operazioni

definite nello spazio vettoriale più grande. Dato uno spazio vettoriale V , si dice

⊆

che W V è un sottospazio vettoriale di V se a sua volta W risulta spazio

vettoriale rispetto alle stesse operazioni definite in V , che in modo naturale si

restringono a W . Nel seguito per denotare il fatto che W è sottospazio vettoriale

≤

di V verrà anche usata la notazione W V .

≤

Si osservi che se W V necessariamente, per definizione, si deve avere:

∈ ∈

1) v + v W per ogni v , v W .

1 2 1 2

2) il vettore 0 sta in W .

∈ −v ∈

3) per ogni v W si ha W .

∈ ∈ ∈

4) per ogni λ e per ogni v W si ha λv W .

K 2

Sia V = con le operazioni definite componente per componente

Esempio. R 2 2

{(x, ∈

(vedi esempi precedenti). Sia W = y) V : x + y = 1}. Allora W non è

∈ ∈

sottospazio di V : infatti basta osservare che v = (1, 0) W , v = (0, 1) W ma

1 2

∈

v + v = (1, 1) / W .

1 2

Appare naturale la necessità di stabilire dei criteri che consentano di dire quando

un sottoinsieme di un dato spazio vettoriale V risulti un sottospazio vettoriale.

⊆

Sia V uno spazio vettoriale; allora W V è sottospazio di

Primo criterio.

6 ∅

V se e solo se W = e

∈ ∈

1) per ogni v , v W si ha v + v W .

1 2 1 2

∈ ∈ ∈

2) per ogni λ e per ogni v W si ha λv W .

K

Dimostrazione. Se W è sottospazio vettoriale allora 1) e 2) sono già state osser-

vate. Siano invece verificate 1) e 2). Allora le operazioni di somma e prodotto

per scalare sono interne a W e verificano tutte le proprietà di spazio vettoriale,

∈

poichè le verificano in V . Inoltre il vettore 0 sta in W poichè se v W allora

· ∈ ∈ · −v ∈

0 v = 0 W . Infine per ogni v W si ha (−1) v = W .

2 {(x, ∈

Sia V = ; sia W = y) V : x + 2y = 0}. Allora W è sot-

Esempio. K

tospazio vettoriale di V . Infatti siano v = (x , x ) e v = (y , y ) due vettori in

1 1 2 2 1 2

W ; allora x + 2x = 0 e y + 2y = 0. Consideriamo v + v = (x + x , y + y );

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

allora si ha x + x + 2(y + y ) = x + 2x + y + 2y = 0 + 0 = 0

1 2 1 2 1 2 1 2

4